SYDZ 辗转相除法的原理与实现

向右看齐 2022-08-21 02:12 188阅读 0赞

辗转相除法又叫欧几里得辗转相除法，最早出现在公元前300年古希腊著名数学家欧几里得的《几何原本》》(第VII卷,命题i和ii)中。而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。而在现代数学中，这应该是属于数论的部分的。  
  
要想解释辗转相除法的原理，需要先知道以下两点：  
一、一个一般定理：  
 如果a是任一整数而b是任一大于零的整数，则我们总能找到一整数q，使  
 a=bq+r  
 这里r是满足不等式0<=r<b的一个整数。  
  
二、最大公因子的表示方法：  
 如果整数a和b的最大公因子是d，则表示为d=(a,b) （不知道现在教科书上是怎么表示的）  
  
 给定a和b（a>=b)两个整数，求最大公因子d。  
 根据上边给的定理，可以将a写成  
 a=bq+r  
 辗转相除法是告诉我们  
 (a,b)=(b,r)  
 即a和b的最大公因数和b和r（r是a除以b的余数）的最大公因数是相等的。  
  
原理：因为对任意同时整除a和b的数u，有  
 a=su，b=tu，  
 它也能整除r，因为r=a-bq=su-qtu=(s-qt)u。  
 反过来每一个整除b和r的整数v，有  
 b=s'v , r=t'v  
 它也能整除a，因为a=bq+r=s'vq+t'v=(s'q+t')v.

因此a和b的每一个公因子同时也是b和r的一个公因子，反之亦然。这样由于a和b的全体公因子集合与b和r的全体公因子集合相同，所以a和b的最大公因子必须等于b和r的最大公因子，这就证明了上边的等式。即(a,b)=(b,r)。

#include<stdio.h>
     void main()
    	{
            int num1 = 0;
            int num2 = 0;
            scanf("%d,%d", &num1,&num2);
            int min = num1 < num2 ? num1 : num2;
            int max = num1 > num2 ? num1 : num2;
            int i = max % min;
            int sum = max * min;
            while (i != 0) {
                min = min % i;
                i = i % min;
    
            }
            printf("最大公约数是%d", min);
            printf("最小公倍数是%d", sum/min);
    	}