图像去模糊（约束最小二乘方滤波）

红太狼 2022-08-03 13:45 265阅读 0赞

## 引言 ##

这是图像去模糊的第三篇，接着上节说道逆滤波对噪声特别敏感。约束最小二乘方滤波（Constrained Least Squares Filtering，aka Tikhonov filtration,Tikhonov regularization）核心是H对噪声的敏感性问题。减少噪声敏感新问题的一种方法是以平滑度量的最佳复原为基础的，因此我们可以建立下列约束条件：

C=∑0M−1∑0N−1\[∇2f(x,y)\]2(1)

其约束条件为

||G−HF^||22=||N||22(2)

这里，  F^ 是为退化图像的估计，  N 为加性噪声，拉普拉斯算子  ∇2 在这里表示平滑程度。

## 推导 ##

如何求解这个式子呢，将上式表示成矩阵形式，同时将约束项转换成拉格朗日乘子项，可得到

||PF^||22−λ(||G−HF^||22−||N||22)(3)

最小化上代价函数，对  F^ 求导，令等零。

P∗PF^=λH∗(G−HF^)(4)

最后可得到，下列式子

F^=λH∗GλH∗H\+P∗P=\[H∗||H||22\+γ||P||22\]G(5)

这里，  P 是函数

p=⎡⎣⎢0−10−14−10−10⎤⎦⎥(6)

的傅里叶变换。其实这就是那个拉普拉斯模板嘛。  
嗯，和书上的公式一模一样，这就证明我们求解对了。  
好了，我又可以重新造轮子了。

## 代码 ##

close all;
    clear all;
    clc;
    % Display the original image.
    I = im2double(imread('lena.jpg'));
    [hei,wid,~] = size(I);
    subplot(2,3,1),imshow(I);
    title('Original Image (courtesy of MIT)');
    
    
    % Simulate a motion blur.
    LEN = 21;
    THETA = 11;
    PSF = fspecial('motion', LEN, THETA);
    blurred = imfilter(I, PSF, 'conv', 'circular');
    subplot(2,3,2), imshow(blurred); title('Blurred Image');
    
    % Inverse filter
    If = fft2(blurred);
    Pf = psf2otf(PSF,[hei,wid]);
    deblurred = ifft2(If./Pf);
    subplot(2,3,3), imshow(deblurred); title('Restore Image')
    
    % Simulate additive noise.
    noise_mean = 0;
    noise_var = 0.00001;
    blurred_noisy = imnoise(blurred, 'gaussian', ...
                            noise_mean, noise_var);
    subplot(2,3,4), imshow(blurred_noisy)
    title('Simulate Blur and Noise')
    
    % Try restoration using  Home Made Constrained Least Squares Filtering.
    p = [0 -1 0;-1 4 -1;0 -1 0];
    P = psf2otf(p,[hei,wid]);
    
    gama = 0.001;
    If = fft2(blurred_noisy);
    
    numerator = conj(Pf);
    denominator = Pf.^2 + gama*(P.^2);
    
    deblurred2 = ifft2( numerator.*If./ denominator );
    subplot(2,3,5), imshow(deblurred2)
    title('Restoration of Blurred Using Constrained Least Squares Filtering');
    
    subplot(2,3,6); imshow(deconvreg(blurred_noisy, PSF,0)); title('Regul in Matlab');

依次是原图，运动模糊图像，逆滤波结果，运动模糊+高斯噪声，Home Made 约束最小二乘方滤波（γ=0.001，交互设置），Matlab自带的去模糊deconvreg函数。

## 效果 ##

![这里写图片描述][20150808154921061]  
嗯，可以看出我们做出来的约束最小二乘方滤波效果非常不错的（多亏我调的一手好参）。这里的  γ 是我自己手工设置的，也是多次尝试，以产生最好的视觉效果。我个人建议  γ 设置成0.001左右会有比较好的效果。一般的说法是，约束最小二乘方滤波对高噪声和中等噪声产生结果要好于维纳滤波，对于低噪声两种滤波产生结果基本相等。手工选取参数时效果会更好一些。  
其实  γ 可以迭代最优化，Matlab自带的函数deconvreg即是如此，这样可以实现最佳复原算法，听起来不错。

## 迭代计算γ ##

定义一个“残差”向量R为

R=G−HF^(8)

而  F^=\[H∗||H||22\+γ||P||22\]G ，我们需要最小化下列代价函数

ϕ(γ)=RTR=||R||22=trace(RTR)(9)

这里我们需要明白的是  R 是向量形式。将(5)式带入(9)中，最后得到

ϕ(γ)=γ2||G||22||P||42||H||42\+2γ||H||22||P||22\+γ2||P||42(10)

对于这个单变量函数，求其极小值可以借助于matlab的fminbnd函数。  
好了，这个系列已经接近尾声了，可能就不在写了。如果还有疑惑可以看一下matlab中deconvreg.m源文件。  
还有关于实际运用需要估计核PSF，关于PSF的估计可以参看 [RESTORATION OF DEFOCUSED AND BLURRED IMAGES][]。上述介绍的都是比较传统的方法，关于盲区卷积，可以在网上用谷歌搜索Deblur最近几年发表的文章。

## 效果 ##

![这里写图片描述][20150809152518797] ![这里写图片描述][20150809152536159] ![这里写图片描述][20150809152641858] ![这里写图片描述][20150809152658939]  
![这里写图片描述][20150809152608017] ![这里写图片描述][20150809152627311]

## 更多阅读 ##

RESTORATION OF DEFOCUSED AND BLURRED IMAGES [http://yuzhikov.com/articles/BlurredImagesRestoration1.htm][RESTORATION OF DEFOCUSED AND BLURRED IMAGES]  
图像去模糊 （维纳滤波）[http://blog.csdn.net/bluecol/article/details/46242355][http_blog.csdn.net_bluecol_article_details_46242355]  
图像去模糊（逆滤波）[http://blog.csdn.net/bluecol/article/details/47357717][http_blog.csdn.net_bluecol_article_details_47357717]  
数字图像处理（第三版） 冈萨雷斯著 chapter 5，图像复原与重建  
MathLab source code, deconvreg.m

## Licenses ##

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th>作者</th> 
   <th align="center">日期</th> 
   <th align="right">联系方式</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>风吹夏天</td> 
   <td align="center">2015年8月8日</td> 
   <td align="right">wincoder@qq.com</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

[20150808154921061]: /images/20220731/0e66556201294ca493110145f1e4e077.png
[RESTORATION OF DEFOCUSED AND BLURRED IMAGES]: http://yuzhikov.com/articles/BlurredImagesRestoration1.htm
[20150809152518797]: https://img-blog.csdn.net/20150809152518797
[20150809152536159]: https://img-blog.csdn.net/20150809152536159
[20150809152641858]: https://img-blog.csdn.net/20150809152641858
[20150809152658939]: /images/20220731/4900b9e8b01d4ea48263c7da7728e723.png
[20150809152608017]: https://img-blog.csdn.net/20150809152608017
[20150809152627311]: /images/20220731/c9a7892d408b44138953b9f63c765cfa.png
[http_blog.csdn.net_bluecol_article_details_46242355]: http://blog.csdn.net/bluecol/article/details/46242355
[http_blog.csdn.net_bluecol_article_details_47357717]: http://blog.csdn.net/bluecol/article/details/47357717