LCA在线算法ST算法

矫情吗；* 2022-08-13 16:49 152阅读 0赞

求LCA（最近公共祖先）的算法有好多，按在线和离线分为在线算法和离线算法。

离线算法有基于搜索的Tarjan算法较优，而在线算法则是基于dp的ST算法较优。

首先说一下ST算法。

这个算法是基于RMQ（区间最大最小值编号）的，不懂的可以[这里][Link 1]学习一些

而求LCA就是把树通过深搜得到一个序列，然后转化为求区间的最小编号。

比如说给出这样一棵树。

![Image 1][]![Center][]

![Image 1][]

我们通过深搜可以得到这样一个序列：

节点ver 1 3 1 2 5 7 5 6 5 2 4 2 1 (先右后左)  
深度R 1 2 1 2 3 4 3 4 3 2 3 2 1  
首位first 1 4 2 11 5 8 6

那么我们就可以这样写深搜函数

int tot,head[N],ver[2*N],R[2*N],first[N],dir[N];
    //ver:节点编号 R：深度 first：点编号位置 dir：距离
    void dfs(int u ,int dep)
    {
        vis[u] = true; ver[++tot] = u; first[u] = tot; R[tot] = dep;
        for(int k=head[u]; k!=-1; k=e[k].next)
            if( !vis[e[k].v] )
            {
                int v = e[k].v , w = e[k].w;
                dir[v] = dir[u] + w;
                dfs(v,dep+1);
                ver[++tot] = u; R[tot] = dep;
            }
    }

搜索得到序列之后假如我们想求4 和 7的 LCA

那么我们找4和7在序列中的位置通过first 数组查找发现在6---11

即7 5 6 5 2 4 在上面图上找发现正好是以2为根的子树。而我们只要找到其中一个深度最小的编号就可以了、

这时候我们就用到了RMQ算法。

维护一个dp数组保存其区间深度最小的下标，查找的时候返回就可以了。

比如上面我们找到深度最小的为2点，返回其编号10即可。

这部分不会的可以根据上面链接研究一些RMQ

代码可以这样写：

void ST(int n)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            dp[i][0] = i;
        for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
        {
            for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
            {
                int a = dp[i][j-1] , b = dp[i+(1<<(j-1))][j-1];
                dp[i][j] = R[a]<R[b]?a:b;
            }
        }
    }
    //中间部分是交叉的。
    int RMQ(int l,int r)
    {
        int k=0;
        while((1<<(k+1))<=r-l+1)
            k++;
        int a = dp[l][k], b = dp[r-(1<<k)+1][k]; //保存的是编号
        return R[a]<R[b]?a:b;
    }
    
    int LCA(int u ,int v)
    {
        int x = first[u] , y = first[v];
        if(x > y) swap(x,y);
        int res = RMQ(x,y);
        return ver[res];
    }

那么接下来的应该不是问题了。

上一个题目hdoj 2586 的AC代码：

#include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <cmath>
    using namespace std;
    //#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000") //不需要申请系统栈
    const int N = 40010;
    const int M = 25;
    int dp[2*N][M];  //这个数组记得开到2*N，因为遍历后序列长度为2*n-1
    bool vis[N];
    struct edge
    {
        int u,v,w,next;
    }e[2*N];
    int tot,head[N];
    inline void add(int u ,int v ,int w ,int &k)
    {
        e[k].u = u; e[k].v = v; e[k].w = w;
        e[k].next = head[u]; head[u] = k++;
        u = u^v; v = u^v; u = u^v;
        e[k].u = u; e[k].v = v; e[k].w = w;
        e[k].next = head[u]; head[u] = k++;
    }
    int ver[2*N],R[2*N],first[N],dir[N];
    //ver:节点编号 R：深度 first：点编号位置 dir：距离
    void dfs(int u ,int dep)
    {
        vis[u] = true; ver[++tot] = u; first[u] = tot; R[tot] = dep;
        for(int k=head[u]; k!=-1; k=e[k].next)
            if( !vis[e[k].v] )
            {
                int v = e[k].v , w = e[k].w;
                dir[v] = dir[u] + w;
                dfs(v,dep+1);
                ver[++tot] = u; R[tot] = dep;
            }
    }
    void ST(int n)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            dp[i][0] = i;
        for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
        {
            for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
            {
                int a = dp[i][j-1] , b = dp[i+(1<<(j-1))][j-1];
                dp[i][j] = R[a]<R[b]?a:b;
            }
        }
    }
    //中间部分是交叉的。
    int RMQ(int l,int r)
    {
        int k=0;
        while((1<<(k+1))<=r-l+1)
            k++;
        int a = dp[l][k], b = dp[r-(1<<k)+1][k]; //保存的是编号
        return R[a]<R[b]?a:b;
    }
    
    int LCA(int u ,int v)
    {
        int x = first[u] , y = first[v];
        if(x > y) swap(x,y);
        int res = RMQ(x,y);
        return ver[res];
    }
    
    int main()
    {
        //freopen("Input.txt","r",stdin);
        //freopen("Out.txt","w",stdout);
        int cas;
        scanf("%d",&cas);
        while(cas--)
        {
            int n,q,num = 0;
            scanf("%d%d",&n,&q);
            memset(head,-1,sizeof(head));
            memset(vis,false,sizeof(vis));
            for(int i=1; i<n; i++)
            {
                int u,v,w;
                scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
                add(u,v,w,num);
            }
            tot = 0; dir[1] = 0;
            dfs(1,1);
            /*printf("节点ver "); for(int i=1; i<=2*n-1; i++) printf("%d ",ver[i]); cout << endl;
            printf("深度R "); for(int i=1; i<=2*n-1; i++) printf("%d ",R[i]);   cout << endl;
            printf("首位first "); for(int i=1; i<=n; i++) printf("%d ",first[i]);    cout << endl;
            printf("距离dir "); for(int i=1; i<=n; i++) printf("%d ",dir[i]);      cout << endl;*/
            ST(2*n-1);
            while(q--)
            {
                int u,v;
                scanf("%d%d",&u,&v);
                int lca = LCA(u,v);
                printf("%d\n",dir[u] + dir[v] - 2*dir[lca]);
            }
        }
        return 0;
    }

[Link 1]: http://blog.csdn.net/y990041769/article/details/38405063
[Image 1]: 
[Center]: /images/20220810/6338cfe6d54343fd867d8c476f6b8ac2.png