TF-IDF与余弦相似性的计算

Dear 丶 2022-08-19 12:09 175阅读 0赞

转自：[http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/03/tf-idf.html][http_www.ruanyifeng.com_blog_2013_03_tf-idf.html]

这个标题看上去好像很复杂，其实我要谈的是一个很简单的问题。

有一篇很长的文章，我要用计算机提取它的关键词（Automatic Keyphrase extraction），完全不加以人工干预，请问怎样才能正确做到？

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这个问题涉及到数据挖掘、文本处理、信息检索等很多计算机前沿领域，但是出乎意料的是，有一个非常简单的经典算法，可以给出令人相当满意的结果。它简单到都不需要高等数学，普通人只用10分钟就可以理解，这就是我今天想要介绍的[TF-IDF][]算法。

让我们从一个实例开始讲起。假定现在有一篇长文**《中国的蜜蜂养殖》**，我们准备用计算机提取它的关键词。

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一个容易想到的思路，就是找到出现次数最多的词。如果某个词很重要，它应该在这篇文章中多次出现。于是，我们进行"词频"（Term Frequency，缩写为TF）统计。

结果你肯定猜到了，出现次数最多的词是----"的"、"是"、"在"----这一类最常用的词。它们叫做["停用词"][Link 1]（stop words），表示对找到结果毫无帮助、必须过滤掉的词。

假设我们把它们都过滤掉了，只考虑剩下的有实际意义的词。这样又会遇到了另一个问题，我们可能发现"中国"、"蜜蜂"、"养殖"这三个词的出现次数一样多。这是不是意味着，作为关键词，它们的重要性是一样的？

显然不是这样。因为"中国"是很常见的词，相对而言，"蜜蜂"和"养殖"不那么常见。如果这三个词在一篇文章的出现次数一样多，有理由认为，"蜜蜂"和"养殖"的重要程度要大于"中国"，也就是说，在关键词排序上面，"蜜蜂"和"养殖"应该排在"中国"的前面。

所以，我们需要一个重要性调整系数，衡量一个词是不是常见词。**如果某个词比较少见，但是它在这篇文章中多次出现，那么它很可能就反映了这篇文章的特性，正是我们所需要的关键词。**

用统计学语言表达，就是在词频的基础上，要对每个词分配一个"重要性"权重。最常见的词（"的"、"是"、"在"）给予最小的权重，较常见的词（"中国"）给予较小的权重，较少见的词（"蜜蜂"、"养殖"）给予较大的权重。这个权重叫做"逆文档频率"（Inverse Document Frequency，缩写为IDF），它的大小与一个词的常见程度成反比。

**知道了"词频"（TF）和"逆文档频率"（IDF）以后，将这两个值相乘，就得到了一个词的TF-IDF值。某个词对文章的重要性越高，它的TF-IDF值就越大。所以，排在最前面的几个词，就是这篇文章的关键词**。

下面就是这个算法的细节。

**第一步，计算词频。**

![bg2013031503.png][]

考虑到文章有长短之分，为了便于不同文章的比较，进行"词频"标准化。

![bg2013031504.png][]

或者

![bg2013031505.png][]

**第二步，计算逆文档频率。**

这时，需要一个语料库（corpus），用来模拟语言的使用环境。

![bg2013031506.png][]

如果一个词越常见，那么分母就越大，逆文档频率就越小越接近0。分母之所以要加1，是为了避免分母为0（即所有文档都不包含该词）。log表示对得到的值取对数。

**第三步，计算TF-IDF。**

![bg2013031507.png][]

**可以看到，TF-IDF与一个词在文档中的出现次数成正比，与该词在整个语言中的出现次数成反比。**所以，自动提取关键词的算法就很清楚了，就是计算出文档的每个词的TF-IDF值，然后按降序排列，取排在最前面的几个词。

还是以《中国的蜜蜂养殖》为例，假定该文长度为1000个词，"中国"、"蜜蜂"、"养殖"各出现20次，则这三个词的"词频"（TF）都为0.02。然后，搜索Google发现，包含"的"字的网页共有250亿张，假定这就是中文网页总数。包含"中国"的网页共有62.3亿张，包含"蜜蜂"的网页为0.484亿张，包含"养殖"的网页为0.973亿张。则它们的逆文档频率（IDF）和TF-IDF如下：

![bg2013031508.png][]

从上表可见，"蜜蜂"的TF-IDF值最高，"养殖"其次，"中国"最低。（如果还计算"的"字的TF-IDF，那将是一个极其接近0的值。）所以，如果只选择一个词，"蜜蜂"就是这篇文章的关键词。

