算法导论之贪心算法：哈夫曼编码

清疚 2022-07-24 08:08 140阅读 0赞

**哈夫曼编码**是可变字长编码(VLC)的一种。其思想是赋予高频字符短字码，赋予高频字符长字码。

通过这种编码可以有效的压缩数据，通常是20%~90%。

对于构造贪心算法，我们可以不用[算法导论之贪心算法：活动选择问题][Link 1]中提到了所有步骤。

我们可以将其更一般化为：

1、将最优化问题转化为这样的形式：对其作出一次选择后，只剩下一个子问题需要求解。

2、证明作出贪心选择后，原问题总是存在最优解，即贪心算法是安全的。

3、证明作出贪心算法后，剩下的子问题满足性质：其最优解与贪心选择组合即可得到原问题的最优解，这样就得到了最优子结构。

**代码试下**如下：

为了实现这个题目，我额外写了一个**小堆排序的优先队列**算法包含：建堆、调整堆、堆排序、选择最小值并维护堆的性质、插入值并维护堆的性质。

#include <stdio.h>
    
    struct Node{
    	struct Node *left;
    	struct Node *right;
    	char value;
    	float freq;
    };
    typedef struct Node Node;
    
    int LEFT(int i) {
    	return (i << 1) + 1; // 括号必须要，否则先做加法运算
    }
    int RIGHT(int i) {
    	return (i << 1) + 2;
    }
    
    int PARENT(int i) {
    	return (i - 1) >> 1;
    }
    
    void SWAP(Node *A[], int i, int j) {
    	Node *temp = A[i];
    	A[i] = A[j];
    	A[j] = temp;
    	return;
    }
    
    void MAX_HEAPIFY(Node *A[],int i,int Heap_Size){
    	int Largest = i;
    	int L = LEFT(i), R = RIGHT(i);
    	if (L < Heap_Size && A[L]->freq <= A[i]->freq) {
    		Largest = L;
    	}
    	if (R < Heap_Size && A[R]->freq <= A[Largest]->freq) {
    		Largest = R;
    	}
    	if (Largest != i) {
    		SWAP(A, i, Largest);
    		MAX_HEAPIFY(A, Largest, Heap_Size);
    	}
    }
    void BUILD_MIN_HEAP(Node *A[],int len) {
    	int i = (len - 1) / 2;
    	for (; i >= 0; i--) {
    		MAX_HEAPIFY(A, i, len);
    	}
    }
    
    void HEAP_SORT(Node *A[],int len) {
    	int Heap_Size = len;
    	int i = len - 1;
    	for (; i >= 1; i--) {
    		SWAP(A, 0, i);
    		Heap_Size--;
    		MAX_HEAPIFY(A, 0, Heap_Size);
    	}
    }
    void INSERT(Node *A[],int len,Node *z){
    	A[len]=z;
    	int i =len;
         while(i>0 && A[PARENT(i)]->freq>A[i]->freq){
            Node *temp = A[i];
            A[i]=A[PARENT(i)];
            A[PARENT(i)]=temp;
            i=PARENT(i);
         }
    	
    	/*
    	//测试每次插入后的数据 
    	int i = 0;
    	for(; i < len+1; i++) {
    		printf("%0.2f,",A[i]->freq);
    	}
    	printf("\n");*/
    }
    
    Node *EXTRACT_MIN(Node *A[],int len){
    	int Heap_Size = len;
    	int i = len - 1;
    	if(i>0){
    		SWAP(A, 0, i);
    		Heap_Size--;
    		MAX_HEAPIFY(A, 0, Heap_Size);
    	}
    	return A[i];
    }
    /*
    int main()
    {
    	int Heap[] = { 16, 4, 10, 14, 7, 9, 3, 2, 8, 1 };
    	int n = sizeof(Heap)/sizeof(int);
    	printf("%d\n",n);
    
