整理：卷积的直观理解、物理意义与本质（四）

曾经终败给现在 2022-06-18 08:59 346阅读 0赞

那片云：看了后有很大的收获，开始主文及回复均非常精彩。对理解卷积的数学物理意义很有帮助。

下面说一下我的理解：

1.卷积是求累积值，就是某一时刻的反应，是多个反应的叠加值。

2.既然如一，就有2.1任何信号可微分成脉冲信号的组合，依次通过系统。

2.1，系统是线性的，某时的响应是可以看成是响应的叠加。

注：关于线性系统，可以理解为：如果一系统，输入为1时，输出为1；那么输入为2时，输出也为2.而不是1.几。

3.y(t)=∫T(τ)H(t-τ)，这是卷积的公式，要理解这个，首先要有时间的概念，τ，t这两个参数的真正意义，是时间。t是某时，而τ表示从零到某时的这个时间段的某时刻。

这个公式包括两个部份，前面的表示脉冲强度，τ时刻的脉冲强度；是后面的是单位脉冲响应函数，

或者说是响应的衰减函数，因为响应随着时间的推移而减弱，就像疼痛会减弱一样这样更好理解，而个体表示的是t时刻时，τ时刻的脉冲响应的值。那么整个式子就表示，强度\*衰减系数。叠加到一块儿，就是t时刻的响应了。

[![卷积的物理意义][7f4c324fgc207759f5655_690]][7f4c324fgc207759f5655_690 1]  
  
如上图，脉冲的强度，和些脉冲响应的强度在时间上的关系。而卷积无非就是强度和时间上的关系。

、、、、、、、、、、、、、、、、、、、

最幽默的解释 卷积的物理意义

谈起卷积分当然要先说说冲击函数—-这个倒立的小蝌蚪，卷积其实就是为它诞生的。”冲击函数”是狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现象而提出的符号。

古人曰：”说一堆大道理不如举一个好例子”，冲量这一物理现象很能说明”冲击函数”。在t时间内对一物体作用F的力，我们可以让作用时间t很小，作用力F很大，但让Ft的乘积不变，即冲量不变。于是在用t做横坐标、F做纵坐标的坐标系中，就如同一个面积不变的长方形，底边被挤的窄窄的，高度被挤的高高的，在数学中它可以被挤到无限高，但即使它无限瘦、无限高、但它仍然保持面积不变（它没有被挤没！），为了证实它的存在，可以对它进行积分，积分就是求面积嘛！于是”卷积” 这个数学怪物就这样诞生了。说它是数学怪物是因为追求完美的数学家始终在头脑中转不过来弯，一个能瘦到无限小的家伙，竟能在积分中占有一席之地，必须将这个细高挑清除数学界。但物理学家、工程师们确非常喜欢它，因为它解决了很多当时数学家解决不了的实际问题。最终追求完美的数学家终于想通了，数学是来源于实际的，并最终服务于实际才是真。于是，他们为它量身定做了一套运作规律。于是，妈呀！你我都感觉眩晕的卷积分产生了。

例子：

有一个七品县令，喜欢用打板子来惩戒那些市井无赖，而且有个惯例：如果没犯大罪，只打一板，释放回家，以示爱民如子。

有一个无赖，想出人头地却没啥指望，心想：既然扬不了善名，出恶名也成啊。怎么出恶名？炒作呗！怎么炒作？找名人呀！他自然想到了他的行政长官——县令。

无赖于是光天化日之下，站在县衙门前撒了一泡尿，后果是可想而知地，自然被请进大堂挨了一板子，然后昂首挺胸回家，躺了一天，嘿！身上啥事也没有！第二天如法炮制，全然不顾行政长管的仁慈和衙门的体面，第三天、第四天……每天去县衙门领一个板子回来，还喜气洋洋地，坚持一个月之久！这无赖的名气已经和衙门口的臭气一样，传遍八方了！