除了自动提取关键词，TF-IDF算法还可以用于许多别的地方。比如，信息检索时，对于每个文档，都可以分别计算一组搜索词（"中国"、"蜜蜂"、"养殖"）的TF-IDF，将它们相加，就可以得到整个文档的TF-IDF。这个值最高的文档就是与搜索词最相关的文档。

TF-IDF算法的优点是简单快速，结果比较符合实际情况。缺点是，单纯以"词频"衡量一个词的重要性，不够全面，有时重要的词可能出现次数并不多。而且，这种算法无法体现词的位置信息，出现位置靠前的词与出现位置靠后的词，都被视为重要性相同，这是不正确的。（一种解决方法是，对全文的第一段和每一段的第一句话，给予较大的权重。）

今天，我们再来研究另一个相关的问题。有些时候，除了找到关键词，我们还希望找到与原文章相似的其他文章。比如，"Google新闻"在主新闻下方，还提供多条相似的新闻。

![bg2013032001.png][]

为了找出相似的文章，需要用到["余弦相似性"][Link 2]（cosine similiarity）。下面，我举一个例子来说明，什么是"余弦相似性"。

为了简单起见，我们先从句子着手。

> 　　句子A：我喜欢看电视，不喜欢看电影。
> 
> 　　句子B：我不喜欢看电视，也不喜欢看电影。

请问怎样才能计算上面两句话的相似程度？

基本思路是：如果这两句话的用词越相似，它们的内容就应该越相似。因此，可以从词频入手，计算它们的相似程度。

**第一步，分词。**

> 　　句子A：我/喜欢/看/电视，不/喜欢/看/电影。
> 
> 　　句子B：我/不/喜欢/看/电视，也/不/喜欢/看/电影。

**第二步，列出所有的词。**

> 　　我，喜欢，看，电视，电影，不，也。

**第三步，计算词频。**

> 　　句子A：我 1，喜欢 2，看 2，电视 1，电影 1，不 1，也 0。
> 
> 　　句子B：我 1，喜欢 2，看 2，电视 1，电影 1，不 2，也 1。

**第四步，写出词频向量。**

> 　　句子A：\[1, 2, 2, 1, 1, 1, 0\]
> 
> 　　句子B：\[1, 2, 2, 1, 1, 2, 1\]

到这里，问题就变成了如何计算这两个向量的相似程度。

我们可以把它们想象成空间中的两条线段，都是从原点（\[0, 0, ...\]）出发，指向不同的方向。两条线段之间形成一个夹角，如果夹角为0度，意味着方向相同、线段重合；如果夹角为90度，意味着形成直角，方向完全不相似；如果夹角为180度，意味着方向正好相反。**因此，我们可以通过夹角的大小，来判断向量的相似程度。夹角越小，就代表越相似。**

![bg2013032002.png][]

以二维空间为例，上图的a和b是两个向量，我们要计算它们的夹角θ。[余弦定理][Link 3]告诉我们，可以用下面的公式求得：

![bg2013032004.png][]

![bg2013032003.png][]

假定a向量是\[x1, y1\]，b向量是\[x2, y2\]，那么可以将余弦定理改写成下面的形式：

![bg2013032006.png][]

![bg2013032005.png][]

数学家已经证明，余弦的这种计算方法对n维向量也成立。假定A和B是两个n维向量，A是 \[A1, A2, ..., An\] ，B是 \[B1, B2, ..., Bn\] ，则A与B的夹角θ的余弦等于：

![bg2013032007.png][]

使用这个公式，我们就可以得到，句子A与句子B的夹角的余弦。

![bg2013032008.png][]

**余弦值越接近1，就表明夹角越接近0度，也就是两个向量越相似，这就叫"余弦相似性"。**所以，上面的句子A和句子B是很相似的，事实上它们的夹角大约为20.3度。

由此，我们就得到了"找出相似文章"的一种算法：

> 　　（1）使用TF-IDF算法，找出两篇文章的关键词；
> 
> 　　（2）每篇文章各取出若干个关键词（比如20个），合并成一个集合，计算每篇文章对于这个集合中的词的词频（为了避免文章长度的差异，可以使用相对词频）；
> 
> 　　（3）生成两篇文章各自的词频向量；
> 
> 　　（4）计算两个向量的余弦相似度，值越大就表示越相似。

"余弦相似度"是一种非常有用的算法，只要是计算两个向量的相似程度，都可以采用它。

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[TF-IDF]: http://en.wikipedia.org/wiki/Tf%E2%80%93idf
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[Link 1]: http://baike.baidu.com/view/3784680.htm
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[Link 2]: http://en.wikipedia.org/wiki/Cosine_similarity
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[Link 3]: http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E9%A4%98%E5%BC%A6%E5%AE%9A%E7%90%86
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