HDU 2516-取石子游戏（斐波那契博弈）

小灰灰 2022-07-24 03:27 177阅读 0赞

# 取石子游戏 #

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Total Submission(s): 4016 Accepted Submission(s): 2399**

Problem Description

1堆石子有n个,两人轮流取.先取者第1次可以取任意多个，但不能全部取完.以后每次取的石子数不能超过上次取子数的2倍。取完者胜.先取者负输出"Second win".先取者胜输出"First win".

Input

输入有多组.每组第1行是2<=n<2^31. n=0退出.

Output

先取者负输出"Second win". 先取者胜输出"First win".  
参看Sample Output.

Sample Input

2
    13
    10000
    0

Sample Output

Second win
    Second win
    First win

Source

[ECJTU 2008 Autumn Contest ][ECJTU 2008 Autumn Contest]

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斐波那契是必败点。  
以下[From][]：  
 斐波那契博弈模型，大致上是这样的：  
有一堆个数为 n 的石子，游戏双方轮流取石子，满足：  
1. 先手不能在第一次把所有的石子取完；  
2. 之后每次可以取的石子数介于1到对手刚取的石子数的2倍之间（包含1和对手刚取的石子数的2倍）。  
约定取走最后一个石子的人为赢家，求必败态。

分析：  
n = 2时输出second；  
n = 3时也是输出second；  
n = 4时，第一个人想获胜就必须先拿1个，这时剩余的石子数为3，此时无论第二个人如何取，第一个人都能赢，输出first；  
n = 5时，first不可能获胜，因为他取2时，second直接取掉剩下的3个就会获胜，当他取1时，这样就变成了n为4的情形，所以输出的是second；  
n = 6时，first只要去掉1个，就可以让局势变成n为5的情形，所以输出的是first；  
n = 7时，first取掉2个，局势变成n为5的情形，故first赢，所以输出的是first；  
n = 8时，当first取1的时候，局势变为7的情形，第二个人可赢，first取2的时候，局势变成n为6得到情形，也是第二个人赢，取3的时候，second直接取掉剩下的5个，所以n = 8时，输出的是second；  
  
…………  
  
从上面的分析可以看出，n为2、3、5、8时，这些都是输出second，即必败点，仔细的人会发现这些满足斐波那契数的规律，可以推断13也是一个必败点。  
  
借助“Zeckendorf定理”（齐肯多夫定理）：任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。n=12时，只要谁能使石子剩下8且此次取子没超过3就能获胜。因此可以把12看成8+4，把8看成一个站，等价与对4进行"气喘操作"。又如13，13=8+5，5本来就是必败态，得出13也是必败态。也就是说，只要是斐波那契数，都是必败点。  
  
所以我们可以利用斐波那契数的公式：fib\[i\] = fib\[i-1\] + fib\[i-2\]，只要n是斐波那契数就输出second。

#include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstdlib>
    #include<cstring>
    #include<set>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    #define MAXN 1010
    set<int>s;
    int f[MAXN];
    void fab()//打出斐波那契数列表
    {
        int i;
        f[0]=1,f[1]=1;
        s.insert(f[0]);
        s.insert(f[1]);
        for(i=2; i<MAXN; ++i)
        {
            f[i]=f[i-1]+f[i-2];
            s.insert(f[i]);
        }
    }
    void solve(int n)
    {
        if(s.count(n))puts("Second win");//fab是必败点
        else puts("First win");
    }
    
    int main()
    {
        fab();
        int n;
        while(cin>>n,n)
            solve(n);
        return 0;
    }

[ECJTU 2008 Autumn Contest]: http://acm.hdu.edu.cn/search.php?field=problem&key=ECJTU+2008+Autumn+Contest&source=1&searchmode=source
[2509]: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2509
[2512]: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2512
[1536]: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1536
[2510]: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2510
[1907]: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1907
[From]: http://demo.netfoucs.com/wtyvhreal/article/details/42524697