给你一个能生成1到5随机数的函数，用它写一个函数生成1到7的随机数。

曾经终败给现在 2022-08-08 15:59 178阅读 0赞

某所某中心的笔试题，感觉真的是分分钟被碾压 ![微笑][smile.gif]

### **已知rand5()产生0-5的随机整数，利用该函数生成函数rand7()产生0-7的随机整数。** ###

### rand5可以随机生成1,2,3,4,5；rand7可以随机生成1,2,3,4,5,6,7。 rand5并不能直接产生6，7，所以直接用rand5去实现函数rand7似乎不太好入手。 如果反过来呢？给你rand7，让你实现rand5，这个好实现吗？ ###

### 一个非常直观的想法就是不断地调用rand7，直到它产生1到5之间的数，然后返回。代码如下： ###

intRand5(){
        intx=~(1<<31);// max int
        while(x>5)
            x=Rand7();
        returnx;
    }

等等，这个函数可以等概率地产生1到5的数吗？首先，它确确实实只会返回1到5这几个数， 其次，对于这些数，都是由Rand7等概率产生的(1/7)，没有对任何一个数有偏袒， 直觉告诉我们，Rand5就是等概率地产生1到5的。事实呢？让我们来计算一下， 产生1到5中的数的概率是不是1/5就OK了。比如说，让我们来计算一下Rand5生成1 的概率是多少。上面的函数中有个while循环，只要没生成1到5间的数就会一直执行下去。 因此，我们要的1可能是第一次调用Rand7时产生，也可能是第二次，第三次，…第n次。 第1次就生成1，概率是1/7；第2次生成1，说明第1次没生成1到5间的数而生成了6，7， 所以概率是(2/7)\*(1/7)，依次类推。生成1的概率计算如下：

P(x=1)=1/7+(2/7)*1/7+(2/7)^2*1/7+(2/7)^3*1/7+...
          =1/7*(1+2/7+(2/7)^2+...)// 等比数列
          =1/7*1/(1-2/7)
          =1/7*7/5
          =1/5

上述计算说明Rand5是等概率地生成1,2,3,4,5的(1/5的概率)。从上面的分析中， 我们可以得到一个一般的结论，如果a > b，那么一定可以用Randa去实现Randb。其中， Randa表示等概率生成1到a的函数，Randb表示等概率生成1到b的函数。代码如下：

// a > b
    intRandb(){
        intx=~(1<<31);// max int
        while(x>b)
            x=Randa();
        returnx;
    }

回到正题，现在题目要求我们要用Rand5来实现Rand7，只要我们将Rand5 映射到一个能产生更大随机数的Randa，其中a > 7，就可以套用上面的模板了。 这里要注意一点的是，你映射后的Randa一定是要满足等概率生成1到a的。比如，

Rand5() + Rand5() - 1;

上述代码可以生成1到9的数，但它们是等概率生成的吗？不是。生成1只有一种组合： 两个Rand5()都生成1时：(1, 1)；而生成2有两种：(1, 2)和(2, 1)；生成6更多。 它们的生成是不等概率的。那要怎样找到一个等概率生成数的组合呢？

我们先给出一个组合，再来进行分析。组合如下：

5*(Rand5()-1)+Rand5();

Rand5产生1到5的数，减1就产生0到4的数，乘以5后可以产生的数是：0,5,10,15,20。 再加上第二个Rand5()产生的1,2,3,4,5。我们可以得到1到25， 而且每个数都只由一种组合得到，即上述代码可以等概率地生成1到25。OK， 到这基本上也就解决了.

套用上面的模板，我们可以得到如下代码：

int Rand7(){
        int x = ~(1<<31); // max int
        while(x > 7)
            x = 5 * (Rand5() - 1) + Rand5() // Rand25
        return x;
    }

上面的代码有什么问题呢？可能while循环要进行很多次才能返回。 因为Rand25会产生1到25的数，而只有1到7时才跳出while循环， 生成大部分的数都舍弃掉了。这样的实现明显不好。我们应该让舍弃的数尽量少， 于是我们可以修改while中的判断条件，让x与最接近25且小于25的7的倍数相比。 于是判断条件可改为x > 21，于是x的取值就是1到21。 我们再通过取模运算把它映射到1-7即可。代码如下：

int Rand7(){
        int x = ~(1<<31); // max int
        while(x > 21)
            x = 5 * (Rand5() - 1) + Rand5() // Rand25
        return x%7 + 1;
    }

这个实现就比上面的实现要好，并且可以保证等概率生成1到7的数。

让我们把这个问题泛化一下，从特殊到一般。现在我给你两个生成随机数的函数Randa， Randb。Randa和Randb分别产生1到a的随机数和1到b的随机数，a，b不相等 (相等就没必要做转换了)。现在让你用Randa实现Randb。

通过上文分析，我们可以得到步骤如下：

1.  如果a > b，进入步骤2；否则构造Randa2 = a \* (Randa – 1) + Randa， 表示生成1到a2 随机数的函数。如果a2 仍小于b，继教构造 Randa3 = a \* (Randa2 - 1) + Randa…直到ak > b，这时我们得到Randak , 我们记为RandA。
2.  步骤1中我们得到了RandA(可能是Randa或Randak )，其中A > b， 我们用下述代码构造Randb：
3.      // A > b
        int Randb(){
            int x = ~(1<<31); // max int
            while(x > b*(A/b)) // b*(A/b)表示最接近A且小于A的b的倍数
                x = RandA();
            return x%b + 1;
        }
4.  从上面一系列的分析可以发现，如果给你两个生成随机数的函数Randa和Randb， 你可以通过以下方式轻松构造Randab，生成1到a\*b的随机数。
    
        Randab = b * (Randa - 1) + Randb
        Randab = a * (Randb - 1) + Randa
    
      
    如果再一般化一下，我们还可以把问题变成：给你一个随机生成a到b的函数， 用它去实现一个随机生成c到d的函数。有兴趣的同学可以思考一下，这里不再讨论。
5.  (思路分析：何谓随机数，就是概率相等地产生某个范围内的数。那么由生成0-5范围的整数就需要被放大为产生更大范围的随机数同时生成每个整数的概率是相等的，其实保证产生的每个整数是等概率的就是关键。)
6.  1.

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