数据结构与算法简记：AVL树

骑猪看日落 2022-07-19 05:21 191阅读 0赞

前面记录了二叉查找树，它在搜索方面的效率显而易见，可它也存在某种缺陷，假设我们连续插入较小或较大的数据，那么二叉查找树将会逐渐退变为一个线性结构，从而搜索就变为了线性查找，效率将会大打折扣。所以，我们需要一棵这样的树，它在插入新节点后，能够重新调整自己的结构，使左右恢复平衡。AVL树就符合这个条件。

AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树，其得名于它的发明者 G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis，他们在 1962 年的论文 “An algorithm for the organization of information” 中发表了它。

在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为一，所以它也被称为高度平衡树，其查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(logN)。

首先是创建AVL树：

我们可以从一个排序后的数组来初始化AVL树，这个过程不难，只需找到数组区间的中间元素，这个将作为树的根节点，同时这个节点将数组划分两个子区间，然后分别再取左右子区间中间元素，创建左右子树的根节点，同时继续划分子区间，如此进行下去。过程如下图所示：

![20160810133337047][]

然后是插入和移除节点，基本操作跟二叉查找树相似，不同的是这两个操作都需要重新平衡子树结构。

要使一棵树重新恢复平衡，我们需要对子树节点进行旋转操作，而旋转操作需要应对4种不同的情况，它们分别是：

LL: 即左左情况，此时需要对节点进行右旋转操作  
RR: 即右右情况，此时需要对节点进行左旋转操作

以上这两种情况的旋转操作如下图所示：

![20160810162725249][]

还有两种相对复杂的情况：

LR: 即左右情况，此时需要先进行一次RR型旋转，再进行一次LL型旋转  
RL: 即右做情况，此时需要先进行一次LL行旋转，再进行一次RR型旋转

下面两张图分别拆解了这两种情况的步骤：

![20160810163007891][]

![20160810163222262][]

下面分别是JS和C语言的实现代码：

JS描述：

//AVL树节点结构
    function AVLTreeNode(data) {
        
      this.data = data;
      this.leftChild = null;
      this.rightChild = null;
      this.height = 0;
    }
    
    var AVLTreeUtil = {
      //由排序数组创建AVL树
      createAVLTree: function(array, low, high) {
        
        if (high < low) return null;
    
        var mid = Math.floor((low + high) / 2);
    
        var newNode = new AVLTreeNode(array[mid]);
    
        newNode.leftChild = this.createAVLTree(array, low, mid - 1);
        newNode.rightChild = this.createAVLTree(array, mid + 1, high);
    
        this.updateHeight(newNode);
    
        return newNode;
      },
      //前序遍历子树
      preOrderTraverse: function(node, visitFn) {
        
        if (node) {
          visitFn(node);
    
          this.preOrderTraverse(node.leftChild, visitFn);
          this.preOrderTraverse(node.rightChild, visitFn);
        }
      },
      //中序遍历子树
      inOrderTraverse: function(node, visitFn) {
        
        if (node) {
          this.inOrderTraverse(node.leftChild, visitFn);
    
          visitFn(node);
    
          this.inOrderTraverse(node.rightChild, visitFn);
        }
      },
      //插入节点并保持树平衡
      insertNodeWithBalance: function(node, key) {
        
        if (!node) {
          return new AVLTreeNode(key);
        }
    
        if (key < node.data) {
          node.leftChild = this.insertNodeWithBalance(node.leftChild, key);
    
          //平衡当前节点和左子树
          node = this.balanceLeft(node, key);
        } else {
          node.rightChild = this.insertNodeWithBalance(node.rightChild, key);
    
          //平衡当前节点和右子树
          node = this.balanceRight(node, key);
        }
    
        this.updateHeight(node);
    
        return node;
      },
      //移除子树中指定值的节点
      removeNodeWithBalance: function(node, key) {
        
        if (!node) return null;
    
        if (key < node.data) {
          node.leftChild = this.removeNodeWithBalance(node.leftChild, key);
    
          //平衡当前节点和左子树
          node = this.balanceLeft(node, key);
    
          this.updateHeight(node);
    
          return node;
        }
    
        if (key > node.data) {
          node.rightChild = this.removeNodeWithBalance(node.rightChild, key);
    
          //平衡当前节点和右子树
          node = this.balanceRight(node, key);
    
          this.updateHeight(node);
    
          return node;
        }
    
        //叶子节点
        if (!node.leftChild && !node.rightChild) {
          return null;
        }
    
