OpenJudge 简单的整数划分问题(递归)

不念不忘少年蓝@ 2022-07-12 02:37 225阅读 0赞

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描述

将正整数n 表示成一系列正整数之和，n=n1+n2+…+nk, 其中n1>=n2>=…>=nk>=1 ，k>=1 。  
正整数n 的这种表示称为正整数n 的划分。正整数n 的不同的划分个数称为正整数n 的划分数。

输入

标准的输入包含若干组测试数据。每组测试数据是一个整数N(0 < N <= 50)。

输出

对于每组测试数据，输出N的划分数。

样例输入

样例输出

提示

5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1

思路：

根据n和m的关系，考虑以下几种情况：  
   (1)当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即\{1\};  
   (2)当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，\{1,1,1,...,1\};  
   (3)当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：  
      (a)划分中包含n的情况，只有一个即\{n\}；  
      (b)划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。  
      因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);  
   (4)当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n);  
   (5)但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：  
       (a)划分中包含m的情况，即\{m, \{x1,x2,...xi\}\}, 其中\{x1,x2,... xi\} 的和为n-m，因此这情况下  
          为f(n-m,m)  
       (b)划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);  
      因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);  
      综上所述：  
                             f(n, m)=   1;                    (n=1 or m=1)  
                            f(n,m)   =    f(n, n);         (n<m)  
                             1+ f(n, m-1);                  (n=m)  
                             f(n-m,m)+f(n,m-1);        (n>m)

代码：

#include<iostream>
    using namespace std;
    
    int sp(int n,int m) {
    	if(n==1||m==1) return 1;
    	else if(n<m) return sp(n,n);
    	else if(n==m) return sp(n,n-1)+1;
    	else return sp(n,m-1)+sp(n-m,m);
    }
    
    int main() {
    	int n;
    	while(cin>>n) {
    		cout<<sp(n,n)<<endl;
    	}
    	return 0;
    }