回溯算法

小鱼儿 2022-08-01 13:43 220阅读 0赞

引自：http://www.cnblogs.com/steven\_oyj/archive/2010/05/22/1741376.html

作者写的通俗易懂，学习。

# 1、概念 #

回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。

回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

许多**复杂的，规模较大**的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。

# 2、基本思想 #

**   **在包含问题的所有解的解空间树中，按照**深度优先搜索的策略**，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。

若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。

而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

[八皇后问题][Link 1]就是回溯算法的典型，第一步按照顺序放一个皇后，然后第二步符合要求放第2个皇后，如果没有位置符合要求，那么就要改变第一个皇后的位置，重新放第2个皇后的位置，直到找到符合条件的位置就可以了。回溯在迷宫搜索中使用很常见，就是这条路走不通，然后返回前一个路口，继续下一条路。回溯算法说白了就是穷举法。不过回溯算法使用剪枝函数，剪去一些不可能到达 最终状态（即答案状态）的[节点][Link 2]，从而减少状态空间树节点的生成。[回溯法][Link 3]是一个既带有系统性又带有跳跃性的的[搜索算法][Link 4]。它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。

# 3、用回溯法解题的一般步骤： #

（1）针对所给问题，确定问题的解空间：

首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个（最优）解。

（2）确定结点的扩展搜索规则，使得能用回溯法方便地搜索整个解空间。

（3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

**问题的解空间通常是在搜索问题解的过程中动态产生的，这是回溯算法的一个重要特性。**

# 4、算法框架 #

（1）问题框架

设问题的解是一个n维向量(a1,a2,………,an),约束条件是ai(i=1,2,3,…..,n)之间满足某种条件，记为f(ai)。

（2）非递归回溯框架

int a[n],i;
    初始化数组a[];
    i = 1;
    while (i>0(有路可走)   and  (未达到目标))  // 还未回溯到头
    {
         if(i > n)                                              // 搜索到叶结点
         {   
               搜索到一个解，输出；
         }
         else                                                   // 处理第i个元素
         { 
               a[i]第一个可能的值；
               while(a[i]在不满足约束条件且在搜索空间内)
               {
                   a[i]下一个可能的值；
               }
               if(a[i]在搜索空间内)
              {
                   标识占用的资源；
                   i = i+1;                              // 扩展下一个结点
              }
              else 
             {
                   清理所占的状态空间；            // 回溯
                   i = i –1; 
              }
     }

3）递归的算法框架

回溯法是对解空间的深度优先搜索，在一般情况下使用递归函数来实现回溯法比较简单，其中i为搜索的深度，框架如下：

int a[n];
     try(int i)
     {
         if(i>n)
            输出结果;
          else
         {
            for(j = 下界; j <= 上界; j=j+1)  // 枚举i所有可能的路径
            {
                if(fun(j))                 // 满足限界函数和约束条件
                  {
                    a[i] = j;
                   ...                         // 其他操作
                     try(i+1);
                   回溯前的清理工作（如a[i]置空值等）;
                  }
              }
          }
     }

[Link 1]: http://baike.baidu.com/view/698719.htm
[Link 2]: http://baike.baidu.com/view/47398.htm
[Link 3]: http://baike.baidu.com/view/45.htm
[Link 4]: http://baike.baidu.com/view/3688332.htm