        //仅左子树不存在，但存在右子树
        if (!node.leftChild) {
          return node.rightChild;
        }
    
        //仅右子树不存在，但存在左子树
        if (!node.rightChild) {
          return node.leftChild;
        }
    
        //下面处理左右子树均不为空的情况
    
        //查找右子树中最小节点
        var minNode = this.findMinNode(node.rightChild);
    
        //替换
        node.data = minNode.data;
    
        //在右子树中移除最小节点
        node.rightChild = this.removeNodeWithBalance(node.rightChild, minNode.data);
    
        //平衡当前节点和右子树
        node = this.balanceRight(node, key);
    
        this.updateHeight(node);
    
        return node;
      },
      //查找指定子树中最小节点
      findMinNode: function(node) {
        
        while (node && node.leftChild) {
          node = node.leftChild;
        }
    
        return node;
      },
      //获取节点树高
      getHeight: function(node) {
        
        if (!node) return -1;
    
        return node.height;
      },
      //更新节点树高
      updateHeight: function(node) {
        
        node.height = Math.max(this.getHeight(node.leftChild), this.getHeight(node.rightChild)) + 1;
      },
      //LL型右旋操作
      rightRotateLL: function(node) {
        
        var pivot = node.leftChild;
    
        node.leftChild = pivot.rightChild;
    
        pivot.rightChild = node;
    
        this.updateHeight(node);
        this.updateHeight(pivot);
    
        return pivot;
      },
      //RR型左旋操作
      leftRotateRR: function(node) {
        
        var pivot = node.rightChild;
    
        node.rightChild = pivot.leftChild;
    
        pivot.leftChild = node;
    
        this.updateHeight(node);
        this.updateHeight(pivot);
    
        return pivot;
      },
      //LR型双旋操作
      doubleRotateLR: function(node) {
        
        node.leftChild = this.leftRotateRR(node.leftChild);
    
        return this.rightRotateLL(node);
      },
      //RL型双旋操作
      doubleRotateRL: function(node) {
        
        node.rightChild = this.rightRotateLL(node.rightChild);
    
        return this.leftRotateRR(node);
      },
      //平衡左边
      balanceLeft: function(node, key) {
        
        if (this.lostBalance(node)) {
          if (key < node.leftChild.data) {
            node = this.rightRotateLL(node);  //LL
          } else {
            node = this.doubleRotateLR(node); //LR
          }
        }
    
        return node;
      },
      //平衡右边
      balanceRight: function(node, key) {
        
        if (this.lostBalance(node)) {
          if (key > node.rightChild.data) {
            node = this.leftRotateRR(node);   //RR
          } else {
            node = this.doubleRotateRL(node); //RL
          }
        }
    
        return node;
      },
      //是否失去平衡
      lostBalance: function(node) {
        
        //左右树高之差大于1就失去了平衡
        return Math.abs(this.getHeight(node.leftChild) - this.getHeight(node.rightChild)) > 1;
      }
    };
    
    //已排序数据
    var array = [1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 13, 15];
    
    var rootNode = AVLTreeUtil.createAVLTree(array, 0, array.length - 1);
    
    //用于存放节点遍历序列
    var orderArray = [];
    
    var visitFn = function(node) {
        
      orderArray.push(node.data);
    };
    
    var printInAndPre = function() {
        
      orderArray.length = 0;
    
      AVLTreeUtil.inOrderTraverse(rootNode, visitFn);
      console.log('in order:', orderArray.join(' '));
    
      orderArray.length = 0;
    
      AVLTreeUtil.preOrderTraverse(rootNode, visitFn);
      console.log('pre order:', orderArray.join(' '));
    };
    
    console.log('--- after init ---');
    printInAndPre();
    
    //插入节点14并使树平衡
    rootNode = AVLTreeUtil.insertNodeWithBalance(rootNode, 14);
    
    console.log('--- after 14 inserted ---');
    printInAndPre();
    
    rootNode = AVLTreeUtil.removeNodeWithBalance(rootNode, 14);
    
    console.log('--- after 14 removed ---');
    printInAndPre();
    
    rootNode = AVLTreeUtil.insertNodeWithBalance(rootNode, 0);
    rootNode = AVLTreeUtil.insertNodeWithBalance(rootNode, -1);
    
    console.log('--- after 0 and -1 inserted ---');
    printInAndPre();

C语言描述：

#include <stdio.h>
    #include <stdlib.h>
    
    #define max(a,b) (a > b ? a : b)
    
