LDA-math-神奇的Gamma函数

╰+攻爆jí腚メ 2022-08-08 05:14 226阅读 0赞

**1. 神奇的Gamma函数  
1.1 Gamma 函数诞生记**  
学高等数学的时候，我们都学习过如下一个长相有点奇特的Gamma函数

Γ(*x*)=∫ ∞ 0 *t* *x*−1 *e* −*t* *d**t*

通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质

Γ(*x*\+1)=*x*Γ(*x*)

于是很容易证明，  Γ(*x*)  函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，具有如下性质

Γ(*n*)=(*n*−1)!

学习了Gamma 函数之后，多年以来我一直有两个疑问：

*  这个长得这么怪异的一个函数，数学家是如何找到的；
 *  为何定义 Γ  函数的时候，不使得这个函数的定义满足Γ(*n*)=*n*!  而是 Γ(*n*)=(*n*−1)!

最近翻了一些资料，发现有不少文献资料介绍 Gamma 函数发现的历史，要说清楚它需要一定的数学推导，这儿只是简要的说一些主线。

1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列 1,4,9,16,⋯  可以用通项公式 *n* 2   自然的表达，即便 *n*  为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线*y*=*x* 2  通过所有的整数点(*n*,*n* 2 ) ，从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列 1,2,6,24,120,720,⋯ ,我们可以计算 2!,3! , 是否可以计算 2.5! 呢？我们把最初的一些 (*n*,*n*!) 的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。

[  
][Link 1][![factorial][]][factorial 1] [ ![factorial-curve][]][_factorial-curve]

但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教尼古拉斯.贝努利和他的弟弟丹尼尔.贝努利，由于欧拉当时和丹尼尔.贝努利在一块，他也因此得知了这个问题。而欧拉于1729 年完美的解决了这个问题，由此导致了Γ  函数的诞生，当时欧拉只有22岁。

事实上首先解决*n*! 的插值计算问题的是丹尼尔.贝努利，他发现，  
如果 *m*,*n* 都是正整数，如果 *m*→∞ ，有

1⋅2⋅3⋯*m*(1\+*n*)(2\+*n*)⋯(*m*−1\+*n*) (*m*\+*n*2 ) *n*−1 →*n*!

于是用这个无穷乘积的方式可以把  *n*! 的定义延拓到实数集合。例如，取  *n*=2.5 ,  *m*  足够大，基于上式就可以近似计算出  2.5! 。

欧拉也偶然的发现 *n*!  可以用如下的一个无穷乘积表达

\[(21 ) *n* 1*n*\+1 \]\[(32 ) *n* 2*n*\+2 \]\[(43 ) *n* 3*n*\+3 \]⋯=*n*!(∗) (1)

用极限形式，这个式子整理后可以写为

lim *m*→∞ 1⋅2⋅3⋯*m*(1\+*n*)(2\+*n*)⋯(*m*\+*n*) (*m*\+1) *n* =*n*!(∗∗) (2)

左边可以整理为

=== 1⋅2⋅3⋯*m*(1\+*n*)(2\+*n*)⋯(*m*\+*n*) (*m*\+1) *n* 1⋅2⋅3⋯*n*⋅(*n*\+1)(*n*\+2)⋯*m*(1\+*n*)(2\+*n*)⋯*m* ⋅(*m*\+1) *n* (*m*\+1)(*m*\+2)⋯(*m*\+*n*) *n*!(*m*\+1) *n* (*m*\+1)(*m*\+2)⋯(*m*\+*n*) *n*!∏ *k*=1 *n* *m*\+1*m*\+*k* →*n*!(*m*→∞)

所以 (\*)、(\*\*)式都成立。

欧拉开始尝试从一些简单的例子开始做一些计算，看看是否有规律可循，欧拉极其擅长数学的观察与归纳。当 *n*=1/2  的时候，带入(\*)式计算，整理后可以得到

(12 )!=2⋅43⋅3 ⋅4⋅65⋅5 ⋅6⋅87⋅7 ⋅8⋅109⋅9 ⋯ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −  √

然而右边正好和著名的 Wallis 公式关联。Wallis 在1665年使用插值方法计算半圆曲线  *y*=*x*(1−*x*) − − − − − − −  √   下的面积(也就是直径为1的半圆面积)的时候，得到关于  *π* 的如下结果，

