混合高斯模型算法

小灰灰 2022-08-19 12:28 228阅读 0赞

高斯模型有单高斯模型（SGM）和混合高斯模型（GMM）两种。

（1）单高斯模型：

![2011110413572375.jpg][]

为简单起见，阈值t的选取一般靠经验值来设定。通常意义下，我们一般取t=0.7-0.75之间。

![2011110414095513.jpg][]

二维情况如下所示：

![2011110414165272.jpg][]

（2）混合高斯模型：

![2011110414122162.jpg][]

对于(b)图所示的情况，很明显，单高斯模型是无法解决的。为了解决这个问题，人们提出了高斯混合模型（GMM），顾名思义，就是数据可以看作是从数个高斯分布中生成出来的。虽然我们可以用不同的分布来随意地构造 XX Mixture Model ，但是 GMM是 最为流行。另外，Mixture Model 本身其实也是可以变得任意复杂的，通过增加 Model 的个数，我们可以任意地逼近任何连续的概率密分布。

每个 GMM 由 K 个 Gaussian 分布组成，每个 Gaussian 称为一个“Component”，这些 Component 线性加成在一起就组成了 GMM 的概率密度函数：

![2011110615355540.png][]                （1）

其中，πk表示选中这个component部分的概率，我们也称其为加权系数。

根据上面的式子，如果我们要从 GMM 的分布中随机地取一个点的话，实际上可以分为两步：

（1）首先随机地在这 K 个 Component 之中选一个，每个 Component 被选中的概率实际上就是它的系数 πk，选中了 Component 之后，再单独地考虑从这个 Component 的分布中选取一个点就可以了──这里已经回到了普通的 Gaussian 分布，转化为了已知的问题。假设现在有 N 个数据点，我们认为这些数据点由某个GMM模型产生，现在我们要需要确定 πk,μk,σk 这些参数。很自然的，我们想到利用最大似然估计来确定这些参数，GMM的似然函数如下：

![2011110615390662.png][]        （2）

在最大似然估计里面，由于我们的目的是把乘积的形式分解为求和的形式，即在等式的左右两边加上一个log函数，但是由上文博客里的（2）式可以看出，转化为log后，还有log(a+b)的形式，因此，要进一步求解。

我们采用EM算法，分布迭代求解最大值：

EM算法的步骤这里不作详细的介绍，可以参见博客：

[http://blog.pluskid.org/?p=39][http_blog.pluskid.org_p_39]

贴出代码：

![复制代码][copycode.gif]