    //AVL树节点结构体
    typedef struct node {
        int data;
        struct node *lchild, *rchild;
        int height;
    } AVLTreeNode;
    
    AVLTreeNode * createAVLTree(int *array, int low, int high);
    
    void preOrderTraverse(AVLTreeNode *node);
    void inOrderTraverse(AVLTreeNode *node);
    
    AVLTreeNode * findMinNode(AVLTreeNode *node);
    
    int getHeight(AVLTreeNode *node);
    void updateHeight(AVLTreeNode *node);
    
    AVLTreeNode * insertNodeWithBalance(AVLTreeNode *node, int key);
    AVLTreeNode * removeNodeWithBalance(AVLTreeNode *node, int key);
    
    AVLTreeNode * rightRotateLL(AVLTreeNode *node);
    AVLTreeNode * doubleRotateLR(AVLTreeNode *node);
    AVLTreeNode * leftRotateRR(AVLTreeNode *node);
    AVLTreeNode * doubleRotateRL(AVLTreeNode *node);
    
    void balanceLeft(AVLTreeNode **node, int key);
    void balanceRight(AVLTreeNode **node, int key);
    
    int main(int argc, const char * argv[]) {
    
        //已排序数据
        int array[] = {
       1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 13, 15};
        int size = 9;
    
        AVLTreeNode *rootNode = createAVLTree(array, 0, size - 1);
    
        printf("---after init ---\nin: ");
    
        inOrderTraverse(rootNode);
    
        printf("\npre: ");
        preOrderTraverse(rootNode);
    
        rootNode = insertNodeWithBalance(rootNode, 14);
    
        printf("\n--- after 14 inserted ---\nin: ");
        inOrderTraverse(rootNode);
    
        printf("\npre: ");
        preOrderTraverse(rootNode);
    
        rootNode = removeNodeWithBalance(rootNode, 14);
    
        printf("\n--- after 14 removed ---\nin: ");
        inOrderTraverse(rootNode);
    
        printf("\npre: ");
        preOrderTraverse(rootNode);
    
        rootNode = insertNodeWithBalance(rootNode, 0);
        rootNode = insertNodeWithBalance(rootNode, -1);
    
        printf("\n--- after 14 removed ---\nin: ");
        inOrderTraverse(rootNode);
    
        printf("\npre: ");
        preOrderTraverse(rootNode);
    
        return 0;
    }
    
    //初始化AVL树
    AVLTreeNode * createAVLTree(int *array, int low, int high) {
        if(high < low) return NULL;
    
        //取出子树根节点值
        int mid = (low + high) / 2;
    
        //创建子树根节点
        AVLTreeNode *newNode = (AVLTreeNode *) malloc(sizeof(AVLTreeNode));
        newNode->data = array[mid];
        newNode->height = 0;
    
        //创建左右子树
        newNode->lchild = createAVLTree(array, low, mid - 1);
        newNode->rchild = createAVLTree(array, mid + 1, high);
    
        //更新根节点树高
        updateHeight(newNode);
    
        return newNode;
    }
    
    //先序遍历，用来验证平衡后的二叉树
    void preOrderTraverse(AVLTreeNode *node) {
        if (node != NULL) {
            printf("%d ", node->data);
    
            preOrderTraverse(node->lchild);
    
            preOrderTraverse(node->rchild);
        }
    }
    
    //中序遍历
    void inOrderTraverse(AVLTreeNode *node) {
        if (node != NULL) {
            inOrderTraverse(node->lchild);
    
            printf("%d ", node->data);
    
            inOrderTraverse(node->rchild);
        }
    }
    
    //查找指定子树中最小节点
    AVLTreeNode * findMinNode(AVLTreeNode *node) {
    
        while (node != NULL && node->lchild != NULL) {
            node = node->lchild;
        }
    
        return node;
    }
    
    //插入节点并保持平衡
    AVLTreeNode * insertNodeWithBalance(AVLTreeNode *node, int key) {
    
        //新增叶子节点，并返回该节点，父节点会与其建立关联
        if (node == NULL) {
            node = (AVLTreeNode *) malloc(sizeof(AVLTreeNode));
            node->data = key;
            node->height = 0;
            node->lchild = node->rchild = NULL;
    
            return node;
        }
    
        if (key < node->data) {
            node->lchild = insertNodeWithBalance(node->lchild, key);
    
            //平衡当前节点和左子树
            balanceLeft(&node, key);
    
        } else {
            node->rchild = insertNodeWithBalance(node->rchild, key);
    