2⋅43⋅3 ⋅4⋅65⋅5 ⋅6⋅87⋅7 ⋅8⋅109⋅9 ⋯=*π*4

于是，欧拉利用 Wallis 公式得到了如下一个很漂亮的结果

(12 )!=*π*  √ 2

[![euler][]][euler 1]大数学家欧拉

欧拉和高斯都是具有超凡直觉的数学家，但是欧拉和高斯的风格迥异。高斯是个老狐狸，数学上非常严谨，发表结果的时候却都把思考的痕迹抹去，只留下漂亮的结果，这招致了一些数学家对高斯的批评；而欧拉的风格不同，经常通过经验直觉做大胆的猜测，而他的文章中往往留下他如何做数学猜想的痕迹，而文章有的时候论证不够严谨。 拉普拉斯曾说过：”读读欧拉,他是所有人的老师。”波利亚在他的名著《数学与猜想》中也对欧拉做数学归纳和猜想的方式推崇备至。

欧拉看到 (12 )!  中居然有 *π* , 对数学家而言，有*π*  的地方必然有和圆相关的积分。由此欧拉猜测 *n*!  一定可以表达为某种积分形式，于是欧拉开始尝试把 *n*!  表达为积分形式。虽然Wallis 的时代微积分还没有发明出来，Wallis 是使用插值的方式做推导计算的，但是Wallis 公式的推导过程基本上就是在处理积分 ∫ 1 0 *x* 12  (1−*x*) 12  *d**x* ，受 Wallis 的启发，欧拉开始考虑如下的一般形式的积分

*J*(*e*,*n*)=∫ 1 0 *x* *e* (1−*x*) *n* *d**x*

此处n 为正整数，  *e*  为正实数。利用分部积分方法，容易得到

*J*(*e*,*n*)=*n**e*\+1 *J*(*e*\+1,*n*−1)

重复使用上述迭代公式，最终可以得到

*J*(*e*,*n*)=1⋅2⋯*n*(*e*\+1)(*e*\+2)⋯(*e*\+*n*\+1)

于是欧拉得到如下一个重要的式子

*n*!=(*e*\+1)(*e*\+2)⋯(*e*\+*n*\+1)∫ 1 0 *x* *e* (1−*x*) *n* *d**x*

接下来，欧拉使用了一点计算技巧，取  *e*=*f*/*g*  并且令  *f*→1,*g*→0 ,  
然后对上式右边计算极限(极限计算的过程此处略去，推导不难，有兴趣的同学看后面的参考文献吧)，于是欧拉得到如下简洁漂亮的结果：

*n*!=∫ 1 0 (−log*t*) *n* *d**t*

欧拉成功的把  *n*! 表达为了积分形式！如果我们做一个变换  *t*=*e* −*u*  ,就可以得到我们常见的Gamma 函数形式

*n*!=∫ ∞ 0 *u* *n* *e* −*u* *d**u*

于是,利用上式把阶乘延拓到实数集上，我们就得到 Gamma 函数的一般形式

Γ(*x*)=∫ 1 0 (−log*t*) *x*−1 *d**t*=∫ ∞ 0 *t* *x*−1 *e* −*t* *d**t*

[![gamma-func][]][gamma-func 1]

Gamma 函数找到了，我们来看看第二个问题，为何 Gamma 函数被定义为 Γ(*n*)=(*n*−1)! , 这看起来挺别扭的。如果我们稍微修正一下，把Gamma 函数定义中的 *t* *x*−1   替换为*t* *x*

Γ(*x*)=∫ ∞ 0 *t* *x* *e* −*t* *d**t*

这不就可以使得  Γ(*n*)=*n*! 了嘛。欧拉最早的Gamma函数定义还真是如上所示，选择了  Γ(*n*)=*n*! ，可是欧拉不知出于什么原因，后续修改了 Gamma 函数的定义，使得  Γ(*n*)=(*n*−1)! 。 而随后勒让德等数学家对Gamma 函数的进一步深入研究中，认可了这个定义，于是这个定义就成为了既成事实。有数学家猜测，一个可能的原因是欧拉研究了如下积分

*B*(*m*,*n*)=∫ 1 0 *x* *m*−1 (1−*x*) *n*−1 *d**x*

这个函数现在称为Beta 函数。如果Gamma 函数的定义选取满足  Γ(*n*)=(*n*−1)! , 那么有

*B*(*m*,*n*)=Γ(*m*)Γ(*n*)Γ(*m*\+*n*)

