c计算sin()函数的近似值，不使用函数库

桃扇骨 2022-08-07 11:42 186阅读 0赞

首先是自己写的代码如下：

// sinx.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
    //
    
    #include "stdafx.h"
    
    #include "math.h"
    
    //该函数计算阶乘
    double ProductFunc(double x)
    {
    	double product =x;
    
    	while (1!=x)
    	{
    		product *= (--x);
    	}
    	return product;
    }
    
    double myTestFunc(double inputx)
    {
    	//分子
    	double fenzi = inputx;
    
    	//符号
    	int fuhao = 1;
    
    	//分母
    	double fenmu = 1;
    
    	//分母总和
        double fenmuS = 1;
    
    	//记录总结果总和
    	double sum = 0;
    
    	//循环递归调用
    	do 
    	{
    	    //累加计算
    		sum += fuhao*fenzi /fenmuS;
    
    		//分子变化
    		fenzi *= inputx*inputx;
    
    		//符号变化
    		fuhao = fuhao *(-1);
    
    		//分母变化
    		fenmu += 2;
    
    		//分母总和变化
    		fenmuS = ProductFunc(fenmu);
    
    	} while (abs(fenzi/fenmu)>1e-5);//循环条件
    
    	    //返回总和
    		return sum;
    }
    
    #define PI 3.1415926
    
    int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
    {
    
        double inputx = (PI)/6;
    
    	double kk = myTestFunc(inputx);
    
    	double kkk = sin(inputx);
    
    	return 0;
    }

对比大牛代码：

先听故事，再编程序。故事是这样的：话说sin和cos是一对夫妇。一天，sin去听相声了，cos在家。过了一会，有人敲门，cos开门一看，是一个不认识的多项式函数。cos问：你是谁啊？他说：我是你的老公sin啊。cos说：你不是去听相声了吗？怎么成这幅摸样了？他说：是啊，太乐了！故事讲完了。不懂吗？好好学高数。否则，挂了不冤。

![0_13234355264iLu.gif][]  
  
编程序求出sin(π/2)、cos(87°)  
程序的要求是这样的：（1）求sin、cos时，不能用数学库函数(即不得用\#include<Cmath>)，而是自己编函数实现，为区别，可以分别起名为mysin和mycos；（2）自定义函数要写在main函数之后；（3）自定义函数的效率问题必须考虑；（4）关于精度：当最后一项的绝对值小于0.00001时，累加结束。

