【基础练习】【区间DP】codevs1090 加分二叉树题解

阳光穿透心脏的1/2处 2022-08-03 15:34 156阅读 0赞

2003 NOIP TG

题目描述 Description

设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（l,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第j个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：

subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数

若某个子树为主，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空

子树。

试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；

（1）tree的最高加分

（2）tree的前序遍历

现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。

输入描述 Input Description

第1行：一个整数n（n<=30），为节点个数。

第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数<=100）

输出描述 Output Description

第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。

第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

样例输入 Sample Input

5 7 1 2 10

样例输出 Sample Output

145

3 1 2 4 5

数据范围及提示 Data Size & Hint

n（n<=30)

分数<=100

定义f\[i,j\]表示中序遍历序列为i,…,j的树的最高得分。  
枚举根结点k：i<=k<=j，得到不同的二叉树：  
左子树中序遍历序列为i,…,k-1，最大加分是f\[i,k-1\]；  
右子树中序遍历序列为k+1,…,j，最大加分是f\[k+1,j\]。

状态转移方程：  
f\[i,j\]=max\{f\[i,k-1\]\*f\[k+1,j\]+a\[k\]\}  (i<k<j)。  
初始：  
f\[i,i\]=a\[i\];  f\[i,j\]=1;  
目标：f\[1,n\]。

在求f\[i,j\]的同时，记下i,…,j的根k，root\[i,j\]:=k;

这道题有很多细节要注意，先上代码再解释

//codevs1090 加分二叉树 区间DP
    //copyright by ametake
    #include
       
        
    #include
        
         
    #include
         
          
    using namespace std;
    
    const int maxn=30+10;
    int n,x;
    int root[maxn][maxn],a[maxn];
    long long f[maxn][maxn];
    
    void find(int i,int j)
    {
         if (i<=j)
         {
             printf("%d ",root[i][j]);
             find(i,root[i][j]-1);
             find(root[i][j]+1,j);
         }
    }
    
    int main()
    {
        scanf("%d",&n);
        for (int i=0;i<=n;i++)
        {
            for (int j=0;j<=n;j++)
            {
                f[i][j]=1;
            }
        }
        for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            f[i][i]=a[i];
            root[i][i]=i;
        }
        
        for (int p=1;p<=n-1;p++)
        {
            for (int i=1;i<=n-p;i++)
            {
                int j=i+p;
                f[i][j]=0;
                for (int k=i;k<=j;k++)
                {
                    if (f[i][j]

`1.初始化 首先要注意的是，两重循环的赋初值一定要在叶子节点赋初值之前，而且 循环是从0开始的！ 如下 for (int i=0;i<=n;i++)     {         for (int j=0;j<=n;j++)         {             f[i][j]=1;         }     }     for (int i=1;i<=n;i++)     {         scanf("%d",&a[i]);         f[i][i]=a[i];         root[i][i]=i;     } 这样，在保证了其他节点f值为1的前提下，我们将 叶子节点值赋值为本身分数，顺便将每个节点的根设为他自己。 为什么要有这样两步呢？请看下面一段： f[i][j]=0;             for (int k=i;k<=j;k++)             {                 if (f[i][j]<f[i][k-1]*f[k+1][j]+f[k][k])                 {                     f[i][j]=f[i][k-1]*f[k+1][j]+f[k][k];                     root[i][j]=k;                 }             } 这里k是枚举i到j这棵子树根节点的变量，其值取遍i到j 如果不能取到i或j 就会导致漏方案的情况。 举个例子，我们这样写： for (int k=i;k<j;k++) 也就是k取不到j 这样最后一个k就是j-1 此时状态为f[i][j-2]*f[j][j]+f[j-1][j-1] 好像这正是最后一种情况？不，不是。别忘了，j本身也可能是根节点 但如果j是根节点，好像又有问题。因为这时的状态是f[i][j-1]*f[j+1][j]+f[j][j] 出现了f[j+1][j]，这种情况不可能存在！ 考虑一下实际中这种情况，相当于j节点只有左子树，没有右子树，那么他的分数应该为左子树*1+他本身分数 于是我们的解决方案就出来了，初始时把所有f值赋值为1即可 那么这个赋初值的循环为什么是从0开始呢？考虑k=1的情况，不难发现下标出现了0 还有一点需要注意的是，f[i][j]在递推开始的时候，又重新被赋值为0。这样就保证了根节点记录的准确。如果加分恰好是1，root中就不会记录正确的根结点了。 为什么每个节点的根要初始化为自身呢？来看这一段： void find(int i,int j) {      if (i<=j)      {          printf("%d ",root[i][j]);          find(i,root[i][j]-1);          find(root[i][j]+1,j);      } } 原来，一直会递归到i==j，这时输出的是叶子节点，也就是该节点本身。 又为什么需要加上if(i<=j)呢？如果不加的话，当我们递归到i==j的情况下， 下一层是root[i][i-1] 显然不能成立，因此应该及时返回。 现在，整个程序的代码基本解释完了，不如就放上证明人家区间DP身份灵魂代码吧： for (int p=1;p<=n-1;p++)     {         for (int i=1;i<=n-p;i++)         {             int j=i+p;             f[i][j]=0;             for (int k=i;k<=j;k++)             {                 if (f[i][j]<f[i][k-1]*f[k+1][j]+f[k][k])                 {                     f[i][j]=f[i][k-1]*f[k+1][j]+f[k][k];                     root[i][j]=k;                 }             }         }     } 为什么是区间DP？看两重大循环就明白了。先枚举区间长度，然后枚举起点，最后在起点+长度构成的区间内探讨所有可能情况中的最优解。这就是区间DP，时间复杂度O(n³) 好了，这道题就解释到这里。 ——裁剪冰绡，轻叠数重，淡著胭脂匀注`