非常漂亮的对称形式。可是如果选取  Γ(*n*)=*n*!  的定义，令

*E*(*m*,*n*)=∫ 1 0 *x* *m* (1−*x*) *n* *d**x*

则有

*E*(*m*,*n*)=Γ(*m*)Γ(*n*)Γ(*m*\+*n*\+1)

这个形式显然不如  *B*(*m*,*n*) 优美，而数学家总是很在乎数学公式的美感的。

要了解更多的 Gamma 函数的历史，推荐阅读

*  Philip J. Davis, Leonhard Euler’s Integral: A Historical Profile of the Gamma Function
 *  Jacques Dutka, The Early History of the Factorial Function
 *  Detlef Gronnau, Why is the gamma function so as it is?

**1.2 Gamma 函数欣赏**

*Each generation has found something of interest to say about the gamma function. Perhaps the next generation will also.   
—Philip J.Davis*

Gamma 函数从它诞生开始就被许多数学家进行研究，包括高斯、勒让德、威尔斯特拉斯、柳维尔等等。这个函数在现代数学分析中被深入研究，在概率论中也是无处不在，很多统计分布都和这个函数相关。Gamma 函数作为阶乘的推广，首先它也有和 Stirling 公式类似的一个结论

Γ(*x*)∼2*π* − −  √ *e* −*x* *x* *x*−12

另外， Gamma 函数不仅可以定义在实数集上，还可以延拓到整个复平面上。

[![gamma-complex][]][gamma-complex 1]复平面上的Gamma 函数

Gamma 函数有很多妙用，它不但使得 (1/2)! 的计算有意义，还能扩展很多其他的数学概念。比如导数，我们原来只能定义一阶、二阶等整数阶导数，有了Gamma 函数我们可以把函数导数的定义延拓到实数集，从而可以计算 1/2 阶导数,同样的积分作为导数的逆运算也可以有分数阶。我们先考虑一下 *x* *n*   的各阶导数

[![derivatives][]][derivatives 1]

由于k阶导数可以用阶乘表达，于是我们用Gamma 函数表达为

Γ(*n*\+1)Γ(*n*−*k*\+1) *x* *n*−*k*

于是基于上式，我们可以把导数的阶从整数延拓到实数集。例如，取  *n*=1,*k*=12  我们可以计算  *x*  的  12  阶导数为

Γ(1\+1)Γ(1−1/2\+1) *x* 1−1/2 =2*x*  √ *π*  √

很容易想到对于一般的函数 *f*(*x*)  通过 Taylor 级数展开可以表达为幂级数，于是借用 *x* *n*   的分数阶导数，我们可以尝试定义出任意函数的分数阶导数。不过有点遗憾的是这种定义方法并非良定义的，不是对所有函数都适用，但是这个思想却是被数学家广泛采纳了，并由此发展了数学分析中的一个研究课题：Fractional Calculus,在这种微积分中，分数阶的导数和积分都具有良定义，而这都依赖于 Gamma 函数。

Gamma 函数和欧拉常数*γ*  有密切关系，可以发现

*γ*=−*d*Γ(*x*)*d**x* | *x*=1 =lim *n*→∞ (1\+12 \+13 \+⋯\+1*n* –log*n*)

进一步还可以发现 Gamma 函数和黎曼函数*ζ*(*s*) 有密切联系，

*ζ*(*s*)=1\+12 *s*  \+13 *s*  \+⋯

而  *ζ*  函数涉及了数学中著名的黎曼猜想和素数的分布定理。希尔伯特曾说，如果他在沉睡1000年后醒来,他将问的第一个问题便是:黎曼猜想得到证明了吗？

[![digamma-func][]][digamma-func 1]

logΓ(*x*)

从Gamma 函数的图像我们可以看到它是一个凸函数, 不仅如此, logΓ(*x*)  也是一个凸函数，数学上可以证明如下定理:

**\[Bohr-Mullerup定理\]**  如果 *f*:(0,∞)→(0,∞) ,且满足

1.   *f*(1)=1 
2.   *f*(*x*\+1)=*x**f*(*x*) 
3.   log*f*(*x*)  是凸函数

那么 *f*(*x*)=Γ(*x*) , 也就是 Γ(*x*) 是唯一满足以上条件的函数。

如下函数被称为 Digamma 函数，

Ψ(*x*)=*d*logΓ(*x*)*d**x*

这也是一个很重要的函数，在涉及求Dirichlet 分布相关的参数的极大似然估计时，往往需要使用到这个函数。Digamma 函数具有如下一个漂亮的性质

Ψ(*x*\+1)=Ψ(*x*)\+1*x*

函数  Ψ(*x*) 和欧拉常数  *γ*  以及  *ζ*  函数都有密切关系，令

Ψ *n* (*x*)=*d* *n*\+1 logΓ(*x*)*d**x* *n*\+1

则  Ψ 0 (*x*)=Ψ(*x*) ,可以证明

Ψ(1)=−*γ*,Ψ(2)=1−*γ*

Ψ 1 (1)=*ζ*(2)=*π* 2 6 ,Ψ 2 (1)=−2*ζ*(3)

所以Gamma 函数在数学上是很有魅力的，它在数学上应用广泛，不仅能够被一个理科本科生很好的理解，本身又足够的深刻，具有很多漂亮的数学性质，历史上吸引了众多一流的数学家对它进行研究。美国数学家 Philip J.Davis 写了篇很有名的介绍 Gamma 函数的文章：“Leonhard Euler’s Integral:A Historical Profile of the Gamma Function”，文中对 Gamma 函数一些特性发现的历史进行了很详细的描述，这篇文章获得了 Chauvenet Prize(美国数学会颁发的数学科普最高奖)。[  
][Link 2]

(本小节主要是数学欣赏，如果对某些概念不熟悉，就略过吧:-))

**1.3 从二项分布到Gamma 分布**

Gamma 函数在概率统计中频繁现身，众多的统计分布，包括常见的统计学三大分布(*t*  分布，*χ* 2   分布，*F*  分布)、Beta分布、 Dirichlet 分布的密度公式中都有 Gamma 函数的身影；当然发生最直接联系的概率分布是直接由 Gamma 函数变换得到的 Gamma 分布。对Gamma 函数的定义做一个变形，就可以得到如下式子

∫ ∞ 0 *x* *α*−1 *e* −*x* Γ(*α*) *d**x*=1

于是，取积分中的函数作为概率密度，就得到一个形式最简单的Gamma 分布的密度函数

*G**a**m**m**a*(*x*|*α*)=*x* *α*−1 *e* −*x* Γ(*α*)

如果做一个变换  *x*=*β**t* , 就得到Gamma 分布的更一般的形式

*G**a**m**m**a*(*t*|*α*,*β*)=*β* *α* *t* *α*−1 *e* −*β**t* Γ(*α*)

其中  *α*  称为 shape parameter, 主要决定了分布曲线的形状;而  *β*  称为 rate parameter 或者inverse scale parameter (  1*β*   称为scale parameter),主要决定曲线有多陡。

[![gamma-distribution][]][gamma-distribution 1]*G**a**m**m**a*(*t*|*α*,*β*) 分布图像

Gamma 分布在概率统计领域也是一个万人迷，众多统计分布和它有密切关系。指数分布和*χ* 2   分布都是特殊的Gamma 分布。另外Gamma 分布作为先验分布是很强大的，在贝叶斯统计分析中被广泛的用作其它分布的先验。如果把统计分布中的共轭关系类比为人类生活中的情侣关系的话，那指数分布、Poission分布、正态分布、对数正态分布都可以是 Gamma 分布的情人。接下来的内容中中我们主要关注*β*=1 的简单形式的 Gamma 分布。

Gamma 分布首先和 Poisson 分布、Poisson 过程发生密切的联系。我们容易发现Gamma 分布的概率密度和 Poisson 分布在数学形式上具有高度的一致性。参数为*λ* 的Poisson 分布，概率写为

*P**o**i**s**s**o**n*(*X*=*k*|*λ*)=*λ* *k* *e* −*λ* *k*!

在 Gamma 分布的密度中取  *α*=*k*\+1  得到

*G**a**m**m**a*(*x*|*α*=*k*\+1)=*x* *k* *e* −*x* Γ(*k*\+1) =*x* *k* *e* −*x* *k*!