实验目的：学会使用自定义函数解决实际问题  
实验内容：定义自定义函数，计算sin和cos的近似值

【先上调试后正确的程序】此程序上我也经历了和大家一样的磨难，犯的错误很“隐蔽”，将在后面细表。

**\[cpp\]** [view plain][] [copy][view plain] [print][view plain] [?][view plain]

1.  /\* 程序头部注释开始
2.  \* 程序的版权和版本声明部分
3.  \* Copyright (c) 2011, 烟台大学计算机学院学生
4.  \* All rights reserved.
5.  \* 文件名称： sin\_and\_cos.cpp 
6.  \* 作 者： 贺利坚 
7.  \* 完成日期： 2011 年 11 月 22 日
8.  \* 版本 号： v2.0 
9.  
10. \* 对任务及求解方法的描述部分
11. \* 输入描述：无
12. \* 问题描述：自定义函数，用泰勒公式实现计算sin和cos的近似值，要求：（1）求sin、cos时，不能用数学库函数(即不得用\#include<Cmath>)，而是自己编函数实现，为区别，可以分别起名为mysin和mycos；（2）自定义函数要写在main函数之后；（3）自定义函数的效率问题必须考虑；（4）关于精度：当最后一项的绝对值小于0.00001时，累加结束。
13. \* 程序输出：sin(π/2)、cos(87°)的值（提示：用泰勒公式在π/2附近误差较大，输出分别为0.911557和-0.26322，而真值分别为1和0.052336，当度数较小时，效果要好一些。）
14. \* 算法设计：使用泰勒公式
15. \* 程序头部的注释结束（此处也删除了斜杠）
16. \*/
17. \#include <iostream> 
18. \#include<Cmath> //为便于对比结果，main函数中调用了Cmath中的库函数sin和cos
19. **using****namespace** std; 
20. **const****double** pi=3.1415926; 
21. **double** mysin(**double**); 
22. **double** mycos(**double**); 
23. **double** myabs(**double**); //程序中需要求精度的绝对值，也用自定义函数完成吧
24. **int** main( ) 
25. \{ 
26.  cout<<"sin(π/2)的值为"<<mysin(pi/2)<<endl; 
27.  cout<<"cos(87°)的值为"<<mycos((87.0/180)\*pi)<<endl; 
28.  cout<<"利用库函数求得sin(π/2)的值为"<<sin(pi/2)<<endl; 
29.  cout<<"利用库函数求得cos(87°)的值为"<<cos((87.0/180)\*pi)<<endl; 
30.  system("PAUSE"); 
31. **return** 0; 
32. \} 
33. //下面定义mysin函数
34. **double** mysin(**double** x) 
35. \{ 
36. **double** sum=x,x\_pow=x,item; 
37. **int** n=1,fact=1,sign=1; //定义变量时赋初值，已经将第一项考虑到累加和sum中
38. **do**
39.  \{ 
40.  fact=fact\*(n+1)\*(n+2); //fact用于表示阶乘，在公式中作分母
41.  x\_pow\*=x\*x; //x\_pow是分子中用于表示阶乘，在公式中作分母
42.  sign=-sign; //确定即将要累加的这一项的符号
43.  item =x\_pow/fact\*sign; //计算出要累加的项
44.  sum+=item; //将该项累加上去
45.  n+=2; 
46.  \}**while**(myabs(item)>1e-5); 
47. **return** sum; 
48. \} 
49. 
50. //下面定义mycos函数
51. **double** mycos(**double** x) 
52. \{ 
53. **double** sum=1,x\_pow=1,item; 
54. **int** n=0,fact=1,sign=-1; 
55. **do**
56.  \{ 
57.  fact=fact\*(n+1)\*(n+2); 
58.  x\_pow\*=x\*x; 
59.  item =x\_pow/fact\*sign; 
60.  sum+=item; 
61.  sign=-sign; 
62.  n+=2; 
63.  \}**while**(myabs(item)>0.00001); 
64. **return** sum; 
65. \} 
66. 
67. //下面定义myabs函数
68. **double** myabs(**double** x) 
69. \{ 
70. **return** ((x>=0)?x:-x); 
71. \}

运行结果：

![0_1323437490T207.gif][]

经验积累：

1. 做科学计算时，需要对所用方法的数学性质有所了解

2. 取合适的变量名（sum,x\_pow,item,n,fact,sign）有助于以一种清晰的思路解题，保证了程序的可读性

3. 对于复杂的计算，不妨多设几个变量，将他们间的关系分清楚，可以会多费些内存，但对正确性的保证无可替代

【下面讲讲我犯的愚蠢的错误】仔细看看这个程序，和我一起分析清楚问题，是我对大家最大的贡献。

原先，我的nysin函数是这样写的，貌似合理：

**\[cpp\]** [view plain][] [copy][view plain] [print][view plain] [?][view plain]

1.  **double** mysin(**double** x) 
2.  \{ 
3.  **double** sum=x,item=x; 
4.  **int** n=1,fact=1,sign=-1; 
5.  **do**
6.   \{ 
7.   fact=fact\*(n+1)\*(n+2); //求阶乘
8.   item =item\*x\*x/fact\*sign; //要加的项
9.   sum+=item; //累加
10.  sign=-sign; 
11.  n+=2; 
12.  \}**while**(myabs(item)>1e-5); 
13. **return** sum; 
14. \}

据此计算得到sin(pi/2)的结果是0.911557。人的心理一般是这样的，没错呀？怎么会错呢？我怎么会错呢？看了一遍又一遍，结果当然是我没有错，然而输出结果和库函数给出的结果就是不一样。上周三我在准备和这个错误一直作斗争，已经过了12:00点了，得吃饭，13:20 需要从家出发，去教室上课，但是实验报告的模板还得出来。

怎么办？泰勒公式会有问题？我没错！带着这个心理，我在指导书写下了泰勒公式可能的误差的文字。现在想来，这是多么不严谨的做法，以至于后来一再改模板。

逐渐想到，还是程序中有错误。我们现在一起找一下。

针对泰勒公式：

在变量定义的同时，通过赋初值，已经考虑了将x加到sum中：

double sum=x,item=x;

int n=1,fact=1,sign=-1;

下面需要构造进入循环以后将各项一正一负地累加到sum中。

当第1次进行循环：

fact=fact\*(n+1)\*(n+2); 得到了3！

item =item\*x\*x/fact\*sign; 求得要加的项是-x^3/3!，没错。(x^3表示x的3次方，在此只为方便表达，并不是C++中的合法运算。)

sum+=item; 得到了x-x^3/3!。

随后sign变为1、n自增2变为5。都没有问题。

第2次进入循环：

fact=fact\*(n+1)\*(n+2); 得到了5！，没错

item = item\*x\*x/fact\*sign;呢？这时才发现item将变为(-x^3/3!)\*x\*x/5!\*1=-(x^5)/(3!\*5!)，不仅分母不对，符号也不对。

