先验概率与后验概率

太过爱你忘了你带给我的痛 2022-07-28 04:23 236阅读 0赞

**先验**（**A priori**；又译：**先天**）在[拉丁文][Link 1]中指“来自先前的东西”，或稍稍引申指“在[经验][Link 2]之前”。[近代][Link 3][西方][Link 4]传统中，认为先验指无需经验或先于经验获得的[知识][Link 5]。它通常与[后验][Link 6]知识相比较，后验意指“在经验之后”，需要经验。这一区分来自于中世纪逻辑所区分的两种论证，从原因到结果的论证称为“先验的”，而从结果到原因的论证称为“后验的”。

先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式 中的 ，它往往作为“由因求果”问题中的“因”出现。后验概率是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率，是“执果寻因”问题中的“因” 。后验概率是基于新的信息，修正原来的先验概率后所获得的更接近实际情况的概率估计。先验概率和后验概率是相对的。如果以后还有新的信息引入，更新了现在所谓的后验概率，得到了新的概率值，那么这个新的概率值被称为后验概率。

先验概率的分类：

利用过去历史资料计算得到的先验概率，称为客观先验概率；

当历史资料无从取得或资料不完全时，凭人们的主观经验来判断而得到的先验概率，称为主观先验概率。

后验概率是指通过调查或其它方式获取新的附加信息，利用[贝叶斯公式][Link 7]对先验概率进行修正，而后得到的概率。

先验概率和后验概率的区别：

先验概率不是根据有关自然状态的全部资料测定的，而只是利用现有的材料(主要是历史资料)计算的；后验概率使用了有关自然状态更加全面的资料，既有先验概率资料，也有补充资料；

先验概率的计算比较简单，没有使用[贝叶斯公式][Link 7]；而后验概率的计算，要使用贝叶斯公式，而且在利用[样本][Link 8]资料计算逻辑概率时，还要使用理论概率分布，需要更多的[数理统计][Link 9]知识。

![先验概率与后验概率的区别（老迷惑了）][012.gif]下面转自其他博客

#### 先验概率与后验概率 ####

"概率就是无知, 而不是事务本身是随机的".

事情有N种发生的可能,我们不能控制结果的发生,或者影响结果的机理是我们不知道或是太复杂超过我们的运算能力. 新发一个物种, 到底是猫,还是小老虎呢(朱道元的经典例子)? 是由于我们的无知才不能确定判断.

**先验概率 ( Prior probability)**

先验概率是在缺乏某个事实的情况下描述一个变量; 而后验概率是在考虑了一个事实之后的条件概率. 先验概率通常是经验丰富的专家的纯主观的估计. 比如在法国大选中女候选罗雅尔的支持率 p, 在进行民意调查之前, 可以先验概率来表达这个不确定性.

**后验概率 ( posterior probability)**

Def: Probability of outcomes of an experiment after it has been performed and a certain event has occured.

后验概率可以根据通过Bayes定理, 用先验概率和似然函数计算出来.  下面的公式就是用先验概率密度乘上似然函数,接着进行归一化, 得到不定量X在Y=y的条件下的密度,即后验概率密度:

[![f\_\{X\\mid Y=y\}(x)=\{f\_X(x) L\_\{X\\mid Y=y\}(x) \\over \{\\int\_\{-\\infty\}^\\infty f\_X(x) L\_\{X\\mid Y=y\}(x)\\,dx\}\}][f_X_mid Y_y_x_f_X_x_ L_X_mid Y_y_x_ _over _int_-_infty_infty f_X_x_ L_X_mid Y_y_x_dx]][f_X_mid Y_y_x_f_X_x_ L_X_mid Y_y_x_ _over _int_-_infty_infty f_X_x_ L_X_mid Y_y_x_dx]

其中*f**X*(*x*) 为X的先验密度,

*L**X* | *Y* = *y*(*x*) = *f**Y* | *X* = *x*(*y*) 为似然函数..