县令大人噤着鼻子，呆呆地盯着案子上的惊堂木，拧着眉头思考一个问题：这三十个大板子怎么不好使捏？……想当初，本老爷金榜题名时，数学可是得了满分，今天好歹要解决这个问题：

——人（系统！）挨板子（脉冲！）以后，会有什么表现（输出！）？

——费话，疼呗！

——我问的是：会有什么表现？

——看疼到啥程度。像这无赖的体格，每天挨一个板子啥事都不会有，连哼一下都不可能，你也看到他那得意洋洋的嘴脸了（输出0）；如果一次连揍他十个板子，他可能会皱皱眉头，咬咬牙，硬挺着不哼

（输出1）；揍到二十个板子，他会疼得脸部扭曲，象猪似地哼哼（输出3）；揍到三十个板子，他可能会象驴似地嚎叫，一把鼻涕一把泪地求你饶他一命（输出5）；揍到四十个板子，他会大小便失禁，勉

强哼出声来（输出1）；揍到五十个板子，他连哼一下都不可能（输出0）——死啦！

县令铺开坐标纸，以打板子的个数作为X轴，以哼哼的程度（输出）为Y轴，绘制了一条曲线：

——呜呼呀！这曲线象一座高山，弄不懂弄不懂。为啥那个无赖连挨了三十天大板却不喊绕命呀？

—— 呵呵，你打一次的时间间隔（Δτ=24小时）太长了，所以那个无赖承受的痛苦程度一天一利索，没有叠加，始终是一个常数；如果缩短打板子的时间间隔（建议 Δτ=0.5秒），那他的痛苦程度可就迅速叠加了；等到这无赖挨三十个大板（t=30）时，痛苦程度达到了他能喊叫的极限，会收到最好的惩戒效果，再多打就显示不出您的仁慈了。

——还是不太明白，时间间隔小，为什么痛苦程度会叠加呢？

——这与人（线性时不变系统）对板子（脉冲、输入、激励）的响应有关。什么是响应？人挨一个板子后，疼痛的感觉会在一天（假设的，因人而异）内慢慢消失（衰减），而不可能突然消失。这样一来，只要打板子的时间间隔很小，每一个板子引起的疼痛都来不及完全衰减，都会对最终的痛苦程度有不同的贡献：

t个大板子造成的痛苦程度=Σ(第τ个大板子引起的痛苦\*衰减系数)

\[衰减系数是（t-τ）的函数，仔细品味\]

数学表达为：y(t)=∫T(τ)H(t-τ)

——拿人的痛苦来说卷积的事，太残忍了。除了人以外，其他事物也符合这条规律吗？

——呵呵，县令大人毕竟仁慈。其实除人之外，很多事情也遵循此道。好好想一想，铁丝为什么弯曲一次不折，快速弯曲多次却会轻易折掉呢？

——恩，一时还弄不清，容本官慢慢想来——但有一点是明确地——来人啊，将撒尿的那个无赖抓来，狠打40大板！

卷积及拉普拉斯变换的通俗解释–对于我这类没学过信号系统的人来说太需要了

卷积(convolution, 另一个通用名称是德文的Faltung)的名称由来，是在于当初定义它时，定义成 integ(f1(v)\*f2(t-v))dv，积分区间在0到t之间。举个简单的例子，大家可以看到，为什么叫”卷积”了。比方说在(0，100)间积分，用简单的辛普生积分公式，积分区间分成100等分，那么看到的是f1(0)和f2(100)相乘，f1(1)和f2(99)相乘，f1(2)和f2 (98)相乘，……… 等等等等，就象是在坐标轴上回卷一样。所以人们就叫它”回卷积分”，或者”卷积”了。

为了理解”卷积”的物理意义，不妨将那个问题”相当于它的时域的信号与系统的单位脉冲响应的卷积”略作变化。这个变化纯粹是为了方便表达和理解，不影响任何其它方面。将这个问题表述成这样一个问题：一个信号通过一个系统，系统的响应是频率响应或波谱响应，且看如何理解卷积的物理意义。