            //平衡当前节点和右子树
            balanceRight(&node, key);
        }
    
        updateHeight(node);
    
        return node;
    }
    
    //在子树中移除值为key的节点并保持平衡
    AVLTreeNode * removeNodeWithBalance(AVLTreeNode *node, int key) {
    
        if (node == NULL) return NULL;
    
        //向左子树继续
        if (key < node->data) {
            node->lchild = removeNodeWithBalance(node->lchild, key);
    
            //平衡当前节点和左子树
            balanceLeft(&node, key);
    
            updateHeight(node);
    
            return node;
        }
    
        //向右子树继续
        if (key > node->data) {
            node->rchild = removeNodeWithBalance(node->rchild, key);
    
            //平衡当前节点和右子树
            balanceRight(&node, key);
    
            updateHeight(node);
    
            return node;
        }
    
        //以下是匹配到节点后的几个不同的情况
    
        //移除叶子节点
        if (node->lchild == NULL && node->rchild == NULL) {
            //释放
            free(node);
    
            return NULL;
        }
    
        //仅左子树不存在
        if (node->lchild == NULL) {
            AVLTreeNode *rchild = node->rchild;
    
            //释放
            free(node);
    
            return rchild;
        }
    
        //仅右子树不存在
        if (node->rchild == NULL) {
            AVLTreeNode *lchild = node->lchild;
    
            //释放
            free(node);
    
            return lchild;
        }
    
        //-----最后如果左右子节点均存在，则先找到右子树最小子节点，替换其值，然后将最小节点删除-----
    
        //查找右子树最小节点
        AVLTreeNode *minNode = findMinNode(node->rchild);
    
        //替换其值
        node->data = minNode->data;
    
        //在右子树中移除最小节点
        node->rchild = removeNodeWithBalance(node->rchild, minNode->data);
    
        //平衡当前节点和右子树
        balanceRight(&node, key);
    
        updateHeight(node);
    
        return node;
    }
    
    //获取子树根节点高度
    int getHeight(AVLTreeNode *node) {
        if (node == NULL) return -1;
    
        return node->height;
    }
    
    //更新节点树高
    void updateHeight(AVLTreeNode *node) {
        node->height = max(getHeight(node->lchild), getHeight(node->rchild)) + 1;
    }
    
    //对LL类型做右旋转操作
    AVLTreeNode * rightRotateLL(AVLTreeNode *node) {
    
        //获取左子节点作为轴点
        AVLTreeNode *pivot = node->lchild;
    
        node->lchild = pivot->rchild;
    
        pivot->rchild = node;
    
        updateHeight(node);
        updateHeight(pivot);
    
        return pivot;
    };
    
    //对RR类型做左旋转操作
    AVLTreeNode * leftRotateRR(AVLTreeNode *node) {
    
        //获取右子节点作为轴点
        AVLTreeNode *pivot = node->rchild;
    
        node->rchild = pivot->lchild;
    
        pivot->lchild = node;
    
        updateHeight(node);
        updateHeight(pivot);
    
        return pivot;
    };
    
    //对于LR类型，先对左子节点进行一次RR类型的左旋转操作，然后再对根节点进行一次LL类型的右旋转操作
    AVLTreeNode * doubleRotateLR(AVLTreeNode *node) {
    
        node->lchild = leftRotateRR(node->lchild);
    
        return rightRotateLL(node);
    };
    
    //对于RL类型，先对右子树进行一次LL类型的右旋转操作，然后再对根节点进行一次RR类型的左旋转操作
    AVLTreeNode * doubleRotateRL(AVLTreeNode *node) {
    
        node->rchild = rightRotateLL(node->rchild);
    
        return leftRotateRR(node);
    };
    
    //平衡LL或LR类型
    void balanceLeft(AVLTreeNode **node, int key) {
    
        AVLTreeNode *p = *node;
    
        if (getHeight(p->lchild) - getHeight(p->rchild) > 1) {
            if (key < p->lchild->data) {    //LL
                *node = rightRotateLL(p);
            } else {                        //LR
                *node = doubleRotateLR(p);
            }
        }
    }
    
    //平衡RR或RL类型
    void balanceRight(AVLTreeNode **node, int key) {
    
        AVLTreeNode *p = *node;
    
        if (getHeight(p->rchild) - getHeight(p->lchild) > 1) {
            if (key > p->rchild->data) {    //RR
                *node = leftRotateRR(p);
            } else {                        //RL
                *node = doubleRotateRL(p);
            }
        }
    }

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