母牛繁殖问题：一头母牛，每年年初生一头小母牛，每头小母牛从第四个年头起，每年年初也要生一头小母牛，问：第20个年头后共有多少只牛？

亦凉 2022-08-20 14:18 368阅读 0赞

**一头母牛，每年年初生一头小母牛，每头小母牛从第四个年头起，每年年初也要生一头小母牛。**

![题目分析][20160814211047991]

从上面我们可以看出，每一代的数目就像是多个相似三角形一样，为此画出下面的图形

![这里写图片描述][20160814211203258]

这样的话所有子代的的数目很明显就是，绿色线条长度所代表数目的总和。

也就是：

sum = 5 + 10 + 15 + （n - 15） + (n - 10) + (n - 5) + n;

同时又要加上最初的那头母牛：sum = sum + 1;

分析出来，其实就是一个以5为初始值，以5为公差的等差数列的前n项和 Sn。

算法上可以随便用：

## 算法1：迭代 ##

*  F(n) = F(n - 1) +5;

#include <stdio.h>
    int func(int year){
    
        if(year == 1){
    
            return 5;
    
        }
    
        return func(year - 1) + 5;
    }
    
    int main(){
    
        int result = func(20);
    
        cout<<result<<endl;
    
        return 0;
    }

## 算法2：数学公式法 ##

*  根据等差数列前n项和的数学求法:  
    \- Sn = n(a1 + an)/2  
    \- 因为这里我们只知道 an 以及 公差：5，并不知道n是多少，为此我们可以变换公式。  
    \- Sn = （an - a1）^2/2d

#include <stdio.h>
    int func(int year){
    
        int result = (year - 5)*(year - 5)/10;
    
        return result;
    }
    
    int main(){
    
        int result = func(20);
    
        cout<<result<<endl;
    
        return 0;
    }

## 说到这里，还有一个十分严重的问题：如果n = 21的时候呢？它的最初项会是5么？ ##

简单验证一下：21 - 5 = 16 - 5 = 11 - 5 = 6；  
显然最初项是6，那么还可以有一代的，6 - 5 = 1；

那么这样的话，前面的算法分析，是有错误的！！！

### 如何解决这个问题呢？ ###

- 既然我们不知道第一项究竟是多少，我们可以利用n来求出这个我们刚开始忽略的第一项
         - 第一项其实就是：n % 5 + 5
         - 项数其实就是： n / 5 -1

### 根据上面的分析再次修改上面的算法代码： ###

迭代法修改

#include <stdio.h>
    int func(int year,int start){
    
        if(year == 1){
    
            return start;
    
        }
    
        return func( (year - 1) ,start) + 5;
    }
    
    int main(){
    
        int result = func(20 , 20 % 5 + 5);
    
        cout<<result<<endl;
    
        return 0;
    }

公式法修改

#include <stdio.h>
    int func(int year,int start){
    
        int result = (year - start)*(year - start)/10;
    
        return result;
    }
    
    int main(){
    
        int result = func(20, 20 % 5 + 5);
    
        cout<<result<<endl;
    
        return 0;
    }

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[20160814211203258]: /images/20220731/c8d1a001480a44e5806d15d2bc838d66.png