所以这两个分布数学形式上是一致的，只是 Poisson 分布是离散的，Gamma 分布是连续的，可以直观的认为 Gamma 分布是 Poisson 分布在正实数集上的连续化版本。

这种数学上的一致性是偶然的吗？这个问题我个人曾经思考了很久，终于想明白了从二项分布出发能把 Gamma 分布和 Poisson 分布紧密联系起来。我们在概率统计中都学过 *P**o**i**s**s**o**n*(*λ*)  分布可以看成是二项分布 *B*(*n*,*p*)  在 *n**p*=*λ*,*n*→∞  条件下的极限分布。如果你对二项分布关注的足够多，可能会知道二项分布的随机变量*X*∼*B*(*n*,*p*) 满足如下一个很奇妙的恒等式

*P*(*X*≤*k*)=*n*!*k*!(*n*−*k*−1)! ∫ 1 *p* *t* *k* (1−*t*) *n*−*k*−1 *d**t*(∗) (3)

这个等式反应的是二项分布和 Beta 分布之间的关系，证明并不难，它可以用一个物理模型直观的做概率解释，而不需要使用复杂的数学分析的方法做证明。由于这个解释和 Beta 分布有紧密的联系，所以这个直观的概率解释我们放到下一个章节，讲解 Beta/Dirichlet 分布的时候进行。此处我们暂时先承认(\*)这个等式成立。我们在等式右侧做一个变换*t*=*x**n*  ,得到

*P*(*X*≤*k*) =*n*!*k*!(*n*−*k*−1)! ∫ 1 *p* *t* *k* (1−*t*) *n*−*k*−1 *d**t*=*n*!*k*!(*n*−*k*−1)! ∫ *n* *n**p* (*x**n* ) *k* (1−*x**n* ) *n*−*k*−1 *d**x**n* =(*n*−1)!*k*!(*n*−*k*−1)! ∫ *n* *n**p* (*x**n* ) *k* (1−*x**n* ) *n*−*k*−1 *d**x*=∫ *n* *n**p* (*n*−1*k*)(*x**n* ) *k* (1−*x**n* ) *n*−*k*−1 *d**x*=∫ *n* *n**p* *B**i**n**o**m**i**a**l*(*Y*=*k*|*n*−1,*x**n* )*d**x* (4)

上式左侧是二项分布  *B*(*n*,*p*) , 而右侧为无穷多个二项分布  *B*(*n*−1,*x**n* ) 的积分和, 所以可以写为

*B**i**n**o**m**i**a**l*(*X*≤*k*|*n*,*p*)=∫ *n* *n**p* *B**i**n**o**m**i**a**l*(*Y*=*k*|*n*−1,*x**n* )*d**x* (5)

实际上，对上式两边在条件  *n**p*=*λ*,*n*→∞  下取极限，则左边有  *B*(*n*,*p*)→*P**o**i**s**s**o**n*(*λ*) , 而右边有  *B*(*n*−1,*x**n* )→*P**o**i**s**s**o**n*(*x*) ,所以得到

*P**o**i**s**s**o**n*(*X*≤*k*|*λ*)=∫ ∞ *λ* *P**o**i**s**s**o**n*(*Y*=*k*|*x*)*d**x* (6)

把上式右边的Possion 分布展开，于是得到

*P**o**i**s**s**o**n*(*X*≤*k*|*λ*)=∫ ∞ *λ* *P**o**i**s**s**o**n*(*Y*=*k*|*x*)*d**x*=∫ ∞ *λ* *x* *k* *e* −*x* *k*! *d**x*

所以对于们得到如下一个重要而有趣的等式

*P**o**i**s**s**o**n*(*X*≤*k*|*λ*)=∫ ∞ *λ* *x* *k* *e* −*x* *k*! *d**x*(∗∗) (7)

接下来我们继续玩点好玩的，对上边的等式两边在 *λ*→0  下取极限，左侧Poisson分布是要至少发生k个事件的概率， *λ*→0  的时候就不可能有事件发生了，所以 *P*(*X*≤*k*)→1 , 于是我们得到

1=lim *λ*→0 ∫ ∞ *λ* *x* *k* *e* −*x* *k*! *d**x*=∫ ∞ 0 *x* *k* *e* −*x* *k*! *d**x*

在这个积分式子说明  *f*(*x*)=*x* *k* *e* −*x* *k*!  在正实数集上是一个概率分布函数，而这个函数恰好就是Gamma 分布。我们继续把上式右边中的  *k*!  移到左边，于是得到

