高斯函数的详细分析

Bertha 。 2022-07-16 01:56 300阅读 0赞

# 摘要 #

论文中遇到很重要的一个元素就是高斯核函数，但是必须要分析出高斯函数的各种潜在属性，本文首先参考相关材料给出高斯核函数的基础，然后使用matlab自动保存不同参数下的高斯核函数的变化gif动图，同时分享出源代码，这样也便于后续的论文写作。

# 高斯函数的基础 #

## 2.1 一维高斯函数 ##

高斯函数，Gaussian Function， 也简称为Gaussian，一维形式如下：

![20160928082700352][]

对于任意的实数a,b,c，是以著名数学家Carl Friedrich Gauss的名字命名的。高斯的一维图是特征对称“bell curve”形状，a是曲线尖峰的高度，b是尖峰中心的坐标，c称为标准方差，表征的是bell钟状的宽度。

![20160928083711092][]

高斯函数广泛应用于统计学领域，用于表述正态分布，在信号处理领域，用于定义高斯滤波器，在图像处理领域，二维高斯核函数常用于高斯模糊Gaussian Blur，在数学领域，主要是用于解决热力方程和扩散方程，以及定义Weiertrass Transform。

从上图可以看出，高斯函数是一个指数函数，其log函数是对数凹二次函数 whose logarithm a concave quadratic function。

高斯函数的积分是误差函数error function，尽管如此，其在整个实线上的反常积分能够被精确的计算出来，使用如下的高斯积分

![20160928084910665][]

同理可得

![20160928084946604][]

当且仅当

![20160928085014597][]

上式积分为1，在这种情况下，高斯是正态分布随机变量的概率密度函数，期望值μ=b，方差delta^2 = c^2，即

![20160928091520886][]

## 2.2 二维高斯函数 ##

二维高斯函数，形如

![20160928092115332][]

A是幅值，x。y。是中心点坐标，σ*x *σ*y*是方差，图示如下，A = 1, xo = 0, yo = 0, σ*x* = σ*y* = 1

![20160928092405383][]

## 2.3 高斯函数分析 ##

这一节使用matlab直观的查看高斯函数，在实际编程应用中，高斯函数中的参数有

**ksize 高斯函数的大小**

**sigma 高斯函数的方差**

**center 高斯函数尖峰中心点坐标**

**bias 高斯函数尖峰中心点的偏移量，用于控制截断高斯函数**

为了方便直观的观察高斯函数参数改变而结果也不一样，下面的代码实现了参数的自动递增，并且将所有的结果图保存为gif图像，首先贴出完整代码：

function mainfunc()
    % 测试高斯函数，递增的方法实现高斯函数参数的改变对整个高斯函数的影响，
    % 并自动保存为gif格式输出。
    % created by zhao.buaa 2016.09.28
    
    %% 保存gif动画
    item = 10;      % 迭代次数
    dt = 1;             % 步长大小
    ksize =20;      % 高斯大小
    sigma = 2;      % 方差大小
    % filename = ['ksize-' num2str(ksize) '--' num2str(ksize+dt*item) '-sigma-' num2str(sigma) '.gif']; %必须预先建立gif文件
    filename = ['ksize-' num2str(ksize)  '-sigma-' num2str(sigma) '--' num2str(sigma+dt*item) '.gif']; %必须预先建立gif文件
    
    % main loop
    for i = 1:item
        center  = round(ksize/2);          % 中心点
        bias       = ksize*10/10;              % 偏移中心点量
        ksigma = ksigma(ksize, sigma, center, bias);    % 构建核函数
        tname  = ['ksize-' num2str(ksize) '-sigma-' num2str(sigma) '-center-' num2str(center)];
        figure(i), mesh(ksigma), title(tname);
        %设置固定的x-y-z坐标范围，便于观察，axis([xmin xmax ymin ymax zmin zmax])
        axis([0 ksize 0 ksize 0 0.008]);  view([0, 90]);% 改变可视角度   
        % ksize 递增
    %     ksize = ksize + 10;
        % sigma 递增
        sigma = sigma + dt;     
        
        % 自动保存为gif图像
        frame = getframe(i);
        im = frame2im(frame);
        [I,map] = rgb2ind(im,256);
        if i==1
            imwrite(I,map,filename,'gif','Loopcount',inf, 'DelayTime',0.4);
        else
            imwrite(I,map,filename,'gif','WriteMode','append','DelayTime',0.4);
        end
    end;
    
    close all;
    
