数理统计

我不是女神ヾ 2022-08-05 02:45 261阅读 0赞

当研究并解决一个实际问题时， 我们会  
遇到下面问题：  
• 1. 这个随机现象可以用什么样的分布律  
来刻划，这种分布律的选用合理吗？  
• 2. 所选用的这一分布律的参数是多少？  
如何估计和确定这些参数？  
如何利用数据资料，作出尽可能精确可  
靠的统计结论(统计推断):  
1） **估计**——从局部观测资料的统计特征，推断总体的特征(分布与矩)；  
2）**假设检验**——依据抽样数据资料，对总体的某种假设作检验，从而决定对此假定是拒绝抑或接受.

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## 数理统计的基本概念 ##

> **总体**：研究对象全体; 也称母体, 记作S.  
> **样本**：总体中抽出作观测的个体;也称子样，记ω  
> **样本容量**：抽取的个体数目;也称样本大小.

### 例子 ###

随机抽5支,得寿命数据(称为观察\[测\]值）：  
725，520，683，992，742.(小时)  
一般记为，x1 x2 x3 x4 x5.  
又抽5支， x′1 x′2 x′3 x′4 x′5.  
再抽5支， x′′1 x′′2 x′′3 x′′4 x′′5 .  
…… ……  
如此继续. 各组观察值彼此不同.  
如此继续. 每组中的第一支灯的寿命，  
也彼此不同. 这样，泛指所抽取的第一支荧光灯的寿命应是一个rv，记为  
X1 . 同样第二支的寿命是rv X2 ，…  
如此得一组rv : X1,X2,X3,X4,X5  
称为大小为5的样本.  
一般地则有大小（容量）为n 的样本,称x1,x2,...,xn为**样本观察值**\[*现实*\].  
抽取的样本如能切实保证其随机性，那么应该彼此独立，且能反映总体的随机规律性，即所有样本彼此独立且与总体同分布. 这样的样本，我们称之为**简单样本**. 这种抽样方法，叫**简单抽样**.  
注意，在有限总体中，各观察结果可能不独立.

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## 样本的数字特征与分布 ##

最简单又方便的样本函数g(X1,…,Xn)是Xi们的一次和二次的线性组合.  
由于样本“平等”，线性组合中应有相等的权系数.

> **一次时:**样本的算术平均值X¯¯¯;  
> **二次时:**中心化后的样本二阶中心矩S2n.  
> 设X1,…,Xn为总体S的大小为n的样本， 分别称  
> 
> 
> X¯¯¯=1n∑i=1nXi    S2=1n−1∑i=1n(Xi−X¯¯¯)2
> 
>   
> 为 **样本均值**和 *\*样本方差* [（样本方差除以n-1的原因）][n-1]，而依次称  
> 
> 
> Mk=1n∑i=1nXki    S2n=1n∑i=1n(Xi−X¯¯¯)2
> 
>   
> 为 **样本的k阶矩**和 **样本的二阶中心矩**.
> 
> 记号：**总体k阶矩**：  
> 
> 
> μk=EXk∫\+∞−∞xkdFX(x)
> 
>   
> **总体的k阶中心矩**：  
> 
> 
> σk=∫\+∞−∞(x−EX)kdFX(x)
> 
>   
> μ=μ1,σ2=σ2.

注意  
1)M1=X¯¯¯,S2n没叫样本方差.  
2) 比较总体的期望μ、方差σ2与矩μk:  
　　　1. 样本的均值、方差及k阶矩等都是rv，并且因n有限而总是存在的.  
　　　2. 总体的期望、方差及k阶矩等不一定存在.且即便存在，也是实数值， 而非rv.  
3)代入观察值, 有相应的**样本矩的观察值**x,m以及s2 等.

性质 如果总体k阶矩存在，则样本的k阶矩的数学期望等于总体的k阶矩，而当n趋于无穷时，样本的k阶矩以概率收敛到总体的k阶矩，即

![这里写图片描述][20150602182841168]

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### 顺序统计量与经验df ###

仍从观察值出发设法求总体分布. 以五支荧光灯寿命数据725,520,683,992,742为例，构造

![这里写图片描述][20150602183032848]  
其  df 函数(如后图)称为 **经验df函数**.

设\{ xi\}观察值重新依序排列为\{ x(n)\}:    x(1)≤x(2)≤⋯≤xn

令 ![这里写图片描述][20150602183501104]  
称为由  \{ xi\} 决定的 **经验df**, 简记为  F∗n(x) .  
将以从小到大为序重新排列的一个样本，称为 **顺序统计量**，专记为  x(1) x(2) … xn  
下面一个非常重要的定理确立经验  df 的重要地位. 此定理保证，几乎由每一组观察值得到的经验  df ，只要n足够大，都可作为总体  df 的近似. 定理中一致收敛性和几乎处处收敛性，给了我们充分的自由.从而由样本去找总体  df ，理论上有一个完满的解决.

limn→∞F∗n(x)=F(x)

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### 抽样分布与统计量 ###

#### 正态总体常用的样本函数 ####

1.设总体S～N(μ,σ2). 则  
样本均值X¯¯¯～N(μ,σ2n)，从而

Z:=X¯¯¯−μσ/n√～N(0,1)

2. K2n:=∑n1(Xi−μσ)2的分布  χ2(n)  
 K2n 是  n 个独立的标准正态变量的平方和,称  n 个独立的标准正态变量的平方和的分布为自由度为  n 的 [χ2分布.  
3. (n−1)S2σ2～χ2(n−1)  
样本均值与样本方差独立, 且

K2=(n−1)S2σ2=∑1n(Xi−X¯¯¯σ)2　～　χ2(n−1)

