相机畸变详细推导

拼搏现实的明天。 2022-07-28 05:21 436阅读 0赞

## 相机畸变模型 ##

在前一篇文章中有提到，应该比较好理解。

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我们可以看出在上图中可以分以下几个坐标系：

①　像机坐标系Oc

②　图像像素坐标系Oi

③　世界坐标系Ow

④　实际图像物理坐标系Od

⑤　理想图像物理坐标系Ou

## 2、畸变量 ##

此时，畸变量可分为在X方向和Y方向上，这种畸变量我们只考虑了径向畸变，其他畸变右以忽略不计，径向畸变本身是有一定的线性关系的，下面畸变模型的讲解时也会说到：

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Ｄx：x方向畸变量

Ｄy：y方向畸变量

## 3、实际图物理坐标系与像素坐标系的关系（基本关系） ##

![20131107155605703][]

dx: x方向的像素距（每个像素在x方向的长度）

dy: y方向的像素距（每个像素在y方向的长度）

## 4、基本公式（在线性标定的基础上） ##

![20131107155617250][]

![20131107155627031][]

## 5、畸变的总体表示 ##

![20131107155656843][]

径向畸变Dr

离心畸变Dt

薄棱镜畸变Dp

## 6、三种畸变的数学模型 ##

径向畸变及其规律（径向约束）：

![20131107155712171][]

离心畸变：

![20131107155722312][]

薄棱镜畸变：

![20131107155733062][]

总畸变：

![20131107155743515][]

畸变系数：

径向畸变：k1

离心畸变：p1, p2

薄棱径畸变：s1, s2

## 7、模型参数 ##

内参数：

焦比：fu, fv

图像中心（主点）坐标：u0,v0

畸变系数： k1, p1, p2, s1, s2

外参数：

平移矢量：Ｔ

旋转矩阵：Ｒ

典型标定方法

利用像机畸变模型建立约束方程

确定优化目标函数

以非线性优化方法求解

缺点：

优化程序计算复杂，速度慢

标定的结果取决于初始值

## 8、两步标定法正式开始 ##

1987年由Tsai提出

第一步：求除tz外的所有外参数

利用径向排列约束（RAC）

线性求解

第二步：求其余参数

非线性优化

## 9、两步法的前提 ##

假设：

u0,v0已知

只考虑二阶径向畸变

主点既是图像中心又是径向畸变中心

## 10、公式推导 ##

![20131107160256578][]

得到以下公式：

![20131107160304703][]

## 11、径向约束公式 ##

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![20131107160319671][]

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上面已经求出：

![20131107160337859][]

综合可得：

![20131107160345718][]

乘开：

![20131107160353656][]

## 12、第一步 ##

### 1、求中间变量 ###

为了方便表示与计算，用参数将变量代替：

![20131107160401843][]

### 2、 求|ty| ###

![20131107160449984][]

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![20131107160507875][]

4、求tx

![20131107160517656][]

5、求R：

![20131107160527234][]

6、确定ty符号:

![20131107160536093][]

设ty>0, 求其它参数

用远离图像中心的特征点计算:

假设条件正确:

xci与ui-u0同号

yci与vi-v0同号

剩余参数:fu,fv, tz, k1

约束方程：

## 13、第二步 ##

剩余参数:fu,fv, tz, k1

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![20131107160552234][]

![20131107160602750][]![20131107160602750][]![20131107160609078][]

已知：

![20131107160751203][]

求：

方法：非线性优化

确定初始值：

k1=0, dv=1

忽略非线性畸变，求解fv和tz

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## 14、U0，V0的标定 ##

直接光学方法

变焦距法

径向排列约束法

### 直接光学法 ###

用一束激光照射像机镜头

在光路上放一张有孔的纸

使激光的入射光线与反射光线重合

用像机摄取包含激光光斑的图象

光斑的中心坐标即为光心坐标

调整困难但精度较高

### 变焦距法 ###

条件：光心与镜头的缩放中心重合

实现：

不同距离分别对多个特征点成像

每个特征点一个线性方程

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### 径向排列约束法 ###

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利用共面标定板，取zwi=0

非线性优化求解

## 15、小小总结一下： ##

前面标定方法共性：

已知特征点二维图像坐标与三维空间坐标

需要标定参照物

统称：传统标定方法

优点：适用任意摄像机模型，标定精度高

不足：需标定参照物，某些应用中难以实现

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