假设信号函数为f, 响应函数为g。f不仅是时间的函数(信号时有时无)，还是频率的函数(就算在某一固定时刻，还有的地方大有的地方小)；g也是时间的函数(有时候有反应，有时候没反应)，同时也是频率的函数(不同的波长其响应程度不一样)。那我们要看某一时刻 t 的响应信号，该怎么办呢？

这就需要卷积了。

要看某一时刻 t 的响应信号，自然是看下面两点：

1。你信号来的时候正赶上人家”系统”的响应时间段吗？

2。就算赶上系统响应时间段，响应有多少？

响 应不响应主要是看 f 和 g 两个函数有没有交叠；响应强度的大小不仅取决于所给的信号的强弱，还取决于在某频率处对单位强度响应率。响应强度是信号强弱和对单位强度信号响应率的乘积。”交叠”体现在f(t1)和g(t-t1)上，g之所以是”(t-t1)”就是看两个函数错开多少。

由于 f 和 g 两个函数都有一定的带宽分布(假若不用开头提到的”表述变化”就是都有一定的时间带宽分布)，这个信号响应是在一定”范围”内广泛响应的。算总的响应信号，当然要把所有可能的响应加起来，实际上就是对所有可能t1积分了。积分范围虽然一般在负无穷到正无穷之间；但在没有信号或者没有响应的地方，积也是白积，结果是0，所以往往积分范围可以缩减。

这就是卷积及其物理意义啊。并成一句话来说，就是看一个时有时无(当然作为特例也可以永恒存在)的信号，跟一个响应函数在某一时刻有多大交叠。

\*\*\*\*\*\*\*\*\*拉普拉斯\*\*\*\*\*\*\*\*\*

拉普拉斯(1729-1827) 是法国数学家，天文学家，物理学家。他提出拉普拉斯变换(Laplace Transform) 的目的是想要解决他当时研究的牛顿引力场和太阳系的问题中涉及的积分微分方程。

拉普拉斯变换其实是一个数学上的简便算法；想要了解其”物理”意义 — 如果有的话 — 请看我举这样一个例子：

问题：请计算十万乘以一千万。

对于没学过指数的人，就只会直接相乘；对于学过指数的人，知道不过是把乘数和被乘数表达成指数形式后，两个指数相加就行了；如果要问究竟是多少，把指数转回来就是。

“拉 普拉斯变换” 就相当于上述例子中把数转换成”指数” 的过程；进行了拉普拉斯变换之后，复杂的微分方程(对应于上例中”复杂”的乘法) 就变成了简单的代数方程，就象上例中”复杂”的乘法变成了简单的加减法。再把简单的代数方程的解反变换回去(就象把指数重新转换会一般的数一样)，就解决了原来那个复杂的微分方程。

所以要说拉普拉斯变换真有” 物理意义”的话，其物理意义就相当于人们把一般的有理数用指数形式表达一样。

另外说两句题外话：

1 。拉普拉斯变换之所以现在在电路中广泛应有，根本原因是电路中也广泛涉及了微分方程。

2。拉普拉斯变换与Z变换当然有紧密联系；其本质区别在于拉氏变换处理的是时间上连续的问题，Z变换处理的是时间上分立的问题。

**\[有奖讨论\] 卷积运算的实际意义是什么？**

**卷积运算是信号处理常规的一个运算过程。**

** **

**作为一个重要的基础，请大家讨论，也就是从概念，应用方向等去谈谈它的意义。**

** **

**信号处理对很多朋友来说可能比较难，作为基础，我们不能小看它的作用。**

** **

**欢迎参与讨论。:)**

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一个我觉得比较精彩的发言。。。开个头！

从数学的角度分析：

信号处理是将一个信号空间映射到另外一个信号空间，通常就是时域到频域，（还有z域，s域），信号的能量就是函数的范数（信号与函数等同的概念），大家都知道有个Paserval定理就是说映射前后范数不变，在数学中就叫保范映射，实际上信号处理中的变换基本都是保范映射，只要Paserval定理成立就是保范映射（就是能量不变的映射）。