    
    %% 截断高斯核函数，截断的程度取决于参数bias
    function ksigma = ksigma(ksize, sigma, center,bias)
    %ksize = 80;    sigma = 15;
    ksigma=fspecial('gaussian',ksize, sigma);   % 构建高斯函数
    [m, n] =size(ksigma);
    for i = 1:m
        for j = 1:n
            if(  (i<center-bias)||(i>center+bias)||(j<center-bias)||(j>center+bias)  )
                ksigma(i,j) = 0;
            end;
        end;
    end;

结果图：

固定ksize为20，sigma从1-9，固定center在高斯中间，并且bias偏移量为整个半径，即原始高斯函数。

![20160928110256532][]

随着sigma的增大，整个高斯函数的尖峰逐渐减小，整体也变的更加平缓，则对图像的平滑效果越来越明显。

保持参数不变，对上述高斯函数进行截断，即truncated gaussian function，bias的大小为ksize\*3/10，则结果如下图：

![20160928110613898][]

truncated gaussian function的作用主要是对超过一定区域的原始图像信息不再考虑，这就保证在更加合理的利用靠近高斯函数中心点的周围像素，同时还可以改变高斯函数的中心坐标，如下图：

![20160928111117004][]

为了便于观察截断的效果，改变了可视角度。

# 高斯核函数卷积 #

论文中使用gaussian与feature map做卷积，目前的结果来看，要做到随着到边界的距离改变高斯函数的截断参数，因为图像的边缘如果使用原始高斯函数，就会在边界地方出现特别低的一圈，原因也很简单，高斯函数在与原始图像进行高斯卷积的时候，图像边缘外为0计算的，那么如何解决边缘问题呢？

先看一段代码：

% 截断高斯核函数
    ksize = 40; ksigma=fspecial('gaussian',  ksize, 6);
    [m, n] =size(ksigma);
    for i = 1:m
        for j = 1:n
            if( i<25 )
               ksigma(i,j) = 0;
            end;
        end;
    end;
    figure, mesh(ksigma);

在i，即row上对高斯核函数进行截断，bias为半径大小，则如图6

![20160928154854028][]

并且对下图7进行卷积，

![20160928155126500][]

首先卷积核为原始未截断高斯核函数，则结果如图8

![20160928155304958][]

可以看出，在图像边缘处的卷积结果出现不想预见的结果，边缘处的值出现大幅度减少的情况，这是高斯核函数在边缘处将图像外的部分当成0计算的结果，因此，需要对高斯核函数进行针对性的截断处理，但是前提是要掌握bias的规律，下面就详细分析。

如果使用图6的高斯核函数与图7做卷积操作，则如图9：

![20160928155842976][]

可以看出，相比较于图8，与高斯核函数相对应的部分出现了变化，也就是说：

if( i<25 )
               ksigma(i,j) = 0;
            end;

靠近边缘的时候，改变 i 或 j 的值，即可保证边缘处的平滑处理。但是这样改变高斯核函数，使用matlab不是很好解决这个问题，还是使用将待处理图像边缘向外部扩展bias的大小，与标准高斯核函数做卷积，再将超过原始图像大小的部分剪切掉，目前来看在使用matlab中imfilter函数做卷积运算最合适且最简单的处理方法了，先写在这里，此部分并不是论文中的核心部分，只是数值运算的技巧性编程方法。

[20160928082700352]: /images/20220716/89628bac701b4f6ea7418b39c1f486ac.png
[20160928083711092]: /images/20220716/ae542958911c4eb287951a3e9cdb6e28.png
[20160928084910665]: /images/20220716/e90f73e455fc4cfe998e9f1a83e86bfc.png
[20160928084946604]: /images/20220716/eb4ab650611f4bb6aa445b46f6ba58c8.png
[20160928085014597]: /images/20220716/abfc5bb09bff40f78f4a4bdce823bd8e.png
[20160928091520886]: /images/20220716/567792569d304dd3beeb56c69ff74a52.png
[20160928092115332]: /images/20220716/a41cc31a5d664b4bbf3a12ba60a09530.png
[20160928092405383]: /images/20220716/8b04282236da407686d4a5b7cb7bb803.png
[20160928110256532]: /images/20220716/d5cb04d9632e4d7f81911f479e04098b.png
[20160928110613898]: /images/20220716/e1dbca8fd4704557974f6235d354bddd.png
[20160928111117004]: /images/20220716/659fed3b73e84cce916a4edc9d625e5b.png
[20160928154854028]: /images/20220716/65322a6bb427403697ff7ad4f677492a.png
[20160928155126500]: /images/20220716/6560ff86db364254a854c2cf2665c887.png
[20160928155304958]: /images/20220716/732853148d774718b8215d913a43a53e.png
[20160928155842976]: /images/20220716/3dea6b4eb06648e394e2a6826216f1d7.png