最长上升子序列nlogn算法

╰半橙微兮° 2022-08-20 04:15 171阅读 0赞

这题目是经典的DP题目，也可叫作LIS（Longest Increasing Subsequence）最长上升子序列 或者 最长不下降子序列。很基础的题目，有两种算法，复杂度分别为O(n\*logn)和O(n^2) 。  
  
A.  
O(n^2)算法分析如下：   
  
（a\[1\]...a\[n\] 存的都是输入的数）  
1、对于a\[n\]来说，由于它是最后一个数，所以当从a\[n\]开始查找时，只存在长度为1的不下降子序列；

2、若从a\[n-1\]开始查找，则存在下面的两种可能性：  
（1）若a\[n-1\] < a\[n\] 则存在长度为2的不下降子序列 a\[n-1\],a\[n\];  
（2）若a\[n-1\] > a\[n\] 则存在长度为1的不下降子序列 a\[n-1\]或者a\[n\]。

3、一般若从a\[t\]开始，此时最长不下降子序列应该是按下列方法求出的：  
在a\[t+1\],a\[t+2\],...a\[n\]中，找出一个比a\[t\]大的且最长的不下降子序列，作为它的后继。

4、为算法上的需要，定义一个数组：  
int d\[n\]\[3\];  
d\[t\]\[0\]表示a\[t\];  
d\[t\]\[1\]表示从i位置到达n的最长不下降子序列的长度;  
d\[t\]\[2\]表示从i位置开始最长不下降子序列的下一个位置。

实现代码如下：

#include <iostream>  
    using namespace std;  
    int main(void)  
    {  
        int i,j,n,a[100],b[100],max;  
        while(cin>>n)  
        {  
            for(i=0;i<n;i++)  
                cin>>a[i];  
            b[0]=1;             //初始化，以a[0]结尾的最长递增子序列长度为1  
            for(i=1;i<n;i++)  
            {  
                b[i]=1;         //b[i]最小值为1  
                for(j=0;j<i;j++)  
                    if(a[i]>a[j]&&b[j]+1>b[i])  
                        b[i]=b[j]+1;  
            }  
            for(max=i=0;i<n;i++)//求出整个数列的最长递增子序列的长度  
                if(b[i]>max)  
                max=b[i];  
            cout<<max<<endl;  
        }  
          return 0;  
    }

显然，这种方法的时间复杂度仍为o(n^2);

最长不下降子序列的O(nlogn)算法分析如下:  
  
设 A\[t\]表示序列中的第t个数，F\[t\]表示从1到t这一段中以t结尾的最长上升子序列的长度，初始时设F \[t\] = 0(t = 1, 2, ..., len(A))。则有动态规划方程：F\[t\] = max\{1, F\[j\] + 1\} (j = 1, 2, ..., t - 1, 且A\[j\] < A\[t\])。  
  
现在，我们仔细考虑计算F\[t\]时的情况。假设有两个元素A\[x\]和A\[y\]，满足  
(1)x < y < t  
(2)A\[x\] < A\[y\] < A\[t\]  
(3)F\[x\] = F\[y\]

此时，选择F\[x\]和选择F\[y\]都可以得到同样的F\[t\]值，那么，在最长上升子序列的这个位置中，应该选择A\[x\]还是应该选择A\[y\]呢？

很明显，选择A\[x\]比选择A\[y\]要好。因为由于条件(2)，在A\[x+1\] ... A\[t-1\]这一段中，如果存在A\[z\]，A\[x\] < A\[z\] < a\[y\]，则与选择A\[y\]相比，将会得到更长的上升子序列。  
再根据条件(3)，我们会得到一个启示：根据F\[\]的值进行分类。对于F\[\]的每一个取值k，我们只需要保留满足F\[t\] = k的所有A\[t\]中的最小值。设D\[k\]记录这个值，即D\[k\] = min\{A\[t\]\} (F\[t\] = k)。  
  
注意到D\[\]的两个特点：  
(1)　D\[k\]的值是在整个计算过程中是单调不下降的。  
(2)　D\[\]的值是有序的，即D\[1\] < D\[2\] < D\[3\] < ... < D\[n\]。  
  
利 用D\[\]，我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断A\[t\]与D\[len\]。若A \[t\] > D\[len\]，则将A\[t\]接在D\[len\]后将得到一个更长的上升子序列，len = len + 1， D\[len\] = A \[t\]；否则，在D\[1\]..D\[len\]中，找到最大的j，满足D\[j\] < A\[t\]。令k = j + 1，则有A \[t\] <= D\[k\]，将A\[t\]接在D\[j\]后将得到一个更长的上升子序列，更新D\[k\] = A\[t\]。最后，len即为所要求的最长上 升子序列的长度。  
  
在 上述算法中，若使用朴素的顺序查找在D\[1\]..D\[len\]查找，由于共有O(n)个元素需要计算，每次计算时的复杂度是O(n)，则整个算法的 时间复杂度为O(n^2)，与原来的算法相比没有任何进步。但是由于D\[\]的特点(2)，我们在D\[\]中查找时，可以使用二分查找高效地完成，则整个算法 的时间复杂度下降为O(nlogn)，有了非常显著的提高。需要注意的是，D\[\]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列！

