硬币的面值组合个数

谁借莪１个温暖的怀抱￠ 2022-08-08 15:51 204阅读 0赞

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假设我们有8种不同面值的硬币｛1，2，5，10，20，50，100，200｝，用这些硬币组合够成一个给定的数值n。例如n=200，那么一种可能的组合方式为 200 = 3 \* 1 + 1＊2 + 1＊5 + 2＊20 + 1 \* 50 + 1 \* 100. 问总过有多少种可能的组合方式？ (这道题目来自著名编程网站ProjectEuler, 点击[这里][Link 1]查看原题目) 类似的题目还有：

\[华为面试题\] 1分2分5分的硬币三种，组合成1角，共有多少种组合

\[创新工厂笔试题\] 有1分，2分，5分，10分四种硬币，每种硬币数量无限，给定n分钱，有多少中组合可以组成n分钱

## 问题分析 ##

给定一个数值sum，假设我们有m种不同类型的硬币\{V1, V2, ..., Vm\}，如果要组合成sum，那么我们有

sum = x1 \* V1 + x2 \* V2 + ... + xm \* Vm

求所有可能的组合数，就是求满足前面等值的系数\{x1, x2, ..., xm\}的所有可能个数。

**　　\[思路1\]** 当然我们可以采用暴力枚举，各个系数可能的取值无非是x1 = \{0, 1, ..., sum / V1\}, x2 = \{0, 1, ..., sum/ V2\}等等。这对于硬币种类数较小的题目还是可以应付的，比如华为和创新工厂的题目，但是复杂度也很高O（sum/V1 \* sum/V2 \* sum/V3 \* ...）

**　　\[思路2\]** 从上面的分析中我们也可以这么考虑，我们希望用m种硬币构成sum，根据最后一个硬币Vm的系数的取值为无非有这么几种情况，xm分别取｛0, 1, 2, ..., sum/Vm｝，换句话说，上面分析中的等式和下面的几个等式的联合是等价的。

sum = x1 \* V1 + x2 \* V2 + ... + 0 \* Vm

sum = x1 \* V1 + x2 \* V2 + ... + 1 \* Vm

sum = x1 \* V1 + x2 \* V2 + ... + 2 \* Vm

...

sum = x1 \* V1 + x2 \* V2 + ... + K \* Vm

其中K是该xm能取的最大数值K = sum / Vm。可是这又有什么用呢？不要急，我们先进行如下变量的定义：

dp\[i\]\[sum\] = 用前i种硬币构成sum 的所有组合数。

那么题目的问题实际上就是求dp\[m\]\[sum\]，即用前m种硬币（所有硬币）构成sum的所有组合数。在上面的联合等式中：当xn=0时，有多少种组合呢？ 实际上就是前i-1种硬币组合sum，有dp\[i-1\]\[sum\]种！ xn = 1 时呢，有多少种组合？ 实际上是用前i-1种硬币组合成(sum - Vm)的组合数，有dp\[i-1\]\[sum -Vm\]种; xn =2呢， dp\[i-1\]\[sum - 2 \* Vm\]种，等等。所有的这些情况加起来就是我们的dp\[i\]\[sum\]。所以：

dp\[i\]\[sum\] = dp\[i-1\]\[sum - 0\*Vm\] + dp\[i-1\]\[sum - 1\*Vm\]

\+ dp\[i-1\]\[sum - 2\*Vm\] + ... + dp\[i-1\]\[sum - K\*Vm\]; 其中K = sum / Vm

换一种更抽象的数学描述就是：

![递归公式][tex2img.php_eq_dp_5Bi_5D_5Bsum_5D_20_3D_20_5Csum_7Bk_3D0_7D_5E_7Bsum_2FVm_7D_20dp_5Bi-1_5D_5Bsum_20-_20k_2AVm_5D_bc_White_fc_Black_im_png_fs_12_ff_arev_edit_0]

通过此公式，我们可以看到问题被一步步缩小，那么初始情况是什么呢？如果sum=0，那么无论有前多少种来组合0，只有一种可能，就是各个系数都等于0；

dp\[i\]\[0\] = 1 // i = 0, 1, 2, ... , m

如果我们用二位数组表示dp\[i\]\[sum\], 我们发现第i行的值全部依赖与i-1行的值，所以我们可以逐行求解该数组。如果前0种硬币要组成sum，我们规定为dp\[0\]\[sum\] = 0.