在  K2n=∑n1(Xi−μσ)2中用  X¯¯¯易  μ得  K2.  
4. T:=X¯−μS/n√～　t(n−1)  
 Z:=X¯−μσ/n√～N(0,1)中如  σ未知，  S2是  σ2的无偏估计，自然用S代替Z中的  σ引入T  
如果  Z　～Ｎ（０，１），Y～χ2(n)且独立，则称

t=ZY/N−−−−√～t(n)

即自由度  n的][2_. 3. _n_1_S2_2_2_n_1_ _ _ K2_n_1_S2_2_1n_Xi_X_2_2_n_1_ _ K2n_n1_Xi_2_ X_ _ K2. 4. T_X_S_n_t_n_1_ Z_X_n_N_0_1_ _ S2_ _2_S_Z_ _T _ Z_Y_2_n_ t_ZY_N_t_n_ _ n] [t分布.  
5. Fnm:=S21σ22S22σ21～F(n−1,m−1)  
如果  X～χ2(n),Y～χ2(n)，且两者相互独立，则称  F=χ2(n)/nχ2(m)/m～Ｆ(n,m)  
为自由度为n,m的 ][t_. 5. Fnm_S21_22S22_21_F_n_1_m_1_ _ X_2_n_Y_2_n_ F_2_n_n_2_m_m_n_m_ _n_m_] [F分布][F]

#### 性质 ####

• t 分布是对称的,且n→∞极限为正态(n≥30时近似的效果就很好) .  
• t 分布只有k<n阶矩.  
• κ2分布和F分布不对称，且x<0 时为0.  
• κ2 分布的可加性：设U 与V 独立，且分别~κ2(n)和κ2(m)，则U＋V～κ2(n\+m).  
对给定的实数α∈(0,0.5), 使

P(X>y)=∫∞yfX(x)=α

成立的点  y , 称为  X 或其分布的上百分位  α 点. 特别对  N(0,1) 、  t(n) 、  κ2(n) 和  F(n,m) 分布, 分别记为

zα,tα(n),χ2α(n),Fα(n,m)

使

P(X>y)=∫∞yfX(x)=1−α

成立的点  y , 称为  X 或其分布的下百分位  α 点. 特别对  N(0,1) 、  t(n) 、  κ2(n) 和  F(n,m) 分布, 分别记为

z1−α,t1−α(n),χ21−α(n),F1−α(n,m)

百分位点的值，可由表查得.

#### 例题： ####

##### 例题1： #####

设X1,X2,…,Xn, 是来自总体X～N(0,σ2)的简单随机样本，求统计量

∑10i=1(−1)iXi∑20i=11X2i−−−−−−−−√

的分布。  
解：  
由题意可知  Xk～N(0,σ2) 可得  
 ∑10i=1(−1)iXi～N(0,10σ2)  
 ∑10i=1(−1)iXi /10−−√σ～N(0,1)  
又因为  ∑20i=11(X2iσ)～χ2(10)  
故由t分布定义可得

∑10i=1(−1)iXi∑20i=11X2i−−−−−−−−√ = ∑10i=1(−1)iXi10−−√σ(∑20i=11(X2i/10)σ)−1～t(10)

##### 例题2： #####

设X1,X2,…,Xn\+1是正态总体的简单样本，前面容量为n的样本均值和样本二阶中心矩分别为X¯¯¯ 和S2n  
试求下列样本函数的分布  
1)(n−1)(X1−μ)2 / ∑ni=2(Xi−μ)2  
2)Xn\+1−X¯Snn−1n\+1−−−√

解：  
1)  
(n−1)(X1−μ)2 / ∑ni=2(Xi−μ)2=(Xi−μ)2σ2∑ni=2(Xi−μσ)2n−1  
分子服从χ2(1)，分母服从χ2(n−1)  
所以整个式子服从F(1,n−1)  
2)  
Xn\+1−X¯Snn−1n\+1−−−√  
分母部分变成：  
S2n(n−1)σ2～χ2(n−1)  
分子部分变成：  
Xn\+1−X¯σ～Ｎ(0,1)  
因此原式变成：  
Xn\+1−X¯σS2n(n−1)σ2√ / n−1√  
服从t(n−1)

[n-1]: http://www.dutor.net/index.php/2009/10/sample-variance/
[20150602182841168]: /images/20220805/8bde74085df34264bd81e50be258f885.png
[20150602183032848]: /images/20220805/93c648602dfb42158c10671e8bfad8e1.png
[20150602183501104]: /images/20220805/803787fd63ba4948bc07c0e9a92a7eaa.png
[2_. 3. _n_1_S2_2_2_n_1_ _ _ K2_n_1_S2_2_1n_Xi_X_2_2_n_1_ _ K2n_n1_Xi_2_ X_ _ K2. 4. T_X_S_n_t_n_1_ Z_X_n_N_0_1_ _ S2_ _2_S_Z_ _T _ Z_Y_2_n_ t_ZY_N_t_n_ _ n]: http://baike.baidu.com/link?url=Nu_ktFPjY7pDAtSiJt5IXx6pOjijIZhxJp1RvQ1yFDskdSmu1gnhk6QLk9JRPZqXIorAfySMJqg2yQCo4Fo_mq
[t_. 5. Fnm_S21_22S22_21_F_n_1_m_1_ _ X_2_n_Y_2_n_ F_2_n_n_2_m_m_n_m_ _n_m_]: http://baike.baidu.com/link?url=scKS9Aozzu4_3ydPC18Kg4S5jrD4nkyvensgS2exsIZW-SgpuEXxDOw64SgbKV3UjdE3CNKH7bvVqfcMxD_jfq
[F]: http://baike.baidu.com/view/1173064.htm