有向图强连通分量的Tarjan算法

我就是我 2022-08-02 05:54 187阅读 0赞

### **\[有向图强连通分量\]** ###

在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点**强连通**(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个**强连通图**。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为**强连通分量**(strongly connected components)。

下图中，子图\{1,2,3,4\}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。\{5\},\{6\}也分别是两个强连通分量。

[![image][]][image]

直接根据定义，用双向遍历取交集的方法求强连通分量，时间复杂度为O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法，两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。

### **\[Tarjan算法\]** ###

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)（记录节点u第一次被访问时的步数 ），Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出，

Low(u)=Min
    {
        DFN(u),
        Low(v),(u,v)为树枝边，u为v的父节点
        DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)
    }

当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。

算法伪代码如下

tarjan(u)
    {
        DFN[u]=Low[u]=++Index                      // 为节点u设定次序编号和Low初值
        Stack.push(u)                              // 将节点u压入栈中
        for each (u, v) in E                       // 枚举每一条边
            if (v is not visted)               // 如果节点v未被访问过
                tarjan(v)                  // 继续向下找
                Low[u] = min(Low[u], Low[v])
            else if (v in S)                   // 如果节点v还在栈内
                Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
        if (DFN[u] == Low[u])                      // 如果节点u是强连通分量的根
            repeat
                v = S.pop                  // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点
                print v
            until (u== v)
    }

接下来是对算法流程的演示。

从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN\[6\]=LOW\[6\]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，\{6\}为一个强连通分量。

[![image][image 1]][image 1]

返回节点5，发现DFN\[5\]=LOW\[5\]，退栈后\{5\}为一个强连通分量。

[![image][image 2]][image 2]

返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW\[4\]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW\[3\]=LOW\[4\]=1。

[![image][image 3]][image 3]

继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW\[2\]=DFN\[4\]=5。返回1后，发现DFN\[1\]=LOW\[1\]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量\{1,3,4,2\}。

[![image][image 4]][image 4]

至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量\{1,3,4,2\},\{5\},\{6\}。

可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法，为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法，其时间复杂度也是O(N+M)。与Trajan算法相比，Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS，不用建立逆图，更简洁。在实际的测试中，Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外，该Tarjan算法与[求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法][Tarjan]也有着很深的联系。学习该Tarjan算法，也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法，两者可以类比、组合理解。

求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者[Robert Tarjan][]命名的。Robert Tarjan还发明了求[双连通分量][Tarjan]的Tarjan算法，以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法，在此对Tarjan表示崇高的敬意。

附：tarjan算法的C++程序

void tarjan(int i)
    {
        int j;
        DFN[i]=LOW[i]=++Dindex;
        instack[i]=true;
        Stap[++Stop]=i;
        for (edge *e=V[i];e;e=e->next)
        {
            j=e->t;
            if (!DFN[j])
            {
                tarjan(j);
                if (LOW[j]<LOW[i])
                    LOW[i]=LOW[j];
            }
            else if (instack[j] && DFN[j]<LOW[i])
                LOW[i]=DFN[j];
        }
        if (DFN[i]==LOW[i])
        {
            Bcnt++;
            do
            {
                j=Stap[Stop--];
                instack[j]=false;
                Belong[j]=Bcnt;
            }
            while (j!=i);
        }
    }
    void solve()
    {
        int i;
        Stop=Bcnt=Dindex=0;
        memset(DFN,0,sizeof(DFN));
        for (i=1;i<=N;i++)
            if (!DFN[i])
                tarjan(i);
    }

***附模板：***

#include<iostream>
    #include<vector>
    using namespace std;
    
    const int MAX=10001;
    
    int Stop;//栈中的元素个数
    int cnt;//记录连通分量的个数
    int visitNum;//记录遍历的步数
    int DFN[MAX]; //记录节点u第一次被访问时的步数
    int LOW[MAX]; //记录与节点u和u的子树节点中最早的步数
    bool instack[MAX];//记录节点u是否在栈中
    int Stap[MAX];//栈
    int Belong[MAX];//记录每个节点属于的强连通分量编号
    
    int N;//节点个数
    
    vector<int> tree[MAX];
    
    void tarjan(int i)
    {
    	int j;
    	DFN[i]=LOW[i]=++visitNum;
    	instack[i]=true;
    	Stap[++Stop]=i;//将当前节点压入栈中
    	for (unsigned k=0;k<tree[i].size();k++)
    	{
    		j=tree[i][k];
    		if (!DFN[j]) //j还没有被访问过
    		{
    			tarjan(j);
    			//父节点是子节点的子节点
    			if (LOW[j]<LOW[i])
    				LOW[i]=LOW[j];
    		}
    		//与j相连,但是j已经被访问过,且还在栈中
    		//用子树节点更新节点第一次出现的时间
    		else if (instack[j] && DFN[j]<LOW[i])
    			LOW[i]=DFN[j];
    	}
    	//节点i是强连通分量的根
    	if (DFN[i]==LOW[i])
    	{
    		cnt++;
    		//输出找到的强连通分量
    		cout<<"连通分量"<<cnt<<": ";
    		//退栈,直至找到根为止
    		do
    		{
    			j=Stap[Stop--];
    			instack[j]=false;
    			cout<<j<<" ";
    			Belong[j]=cnt;
    		}
    		while (j!=i);
    		cout<<endl;
    	}
    }
    void solve()
    {
    	Stop=cnt=visitNum=0;
    	memset(DFN,0,sizeof(DFN));
    	for (int i=1;i<=N;i++)
    		if (!DFN[i])//有可能图不是连通图
    			tarjan(i);
    }
    
    int main()
    {
        N=6;
        tree[1].push_back(3);
        tree[1].push_back(2);
        tree[2].push_back(4);
        tree[3].push_back(5);
        tree[3].push_back(4);
        tree[4].push_back(1);
        tree[4].push_back(6);
        tree[5].push_back(6);
        solve();
        for(int i=1;i<=N;i++)
            cout<<Belong[i]<<" ";
        cout<<endl;
        return 0;
    }

[image]: https://www.byvoid.com/upload/wp/2009/04/image1.png
[image 1]: https://www.byvoid.com/upload/wp/2009/04/image2.png
[image 2]: https://www.byvoid.com/upload/wp/2009/04/image3.png
[image 3]: https://www.byvoid.com/upload/wp/2009/04/image4.png
[image 4]: https://www.byvoid.com/upload/wp/2009/04/image5.png
[Tarjan]: https://www.byvoid.com/blog/biconnect/
[Robert Tarjan]: http://en.wikipedia.org/wiki/Robert_Tarjan