*k*!=∫ ∞ 0 *x* *k* *e* −*x* *d**x*

于是我们得到了  *k*!  表示为积分的方法。

看，我们从二项分布的一个等式出发, 同时利用二项分布的极限是Possion 分布这个性质，基于比较简单的逻辑，推导出了 Gamma 分布，同时把 *k*!  表达为 Gamma 函数了！实际上以上推导过程是给出了另外一种相对简单的发现 Gamma 函数的途径。

回过头我们看看(\*\*)式,非常有意思，它反应了Possion 分布和 Gamma 分布的关系，这个和(\*)式中中反应的二项分布和Beta 分布的关系具有完全相同的结构。把(\*\*)式变形一下得到

*P**o**i**s**s**o**n*(*X*≤*k*|*λ*)\+∫ *λ* 0 *x* *k* *e* −*x* *k*! *d**x*=1

我们可以看到，Poisson分布的概率累积函数和Gamma 分布的概率累积函数有互补的关系。

其实(\*)和(\*\*)这两个式子都是陈希儒院士的《概率论与数理统计》这本书第二章的课后习题，不过陈老师习题答案中给的证明思路是纯粹数学分析的证明方法，虽然能证明等式成立，但是看完证明后无法明白这两个等式是如何被发现的。上诉的论述过程说明，从二项分布出发，这两个等式都有可以很好的从概率角度进行理解。希望以上的推导过程能给大家带来一些对 Gamma 函数和 Gamma 分布的新的理解，让Gamma 分布不再神秘。

[Link 1]: http://www.52nlp.cn/lda-math-%e7%a5%9e%e5%a5%87%e7%9a%84gamma%e5%87%bd%e6%95%b01/euler
[factorial]: http://cos.name/wp-content/uploads/2013/01/factorial.png
[factorial 1]: http://cos.name/2013/01/lda-math-%e7%a5%9e%e5%a5%87%e7%9a%84gamma%e5%87%bd%e6%95%b0/factorial/
[factorial-curve]: /images/20220805/e69c0307288c4dd3bcda470ebabdbeb8.png
[_factorial-curve]: http://cos.name/2013/01/lda-math-%e7%a5%9e%e5%a5%87%e7%9a%84gamma%e5%87%bd%e6%95%b0/factorial-curve/
[euler]: /images/20220805/a6a801259ae941ef866720adaddd9cde.png
[euler 1]: http://cos.name/2013/01/lda-math-%e7%a5%9e%e5%a5%87%e7%9a%84gamma%e5%87%bd%e6%95%b0/euler/
[gamma-func]: /images/20220805/c9d35b12ebf947a596d77fd31cd26930.png
[gamma-func 1]: http://cos.name/2013/01/lda-math-%e7%a5%9e%e5%a5%87%e7%9a%84gamma%e5%87%bd%e6%95%b0/gamma-func/
[gamma-complex]: /images/20220805/be33d9b672a3443da33898d6fe28dabc.png
[gamma-complex 1]: http://cos.name/2013/01/lda-math-%e7%a5%9e%e5%a5%87%e7%9a%84gamma%e5%87%bd%e6%95%b0/gamma-complex/
[derivatives]: /images/20220805/38ce2148beb64e5d91bdabfad60660c0.png
[derivatives 1]: http://cos.name/2013/01/lda-math-%e7%a5%9e%e5%a5%87%e7%9a%84gamma%e5%87%bd%e6%95%b0/derivatives/
[digamma-func]: /images/20220805/899c86ae79fd43b4bb91e8145a6b1a80.png
[digamma-func 1]: http://cos.name/2013/01/lda-math-%e7%a5%9e%e5%a5%87%e7%9a%84gamma%e5%87%bd%e6%95%b0/digamma-func/
[Link 2]: http://www.52nlp.cn/lda-math-%e7%a5%9e%e5%a5%87%e7%9a%84gamma%e5%87%bd%e6%95%b02/digamma-func
[gamma-distribution]: /images/20220805/5fae9da6db6248df80655c41900eefaa.png
[gamma-distribution 1]: http://cos.name/2013/01/lda-math-%e7%a5%9e%e5%a5%87%e7%9a%84gamma%e5%87%bd%e6%95%b0/gamma-distribution/