Floyd最小环算法

客官°小女子只卖身不卖艺 2022-07-11 12:18 181阅读 0赞

**问题描述**： 给你一张无向图，定义环为从i出发到达j然后从j返回i并且所有点都只经过一次（最少为3个点），求所有环当中经过路径最小的环

**算法描述：** 首先容易想到的是暴力来枚举环，当删除其中一条边ij后再跑一边从i到j的最短路，然后加上边ij的值就是含有边ij的最小环的值，这样最坏的                    时间复杂度可以达到O(n^4)，显然复杂度有点大。

所以我们考虑降低时间复杂度，我们来分析下floyd的实现过程，当枚举顶点k之前我们已经求得了顶点为1  -  k-1 的最短

路，所以我们可以在跟新k之前枚举k之前的i和j的组合，我们可以知道dis\[i\]\[j\]没有经过k点,所以我们就可以知道

如果dis\[i\]\[j\]+mp\[i\]\[k\]+mp\[k\]\[j\] != inf(mp\[i\]\[j\]为没有跟新得边值) 时就存在一条经过ijk的最小环,所以我们要求的是所有环当

中最小的哪一个！

**HDU1599：**

# find the mincost route #

**Time Limit: 1000/2000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)  
Total Submission(s): 4556    Accepted Submission(s): 1838**

Problem Description

杭州有N个景区，景区之间有一些双向的路来连接，现在8600想找一条旅游路线，这个路线从A点出发并且最后回到A点，假设经过的路线为V1,V2,....VK,V1,那么必须满足K>2,就是说至除了出发点以外至少要经过2个其他不同的景区，而且不能重复经过同一个景区。现在8600需要你帮他找一条这样的路线，并且花费越少越好。

Input

第一行是2个整数N和M（N <= 100, M <= 1000)，代表景区的个数和道路的条数。  
接下来的M行里，每行包括3个整数a,b,c.代表a和b之间有一条通路，并且需要花费c元(c <= 100)。

Output

对于每个测试实例，如果能找到这样一条路线的话，输出花费的最小值。如果找不到的话，输出"It's impossible.".

Sample Input

3 3
    1 2 1
    2 3 1
    1 3 1
    3 3
    1 2 1
    1 2 3
    2 3 1

Sample Output

3
    It's impossible.

最小环模板题：可以当模板

AC代码：（c++）

#include<algorithm>
    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    
    using namespace std;
    
    const int maxn = 105;
    const int inf = 1e8;
    
    class Floyd{
    public:
    
        int n,m;
        int dis[maxn][maxn],mp[maxn][maxn];
    
        int init(){
            if(scanf("%d%d",&n,&m)!=2)return -1;
            for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)mp[i][j]=dis[i][j]=inf;
            for(int i=0;i<m;i++){
                int u,v,w;scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
                mp[u][v]=mp[v][u]=dis[u][v]=dis[v][u]=min(w,mp[u][v]);
            }
        }
    
        void floyd(){
            int MinCost = inf;
            for(int k=1;k<=n;k++){
                for(int i=1;i<k;i++)
                    for(int j=i+1;j<k;j++)
                        MinCost = min(MinCost,dis[i][j]+mp[i][k]+mp[k][j]);//跟新k点之前枚举ij求经过ijk的最小环
                for(int i=1;i<=n;i++)
                    for(int j=1;j<=n;j++)
                        dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);      //跟新k点
            }
            if(MinCost==inf)puts("It's impossible.");
            else printf("%d\n",MinCost);
        }
    
    }fd;
    
    int main()
    {
        while(~fd.init())fd.floyd();
        return 0;
    }