算法-求二进制数中1的个数

女爷i 2022-07-28 05:07 180阅读 0赞

# 问题描述 #

任意给定一个32位无符号整数n，求n的二进制表示中1的个数，比如n = 5（0101）时，返回2，n = 15（1111）时，返回4

这也是一道比较经典的题目了，相信不少人面试的时候可能遇到过这道题吧，下面介绍了几种方法来实现这道题，相信很多人可能见过下面的算法，但我相信很少有人见到本文中所有的算法。如果您上头上有更好的算法，或者本文没有提到的算法，请不要吝惜您的代码，分享的时候，也是学习和交流的时候。

# 普通法 #

我总是习惯叫普通法，因为我实在找不到一个合适的名字来描述它，其实就是最简单的方法，有点程序基础的人都能想得到，那就是移位+计数，很简单，不多说了，直接上代码，这种方法的运算次数与输入n最高位1的位置有关，最多循环32次。

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int BitCount(unsigned int n) \{ unsigned int c =0 ; // 计数器 while (n >0) \{ if((n &1) ==1) // 当前位是1 ++c ; // 计数器加1 n >>=1 ; // 移位 \} return c ; \}

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一个更精简的版本如下

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int BitCount1(unsigned int n)
    {
        unsigned int c =0 ; // 计数器
        for (c =0; n; n >>=1) // 循环移位
            c += n &1 ; // 如果当前位是1，则计数器加1
        return c ;
    }

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#  快速法 #

这种方法速度比较快，其运算次数与输入n的大小无关，只与n中1的个数有关。如果n的二进制表示中有k个1，那么这个方法只需要循环k次即可。其原理是不断清除n的二进制表示中最右边的1，同时累加计数器，直至n为0，代码如下

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int BitCount2(unsigned int n)
    {
        unsigned int c =0 ;
        for (c =0; n; ++c)
        {
            n &= (n -1) ; // 清除最低位的1
        }
        return c ;
    }

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为什么n &= (n – 1)能清除最右边的1呢？因为从二进制的角度讲，n相当于在n - 1的最低位加上1。举个例子，8（1000）= 7（0111）+ 1（0001），所以8 & 7 = （1000）&（0111）= 0（0000），清除了8最右边的1（其实就是最高位的1，因为8的二进制中只有一个1）。再比如7（0111）= 6（0110）+ 1（0001），所以7 & 6 = （0111）&（0110）= 6（0110），清除了7的二进制表示中最右边的1（也就是最低位的1）。

# 查表法 #

## 动态建表 ##

由于表示在程序运行时动态创建的，所以速度上肯定会慢一些，把这个版本放在这里，有两个原因

1. 介绍填表的方法，因为这个方法的确很巧妙。

2. 类型转换，这里不能使用传统的强制转换，而是先取地址再转换成对应的指针类型。也是常用的类型转换方法。

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int BitCount3(unsigned int n) 
    { 
        // 建表
        unsigned char BitsSetTable256[256] = {
       0} ; 
    
        // 初始化表 
        for (int i =0; i <256; i++) 
        { 
            BitsSetTable256[i] = (i &1) + BitsSetTable256[i /2]; 
        } 
    
        unsigned int c =0 ; 
    
        // 查表
        unsigned char* p = (unsigned char*) &n ; 
    
        c = BitsSetTable256[p[0]] + 
            BitsSetTable256[p[1]] + 
            BitsSetTable256[p[2]] + 
            BitsSetTable256[p[3]]; 
    
        return c ; 
    }

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先说一下填表的原理，根据奇偶性来分析，对于任意一个正整数n

1.如果它是偶数，那么n的二进制中1的个数与n/2中1的个数是相同的，比如4和2的二进制中都有一个1，6和3的二进制中都有两个1。为啥？因为n是由n/2左移一位而来，而移位并不会增加1的个数。

2.如果n是奇数，那么n的二进制中1的个数是n/2中1的个数+1，比如7的二进制中有三个1，7/2 = 3的二进制中有两个1。为啥？因为当n是奇数时，n相当于n/2左移一位再加1。

