[转]经典讲解: 扩展欧几里德算法线性同余方程中国剩余定理

偏执的太偏执、 2022-08-04 13:51 152阅读 0赞

欧几里德算法

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：  
　　定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)  
　　证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b  
　　假设d是a,b的一个公约数，则有  
　　d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r  
　　因此d是(b,a mod b)的公约数  
　　假设d 是(b,a mod b)的公约数，则  
　　d | b , d |r ，但是a = kb +r  
　　因此d也是(a,b)的公约数  
　　因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证  
　　欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为：  
　　int Gcd(int a, int b)  
　　\{   
　　if(b == 0)  
　　return a;  
　　return Gcd(b, a % b);  
　　\}  
　　当然你也可以写成迭代形式：  
　　int Gcd(int a, int b)  
　　\{   
　　while(b != 0)  
　　\{   
　　int r = b;  
　　b = a % b;  
　　a = r;  
　　\}  
　　return a;  
　　\}  
　　本质上都是用的上面那个原理。

扩展欧几里德算法

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组p，q使得p \* a+q \* b = Gcd(a, b) (解一定存在，根据数论中的相关定理)。

算法描述为：

int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)  
　　\{   
　　if(b == 0)  
　　\{   
　　x = 1;  
　　y = 0;  
　　return a;  
　　\}  
　　int r = exGcd(b, a % b, x, y);  
　　int t = x;  
　　x = y;  
　　y = t - a / b \* y;  
　　return r;  
　　\}  
　　把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。  
　　可以这样思考:  
　　对于a' = b, b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')  
　　由于b' = a % b = a - a / b \* b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)  
　　那么可以得到:  
　　a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>  
　　bx + (a - a / b \* b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>  
　　ay +b(x - a / b\*y) = Gcd(a, b)  
　　因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b\*y)。

线性同余方程

对于方程 a\*x+b\*y=n；有整数解得充分必要条件是（n %（a，b）==0），这个定理这里就不证明了，数论书上都有。

所以方程 a\*x+b\*y=n；我们可以先用扩展欧几里德算法求出一组x0，y0。也就是a\*x0+b\*y0=（a，b）；然后两边同时除以（a，b），再乘以n。这样就得到了方程a\*x0\*n/（a，b）+b\*y0\*n/（a，b）=n；我们也就找到了方程的一个解。

还有一个定理：若（a，b）=1，且x0，y0为a\*x+b\*y=n的一组解，则该方程的任一解可表示为：x=x0+b\*t，y=y0-a\*t；且对任一整数t，皆成立。（这个证明比较简单，就不写了）

这样我们就可以求出方程的所有解了，但实际问题中，我们往往被要求去求最小整数解，所以我们就可以将一个特解x，t=b/（a，b），x=(x%t+t）%t；就可以了。

方程组的情形（中国剩余定理）

对于同余方程组：

x=a1 （mod m1）； 1

x=a2 （mod m2）； 2

方程组有一个小于m（m1，m2的最小公倍数）的非负整数解的充分必要条件是（a1-a2）%（m1，m2）==0 ，同样利用扩展欧几里德算法。

两式联立：a1+m1\*y=a2+m2\*z。

则：a1-a2=m2\*z-m1\*y; 这样就可以了解出z和y，则：x=a2+m2\*z；