#include <iostream>  
    using namespace std;  
    int find(int *a,int len,int n)//若返回值为x,则a[x]>=n>a[x-1]  
    {  
        int left=0,right=len,mid=(left+right)/2;  
        while(left<=right)  
        {  
            if(n>a[mid]) left=mid+1;  
            else if(n<a[mid]) right=mid-1;  
            else return mid;  
            mid=(left+right)/2;  
        }  
        return left;    
    }  
           
    void fill(int *a,int n)  
    {  
        for(int i=0;i<=n;i++)  
            a[i]=1000;  
    }  
           
    int main(void)  
    {  
        int max,i,j,n,a[100],b[100],c[100];  
        while(cin>>n)  
        {  
            fill(c,n+1);  
            for(i=0;i<n;i++)  
                cin>>a[i];  
            c[0]=-1;//     …………………………………1  
            c[1]=a[0];//         …………………………2  
            b[0]=1;//      …………………………………3  
            for(i=1;i<n;i++)//           ………………4  
            {  
                j=find(c,n+1,a[i]);//  …………………5  
                c[j]=a[i];// ………………………………6  
                b[i]=j;//……………………………………7  
            }  
            for(max=i=0;i<n;i++)// ………………………8  
                if(b[i]>max)  
                    max=b[i];  
           cout<<max<<endl;  
        }  
        return 0;  
    }

对于这段程序，我们可以用算法导论上的loop invariants来帮助理解.  
loop invariant : 1、每次循环结束后c都是单调递增的。(这一性质决定了可以用二分查找）  
2、每次循环后，c\[i\]总是保存长度为i的递增子序列的最末的元素，若长度为i的递增子序

列有多个，刚保存末尾元素最小的那个.（这一性质决定是第3条性质成立的前提）  
3、每次循环完后，b\[i\]总是保存以a\[i\]结尾的最长递增子序列。  
initialization: 1、进入循环之前，c\[0\]=-1,c\[1\]=a\[0\],c的其他元素均为1000,c是单调递增的;  
2、进入循环之前，c\[1\]=a\[0\],保存了长度为1时的递增序列的最末的元素，且此时长度为1

的递增了序列只有一个，c\[1\]也是最小的;  
3、进入循环之前，b\[0\]=1，此时以a\[0\]结尾的最长递增子序列的长度为1.  
maintenance: 1、若在第n次循环之前c是单调递增的，则第n次循环时，c的值只在第6行发生变化，而由

c进入循环前单调递增及find函数的性质可知（见find的注释),

此时c\[j+1\]>c\[j\]>=a\[i\]>c\[j-1\],所以把c\[j\]的值更新为a\[i\]后，c\[j+1\]>c\[j\]> c\[j-1\]的性质仍然成

立，即c仍然是单调递增的；  
2、循环中，c的值只在第6行发生变化，由c\[j\]>=a\[i\]可知，c\[j\]更新为a\[i\]后，c\[j\]的值只会变

小不会变大，因为进入循环前c\[j\]的值是最小的，则循环中把c\[j\]更新为更小的a\[i\]，当

然此时c\[j\]的值仍是最小的;  
3、循环中，b\[i\]的值在第7行发生了变化，因为有loop invariant的性质2，find函数返回值

为j有：c\[j-1\]<a\[i\]<=c\[j\],这说明c\[j-1\]是小于a\[i\]的，且以c\[j-1\]结尾的递增子序列有最大的

长度，即为j-1,把a\[i\]接在c\[j-1\]后可得到以a\[i\]结尾的最长递增子序列，长度为(j-1)+1=j;  
termination: 循环完后，i=n-1,b\[0\],b\[1\],...,b\[n-1\]的值均已求出，即以a\[0\],a\[1\],...,a\[n-1\]结尾的最长递

增子序列的长度均已求出，再通过第8行的循环，即求出了整个数组的最长递增子序列。

仔细分析上面的代码可以发现，每次循环结束后，假设已经求出c\[1\],c\[2\],c\[3\],...,c\[len\]的值，则此时最长递增子序列的长度为 len,因此可以把上面的代码更加简化，即可以不需要数组b来辅助存储，第8行的循环也可以省略。

#include <iostream>  
    using namespace std;  
    int find(int *a,int len,int n)//修改后的二分查找，若返回值为x，则a[x]>=n  
    {  
        int left=0,right=len,mid=(left+right)/2;  
        while(left<=right)  
        {  
           if(n>a[mid]) left=mid+1;  
           else if(n<a[mid]) right=mid-1;  
           else return mid;  
           mid=(left+right)/2;  
        }  
        return left;  
    }  
           
    int main(void)  
    {  
        int n,a[100],c[100],i,j,len;//新开一变量len,用来储存每次循环结束后c中已经求出值的元素的最大下标  
        while(cin>>n)  
        {  
            for(i=0;i<n;i++)  
                cin>>a[i];  
            b[0]=1;  
            c[0]=-1;  
            c[1]=a[0];  
            len=1;//此时只有c[1]求出来，最长递增子序列的长度为1.  
            for(i=1;i<n;i++)  
            {  
                j=find(c,len,a[i]);  
                c[j]=a[i];  
                if(j>len)//要更新len,另外补充一点：由二分查找可知j只可能比len大1  
                    len=j;//更新len  
            }  
            cout<<len<<endl;  
        }  
        return 0;  
    }