1 function varargout = gmm(X, K_or_centroids)
      2 % ============================================================
      3 % Expectation-Maximization iteration implementation of
      4 % Gaussian Mixture Model.
      5 %
      6 % PX = GMM(X, K_OR_CENTROIDS)
      7 % [PX MODEL] = GMM(X, K_OR_CENTROIDS)
      8 %
      9 %  - X: N-by-D data matrix.
     10 %  - K_OR_CENTROIDS: either K indicating the number of
     11 %       components or a K-by-D matrix indicating the
     12 %       choosing of the initial K centroids.
     13 %
     14 %  - PX: N-by-K matrix indicating the probability of each
     15 %       component generating each point.
     16 %  - MODEL: a structure containing the parameters for a GMM:
     17 %       MODEL.Miu: a K-by-D matrix.
     18 %       MODEL.Sigma: a D-by-D-by-K matrix.
     19 %       MODEL.Pi: a 1-by-K vector.
     20 % ============================================================
     21  
     22     threshold = 1e-15;
     23     [N, D] = size(X);
     24  
     25     if isscalar(K_or_centroids)
     26         K = K_or_centroids;
     27         % randomly pick centroids
     28         rndp = randperm(N);
     29         centroids = X(rndp(1:K), :);
     30     else
     31         K = size(K_or_centroids, 1);
     32         centroids = K_or_centroids;
     33     end
     34  
     35     % initial values
     36     [pMiu pPi pSigma] = init_params();
     37  
     38     Lprev = -inf;
     39     while true
     40         Px = calc_prob();
     41  
     42         % new value for pGamma
     43         pGamma = Px .* repmat(pPi, N, 1);
     44         pGamma = pGamma ./ repmat(sum(pGamma, 2), 1, K);
     45  
     46         % new value for parameters of each Component
     47         Nk = sum(pGamma, 1);
     48         pMiu = diag(1./Nk) * pGamma' * X;
     49         pPi = Nk/N;
     50         for kk = 1:K
     51             Xshift = X-repmat(pMiu(kk, :), N, 1);
     52             pSigma(:, :, kk) = (Xshift' * ...
     53                 (diag(pGamma(:, kk)) * Xshift)) / Nk(kk);
     54         end
     55  
     56         % check for convergence
     57         L = sum(log(Px*pPi'));
     58         if L-Lprev < threshold
     59             break;
     60         end
     61         Lprev = L;
     62     end
     63  
     64     if nargout == 1
     65         varargout = {Px};
     66     else
     67         model = [];
     68         model.Miu = pMiu;
     69         model.Sigma = pSigma;
     70         model.Pi = pPi;
     71         varargout = {Px, model};
     72     end
     73  
     74     function [pMiu pPi pSigma] = init_params()
     75         pMiu = centroids;
     76         pPi = zeros(1, K);
     77         pSigma = zeros(D, D, K);
     78  
     79         % hard assign x to each centroids
     80         distmat = repmat(sum(X.*X, 2), 1, K) + ...
     81             repmat(sum(pMiu.*pMiu, 2)', N, 1) - ...
     82             2*X*pMiu';
     83         [dummy labels] = min(distmat, [], 2);
     84  
     85         for k=1:K
     86             Xk = X(labels == k, :);
     87             pPi(k) = size(Xk, 1)/N;
     88             pSigma(:, :, k) = cov(Xk);
     89         end
     90     end
     91  
     92     function Px = calc_prob()
     93         Px = zeros(N, K);
     94         for k = 1:K
     95             Xshift = X-repmat(pMiu(k, :), N, 1);
     96             inv_pSigma = inv(pSigma(:, :, k));
     97             tmp = sum((Xshift*inv_pSigma) .* Xshift, 2);
     98             coef = (2*pi)^(-D/2) * sqrt(det(inv_pSigma));
     99             Px(:, k) = coef * exp(-0.5*tmp);
    100         end
    101     end
    102 end

![复制代码][copycode.gif]

函数返回的 `Px` 是一个 ![N\\times K][N_times K] 的矩阵，对于每一个 ![x\_i][x_i] ，我们只要取该矩阵第 ![i][] 行中最大的那个概率值所对应的那个 Component 为 ![x\_i][x_i] 所属的 cluster 就可以实现一个完整的聚类方法了。

参考资料：

【C++代码】

[http://www.cppblog.com/Terrile/archive/2011/01/19/120051.html][http_www.cppblog.com_Terrile_archive_2011_01_19_120051.html]

[http://www.autonlab.org/tutorials/gmm.html][http_www.autonlab.org_tutorials_gmm.html]

[http://bubblexc.com/y2011/8/][http_bubblexc.com_y2011_8]

[http://blog.pluskid.org/?p=39&cpage=1\#comments][http_blog.pluskid.org_p_39_cpage_1_comments]

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[2011110414095513.jpg]: /images/20220731/5e64c0b41aed488abf37354590eabc0f.png
[2011110414165272.jpg]: /images/20220731/4fcbe00a4f85409fad13d07c11276169.png
[2011110414122162.jpg]: /images/20220731/67dc9ba3daf9468ea2c90fbe45db43d0.png
[2011110615355540.png]: /images/20220731/b60c64f880e542888154278afbd450aa.png
[2011110615390662.png]: /images/20220731/b2cfe80817484cfd8800d5ad0db74c11.png
[http_blog.pluskid.org_p_39]: http://blog.pluskid.org/?p=39
[copycode.gif]: /images/20220731/7c8ed69af31f42fe98ee5c973fce1a43.png
[N_times K]: http://blog.pluskid.org/latexrender/pictures/3b4896f081441931f409246050d9cd97.png
[x_i]: http://blog.pluskid.org/latexrender/pictures/1ba8aaab47179b3d3e24b0ccea9f4e30.png
[i]: http://blog.pluskid.org/latexrender/pictures/865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png
[http_www.cppblog.com_Terrile_archive_2011_01_19_120051.html]: http://www.cppblog.com/Terrile/archive/2011/01/19/120051.html
[http_www.autonlab.org_tutorials_gmm.html]: http://www.autonlab.org/tutorials/gmm.html
[http_bubblexc.com_y2011_8]: http://bubblexc.com/y2011/8/
[http_blog.pluskid.org_p_39_cpage_1_comments]: http://blog.pluskid.org/?p=39&cpage=1#comments