！！！！

这时，只有敲自己的脑袋了（师生似乎都一样的）。

于是，有了上面提交的结果。

仔细反思，这儿犯的错误根源是，让item变量承担了多项职责。我们设置变量的原则是，每个变量的功能尽可能单一。

再看正确做法中，fact、 x\_pow、item 、sum和sign的含义，清楚多了。很多同学的程序中，即使功能单一，用诸如a、b、c、d、e、f、g等做变量，只能搞糊涂自己。

至于mycos，类似的问题，不再多说。

【同学们解法中的一个典型错误】

有不止一位同学的程序中，函数定义由double mysin(double x)开始，这没有问题，x是形式参数。

但是在函数体内，有些同学对x重新赋值：x=pi/2；有些同学将本该出现x的地方直接写作了（pi/2）。的确，这样做能够求出sin(pi/2)的值，但是，这也使得你定义的函数只能求得sin(pi/2)的值了。我后悔在任务中应该多加一个求sin(pi/4)，这样能启发同学们改过来。

一定要注意，尽管我们编程序解决某个具体问题，但是写出的函数还是要“通用”一些才好，这体现出的是程序与数据的“独立性”。慢慢体会吧。

**看大牛的结果挺好，于是决定，将自己的代码与大牛对比：**

**关于精度控制，不好控制，输出代码中可以看出，用泰勒公式5次以后就可以完全近似sin的值（对90度来说）；**

**对比代码如下：**

// sinx.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
    //
    
    #include "stdafx.h"
    
    #include "math.h"
    
    #include "iostream"
    
    using namespace std;
    //该函数计算阶乘
    double ProductFunc(double x)
    {
    	double product =x;
    
    	while (1!=x)
    	{
    		product *= (--x);
    	}
    	return product;
    }
    
    double myTestFunc(double inputx)
    {
    	//分子
    	double fenzi = inputx;
    
    	//符号
    	int fuhao = 1;
    
    	//分母
    	double fenmu = 1;
    
    	//分母总和
        double fenmuS = 1;
    
    	//记录总结果总和
    	double sum = 0;
        int i = 1;
    	//循环递归调用
    	do 
    	{
    	    cout<< "第"<<i<<"次循环，分子为："<<fenzi<<endl;
    		cout<< "第"<<i<<"次循环，分母为："<<fenmuS<<endl;
    
    	    //累加计
    		sum += fuhao*fenzi /fenmuS;
    
            cout<< "第"<<i++<<"次循环"<<"总和为："<<sum<<endl;
    
    		//分子变化
            double kkkk = fenzi;
    		fenzi *= inputx*inputx;
    
    		//符号变化
    		fuhao = fuhao *(-1);
    
    		//分母变化
    		fenmu += 2;
    
    		//分母总和变化
    		fenmuS = ProductFunc(fenmu);
    
    
    	} while (i<7/*(fenzi/fenmu)>1e-1*/);//循环条件
    
    	    //返回总和
    		return sum;
    }
    
    
    //下面定义myabs函数
    double myabs(double x)
    {
    	return ((x>=0)?x:-x);
    }
    
    //下面定义mysin函数
    double mysin(double x)
    {
    	double sum=x,x_pow=x,item;
    	int n=1,fact=1,sign=1;     //定义变量时赋初值，已经将第一项考虑到累加和sum中
    	int i=1;
    	do
    	{
    
    		cout<< "对比第"<<i++<<"次循环"<<"总和为："<<sum<<endl;
    
    		fact=fact*(n+1)*(n+2);  //fact用于表示阶乘，在公式中作分母
    		x_pow*=x*x;             //x_pow是分子中用于表示阶乘，在公式中作分母
    		sign=-sign;             //确定即将要累加的这一项的符号
    		item =x_pow/fact*sign; //计算出要累加的项
    		sum+=item;              //将该项累加上去
    		n+=2;
    
    	}while(i<7/*myabs(item)>1e-1*/);
    		return sum;
    }
    
    #define PI 3.1415926
    
    int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
    {
    
        double inputx = PI/2;
    
    	double k = mysin(inputx);
    
    	double kk = myTestFunc(inputx);
    
    	double kkk = sin(inputx);
    
    	system("pause");
    	return 0;
    }

[0_13234355264iLu.gif]: /images/20220805/97d1602167bb483aa5c18743d487b8e6.png
[view plain]: http://blog.csdn.net/sxhelijian/article/details/7058382#
[0_1323437490T207.gif]: /images/20220805/4e286a038f0749e5879923f2cb5eae2b.png