## 程序源码 ##

通过上面的讨论，我们最终可以写出下面的代码来求解该类问题：

![复制代码][copycode.gif]

1 /* 
     2  * Filename :coins.cpp
     3  * Description: solve coin combinations using dynamic programing
     4  * Complier: g++
     5  * Author: python27
     6  */
     7 #include <iostream>
     8 #include <string>
     9 #include <cmath>
    10 #include <vector>
    11 
    12 using namespace std;
    13 
    14 /****************************************************************
    15  * coin Combinations: using dynamic programming
    16  *
    17  * Basic idea:
    18  * dp[i][j] = sum(dp[i-1][j-k*coins[i-1]]) for k = 1,2,..., j/coins[i-1]
    19  * dp[0][j] = 1 for j = 0, 1, 2, ..., sum
    20  * 
    21  * Input:
    22  * coins[] - array store all values of the coins
    23  * coinKinds - how many kinds of coins there are
    24  * sum - the number you want to construct using coins
    25  *
    26  * Output:
    27  * the number of combinations using coins construct sum
    28  *
    29  * Usage:
    30  * c[3] = {1, 2, 5};
    31  * int result = coinCombinations(c, 3, 10);
    32  *
    33  ****************************************************************/
    34 int coinCombinations(int coins[], int coinKinds, int sum)
    35 {
    36     // 2-D array using vector: is equal to: dp[coinKinds+1][sum+1] = {0};
    37     vector<vector<int> > dp(coinKinds + 1);
    38     for (int i = 0; i <= coinKinds; ++i)
    39     {
    40         dp[i].resize(sum + 1);
    41     }
    42     for (int i = 0; i <= coinKinds; ++i)
    43     {
    44         for (int j = 0; j <= sum; ++j)
    45         {
    46             dp[i][j] = 0;
    47         }
    48     }
    49 
    50     //init: dp[i][0] = 1; i = 0, 1, 2 ..., coinKinds
    51     //Notice: dp[0][0] must be 1, althongh it make no sense that
    52     //using 0 kinds of coins construct 0 has one way. but it the foundation
    53     //of iteration. without it everything based on it goes wrong
    54     for (int i = 0; i <= coinKinds; ++i)
    55     {
    56         dp[i][0] = 1;
    57     }
    58 
    59     // iteration: dp[i][j] = sum(dp[i-1][j - k*coins[i-1]])
    60     // k = 0, 1, 2, ... , j / coins[i-1]
    61     for (int i = 1; i <= coinKinds; ++i)
    62     {
    63         for (int j = 1; j <= sum; ++j)
    64         {
    65             dp[i][j] = 0;
    66             for (int k = 0; k <= j / coins[i-1]; ++k)
    67             {
    68                 dp[i][j] += dp[i-1][j - k * coins[i-1]];
    69             }
    70         }
    71     }
    72 
    73     return dp[coinKinds][sum];
    74 }
    75 
    76 int main()
    77 {
    78     int coins[8] = {
       1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200};
    79     int sum = 200;
    80     int result = coinCombinations(coins, 8, 200);
    81     cout << "using 8 kinds of coins construct 200, combinations are: " << endl;
    82     cout << result << endl;
    83     return 0;
    84 }

![复制代码][copycode.gif]

聪明的读者或许已经发现，在算法的描述中说明用动态规划的方法来求解此问题，什么？动态规划，我们什么时候用动态规划了？哈哈，在我们写出递归公式并且给出初始解的时候，我们就已经在用动态规划了。

动态规划的基本思想就是将待求解问题分解为若干子问题，（如本题中我们将dp\[i\]\[j\]分解为若干dp\[i-1\]\[j-x\]的问题），先求解这些子问题并将结果保存起来( 我们用dp\[\]\[\]二维数组保存子结果)，若在求解较大的问题时用到较小子问题的结果，可以直接取用(求dp\[i\]\[j\]时用dp\[i-1\]\[x\]的结果)，从而免去重复计算。动态规划是一种非常强大的算法思想，无论做过多少动态规划的题目，下一次依然会被动态规划的强大所震撼。随后的博客中，我们会更多的接触动态规划。你可以在后面的参考文献中找到更多有用的资源。

[http_www.cnblogs.com_python27_archive_2013_09_05_3303721.html]: http://www.cnblogs.com/python27/archive/2013/09/05/3303721.html
[Link 1]: http://projecteuler.net/problem=31
[tex2img.php_eq_dp_5Bi_5D_5Bsum_5D_20_3D_20_5Csum_7Bk_3D0_7D_5E_7Bsum_2FVm_7D_20dp_5Bi-1_5D_5Bsum_20-_20k_2AVm_5D_bc_White_fc_Black_im_png_fs_12_ff_arev_edit_0]: /images/20220731/b696fcd05d7d4eb694993fe1aceb56da.png
[copycode.gif]: /images/20220731/1585a42ded134f69a9d519aaed4c2ff8.png