再说一下查表的原理

对于任意一个32位无符号整数，将其分割为4部分，每部分8bit，对于这四个部分分别求出1的个数，再累加起来即可。而8bit对应2^8 = 256种01组合方式，这也是为什么表的大小为256的原因。

注意类型转换的时候，先取到n的地址，然后转换为unsigned char\*，这样一个unsigned int（4 bytes）对应四个unsigned char（1 bytes），分别取出来计算即可。举个例子吧，以87654321（十六进制）为例，先写成二进制形式-8bit一组，共四组，以不同颜色区分，这四组中1的个数分别为4，4，3，2，所以一共是13个1，如下面所示。

10000111 01100101 01000011 00100001 = 4 + 4 + 3 + 2 = 13

## 静态表-4bit ##

原理和8-bit表相同，详见8-bit表的解释

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int BitCount4(unsigned int n)
    {
        unsigned int table[16] = 
        {
            0, 1, 1, 2, 
            1, 2, 2, 3, 
            1, 2, 2, 3, 
            2, 3, 3, 4
        } ;
    
        unsigned int count =0 ;
        while (n)
        {
            count += table[n &0xf] ;
            n >>=4 ;
        }
        return count ;
    }

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## 静态表-8bit ##

首先构造一个包含256个元素的表table，table\[i\]即i中1的个数，这里的i是\[0-255\]之间任意一个值。然后对于任意一个32bit无符号整数n，我们将其拆分成四个8bit，然后分别求出每个8bit中1的个数，再累加求和即可，这里用移位的方法，每次右移8位，并与0xff相与，取得最低位的8bit，累加后继续移位，如此往复，直到n为0。所以对于任意一个32位整数，需要查表4次。以十进制数2882400018为例，其对应的二进制数为10101011110011011110111100010010，对应的四次查表过程如下：红色表示当前8bit，绿色表示右移后高位补零。

第一次（n & 0xff）             10101011110011011110111100010010

第二次（(n >> 8) & 0xff）  00000000101010111100110111101111

第三次（(n >> 16) & 0xff）00000000000000001010101111001101

第四次（(n >> 24) & 0xff）00000000000000000000000010101011

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int BitCount7(unsigned int n)
    { 
        unsigned int table[256] = 
        { 
            0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 
            1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 
            1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 
            2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 
            1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 
            2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 
            2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 
            3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 7, 
            1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 
            2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 
            2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 
            3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 7, 
            2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 
            3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 7, 
            3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 7, 
            4, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 7, 5, 6, 6, 7, 6, 7, 7, 8, 
        }; 
    
        return table[n &0xff] +
            table[(n >>8) &0xff] +
            table[(n >>16) &0xff] +
            table[(n >>24) &0xff] ;
    }

![复制代码][copycode.gif]

当然也可以搞一个16bit的表，或者更极端一点32bit的表，速度将会更快。

# 平行算法 #

网上都这么叫，我也这么叫吧，不过话说回来，的确有平行的意味在里面，先看代码，稍后解释

![复制代码][copycode.gif]

int BitCount4(unsigned int n) 
    { 
        n = (n &0x55555555) + ((n >>1) &0x55555555) ; 
        n = (n &0x33333333) + ((n >>2) &0x33333333) ; 
        n = (n &0x0f0f0f0f) + ((n >>4) &0x0f0f0f0f) ; 
        n = (n &0x00ff00ff) + ((n >>8) &0x00ff00ff) ; 
        n = (n &0x0000ffff) + ((n >>16) &0x0000ffff) ; 
    
        return n ; 
    }

![复制代码][copycode.gif]

速度不一定最快，但是想法绝对巧妙。 说一下其中奥妙，其实很简单，先将n写成二进制形式，然后相邻位相加，重复这个过程，直到只剩下一位。

以217（11011001）为例，有图有真相，下面的图足以说明一切了。217的二进制表示中有5个1

![2010060623161414.jpg][]

# 完美法 #

[copycode.gif]: /images/20220727/56ac45becf86472ab9faed6562d10d69.png
[2010060623161414.jpg]: /images/20220727/7416f51d0a6e4084af70b59bc5fa8d00.png