    	Node *AB[n];
    	int i=0;
    	for(;i<n;i++){
    		Node *temp = (Node *)malloc(sizeof(Node));
    		temp->freq=Heap[i];
    		AB[i]=temp;
    	}
    	//测试健小堆 
    	BUILD_MIN_HEAP(AB,n);
    	i = 0;
    	for (; i < n; i++) {
    		printf("%0.2f,",AB[i]->freq);
    	}
    	//测试输出最小值 
    	printf("\n");
    	EXTRACT_MIN(AB,n);
    	i = 0;
    	for (; i < n; i++) {
    		printf("%0.2f,",AB[i]->freq);
    	}
    	//测试小堆排序 
    	printf("\n");
    	HEAP_SORT(AB,n-1);
    	i=0;
    	for (; i < n; i++) {
    		printf("%0.2f,",AB[i]->freq);
    	}
    	return 0;
    }
    */

接下来是实现 **构造哈夫曼树和输出哈夫曼编码**：

#include <stdio.h>
    #include "LittleHeapSort.c" 
    
    Node *HUFFMAN(Node *input[],int n){
    	int i=0,len=n;
    
    	Node *x,*y;
    	for(;i<n-1;i++){
    		Node *z=(Node *)malloc(sizeof(Node));
    		x=EXTRACT_MIN(input,len--);
    		y=EXTRACT_MIN(input,len--);
    		z->left=x;
    		z->right=y;
    		z->freq=x->freq+y->freq;
    		INSERT(input,len++,z);
    	}
    	return EXTRACT_MIN(input,len);
    }
    
    void printfHuffmanCode(Node *root,char c[],int now,int len){
    	if(root->left==NULL && root->right==NULL && now <len){
    		printf("%c:",root->value);
    		int position = now;
    		int i=0;
    		for(;i<position;i++){
    			printf("%c",c[i]);
    		}
    		printf("\n");
    		return;
    	}
    
    	c[now++]='0';
    	printfHuffmanCode(root->left,c,now,len);
    	now--;
    	c[now++]='1';
    	printfHuffmanCode(root->right,c,now,len);
    	now--;
    }
    int main(int argc, char *argv[])
    {
    	int n = 6;
    	Node *input[n];
    	Node *node0=(Node *)malloc(sizeof(Node));
    	node0->value='a';node0->freq=45;node0->left=NULL;node0->right=NULL;
    	input[0]=node0;
    	
    	Node *node1=(Node *)malloc(sizeof(Node));
    	node1->value='b';node1->freq=13;node1->left=NULL;node1->right=NULL;
    	input[1]=node1;
    	
    	Node *node2=(Node *)malloc(sizeof(Node));
    	node2->value='c';node2->freq=12;node2->left=NULL;node2->right=NULL;
    	input[2]=node2;
    	
    	Node *node3=(Node *)malloc(sizeof(Node));
    	node3->value='d';node3->freq=16;node3->left=NULL;node3->right=NULL;
    	input[3]=node3;
    	
    	Node *node4=(Node *)malloc(sizeof(Node));
    	node4->value='e';node4->freq=9;node4->left=NULL;node4->right=NULL;
    	input[4]=node4;
    	Node *node5=(Node *)malloc(sizeof(Node));
    	node5->value='f';node5->freq=5;node5->left=NULL;node5->right=NULL;
    	input[5]=node5;
    	
    	BUILD_MIN_HEAP(input,n);
    	Node *root = HUFFMAN(input,n);
    	
    	printf("%0.2f\nthe huffmanCode as follow:\n",root->freq);
    	int length =32;
    	char c[length];
    	printfHuffmanCode(root,c,0,length);
    	return 0;
    }

我们来考虑 **时间复杂度**：

堆排序：

调整堆：O(lgn)。

建堆：O(nlgn)。

堆排序：O(nlgn)。

返回最小值并维护堆的性质：O(lgn)。

插入值并维护堆的性质：O(lgn)。

哈夫曼树构造和哈夫曼编码：

哈夫曼树构造：O(nlgn)。

哈夫曼编码：O(n)。

**参考资料**：  
算法导论  
  
**备注**：  
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作者：WSYW126

[Link 1]: http://blog.csdn.net/wsyw126/article/details/51439202