![先验概率与后验概率的区别（老迷惑了）][003.gif]

看了很多张五常的文章以后，思考一些经济学或者统计学的问题，都试着从最简单处入手。  
一次，在听一位英国帝国理工大学的教授来我们学校讲学，讲的主要是经济计量学的建模，以及一些具体应用实例，没想到听报告过程中，一直在思考一道最简单的概率问题。关于“抛硬币”试验的概率问题。  
问题是这样的：  
1、多次抛硬币首先是一个贝努利试验，独立同分布的  
2、每次抛硬币出现正、反面的概率都是1/2  
3、当然硬币是均匀同分布的，而且每次试验都是公正的  
4、在上述假设下，假如我连续抛了很多次，例如100次，出现的都是正面，当然，稍懂概率的人都知道，这是一个小概率事件，但是小概率事件是可能发生的。我要问你，下次也就是我抛第101次，出现正、反的概率是不是相等。我认为是不相等的，出现反面的概率要大于正面。我的理由是，诸如“抛硬币”等独立同分布试验都有无数人试验过，而且次数足够多时，正、反面出现的概率应该是逼近1/2的。也就是说，这个过程，即使是独立同分布的试验它也是有概率的。  
5、提出这个问题之后，我请教了很多同学和老师，大部分同学一开始都是乍一听这个问题，马上对我的观点提出批判，给我列条件概率的公式，举出种种理由，不过都被我推翻了  
很巧的是，没几天，我在图书馆过期期刊阅览室找到一篇关于独立同分布的newman定理  
推广到markov链过程的文章，见97年《应用统计研究》，我看不大懂，复印了下来，去请教  
我们系数理统计方面比较权威的老师，他的答复我基本满意。他将数理统计可以分为两大类：频率统计学派和贝叶斯统计学派。目前，国内的数理统计主要是频率统计。又给我分析了什么是 先验概率，先验概率和条件概率有什么区别，他认为：在“抛硬币”试验当中，硬币的均匀分布和抛的公正是先验条件或先验概率，但是抛100次正面却是条件概率，接着他又解释了概率的记忆功能，他讲当贝努利试验次数不够大的时候，它不具有记忆功能，次数足够大的时候，也就是服从二项分布时，具有记忆功能。这时，连续抛很多次正面就可以算作是先验概率。  
但这样，我又不懂了。我认为，即使只刚抛过1次，如果考虑这个过程的话，对第二次的结果也应该是有影响的，你们认为呢？这个问题，这位老师也没能解释好。  
研究这个问题的启示或者意义：  
1、推翻了一些东西，可能很大，也可能是我牛角尖钻的太深了  
2、一个试验，我在一间屋子里做“抛硬币”的试验，我“一不小心”连续抛出了100次正面，这里请你不要怀疑硬币质地的均匀和我抛法的不公正，这时，你推门进了实验室，我和你打赌，下次抛硬币会出现反面，给你很高的赌注。因为我知道我已经抛了100次正面，在这个过程中正反面出现的概率是要往1：1均衡的。但是我不会告诉你，我已经连续抛了100次正面。你当然认为正反面出现的概率是1：1，而且你的理论依据也是正确的。但是，你的正确的理论可能会使你输钱的。  
3、研究这个问题，我是想提出两个问题：其一，正确的理论可能得不出正确的结果，其二，信息的不对称问题。

![先验概率与后验概率的区别（老迷惑了）][005.gif]验前概率就是通常说的概率，验后概率是一种条件概率，但条件概率不一定是验后概率。贝叶斯公式是由验前概率求验后概率的公式。  
举一个简单的例子：一口袋里有3只红球、2只白球，采用不放回方式摸取，求：  
⑴ 第一次摸到红球（记作A）的概率；  
⑵ 第二次摸到红球（记作B）的概率；  
⑶ 已知第二次摸到了红球，求第一次摸到的是红球的概率。  
解：⑴ P(A)=3/5，这就是验前概率；  
⑵ P(B)=P(A)P(B|A)+P(A逆)P(B|A逆)=3/5  
⑶ P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B)=1/2，这就是验后概率。

[Link 1]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%89%E4%B8%81%E6%96%87
[Link 2]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%B6%93%E9%A9%97
[Link 3]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%91%E4%BB%A3
[Link 4]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A5%BF%E6%96%B9
[Link 5]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%9F%A5%E8%AF%86
[Link 6]: http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%90%8E%E9%AA%8C&action=edit&redlink=1
[Link 7]: http://wiki.mbalib.com/wiki/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E5%85%AC%E5%BC%8F
[Link 8]: http://wiki.mbalib.com/wiki/%E6%A0%B7%E6%9C%AC
[Link 9]: http://wiki.mbalib.com/wiki/%E6%95%B0%E7%90%86%E7%BB%9F%E8%AE%A1
[012.gif]: /images/20220727/b7efa13722d5490382f42913cc53c912.png
[f_X_mid Y_y_x_f_X_x_ L_X_mid Y_y_x_ _over _int_-_infty_infty f_X_x_ L_X_mid Y_y_x_dx]: http://content.answers.com/main/content/wp/en/math/5/e/c/5ec2fa1a41926768d30d57b1f78e5acf.png
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