前面说的意思就是信号处理的任务就是寻找和信号集合对应的一个集合，然后在另外一个集合中分析信号，Fourier变换就是一种，它建立了时域中每个信号函数与频域中的每个频谱函数的一一对应关系，这是元素之间的对应，那么运算之间的对应呢，在时域的加法对应频域中的加法，这就是FT线性性的体现，那么时域的乘法对应什么呢，最后得到的那个表达式我们就把它叫卷积，就是对应的频域的卷积。

**longdi 发表于 2006-11-16 16:11**

对于卷积，下面是我的理解，如果错误，敬请指出，谢谢！

1。两个时域上的函数做卷积可以这样理解：一个函数表征一个线性系统的

冲激响应，这个系统可以是时变的，但一定要是线性的；另一个函数表征

输入到该系统的信号；卷积的结果表征线性系统的输出。对于非线性系统，

输出信号无法表示为输入信号与系统冲激响应的卷积，所以有些教材是叫作

信号与线性系统，强调系统的线性。

2。两个时域上的函数做卷积还可以这样理解：输出表征做卷积的两个函数

在特定时刻看来的相关程度，当然此时其中一个函数已经被看作是y(tao)=x(t-tao)

了，特定时刻的输出越大，这两个函数在这一时刻看来相似程度就越好。

**gable 发表于 2006-11-24 12:13**

前两天看MATLAB教程中多项式相乘时候忽然想到一点，谈一下自己的看法，有不足之处还请高人指点。

拿离散信号开刀

卷积的表达式为 y(n)=∑x(k)×h(n-k)或y(n)=∑x(n-k)×h(k)

这里的n-k表示h从负无穷移动到正无穷，每移动一个单位都同x相乘，所有的乘积项相加后就得到了y。

再看一下多项式的乘法

(……x^2+x+1……)×(x^2+3x-3)

=(……x^2+x+1……) ×x^2+(……x^2+x+1……) ×3x-(……x^2+x+1……) ×3

由于多项式是固定的，少了反折和平移，但我觉得这样更容易理解卷积的数学表达式

物理意义就是：任何一个信号都可以表示成单位冲击信号之和。当这个信号通过一个线性系统时，若系统的冲击响应已知，则只需将表示该信号的每一个单位冲击信号在不同时延后的冲击响应叠加，总和就是输出信号。

**liukeke498 发表于 2006-12-11 19:48**

很赞同楼上说的多项式的乘法的例子，从时域和z域的关系也可以理解。两个多项式相乘就是

(a(0)+a(1)\*z^(-1)+a(2)\*z^(-2)......+a(p)z^(-p))\*(b(0)+b(1)\*z^(-1)+b(2)\*z^(-2)+....+b(q)z^(-q))=c(0)+c(1)z^(-1)+c(2)z^(-2)+....+c(p+q)z^(p+q)

z域的乘积对应时域的卷积，因此乘积后的系数序列（c(0),c(1)....c(p+q))即为序列a(0)....a（p）与序列b(0)...b(q)进行线性卷积而得到

**jumpyists 发表于 2006-12-29 13:44**

一点感想

2。两个时域上的函数做卷积还可以这样理解：输出表征做卷积的两个函数

在特定时刻看来的相关程度，当然此时其中一个函数已经被看作是y(tao)=x(t-tao)

了，特定时刻的输出越大，这两个函数在这一时刻看来相似程度就越好。

这话好像有问题？相关函数和卷积是不一样的，翻翻信号与系统吧

根据我个人的理解卷积运算之所以对于线形非时变系统如此重要

其原因有两点：

1 一个线性非时变系统对于单频正弦信号或复指信号的响应仍然是单频正弦信号或复指信号只是幅度上进行了

加权，可见线性非时变系统对基本信号的响应如此简单就使人想到能否将对复杂信号的响应转化为对简单

信号的响应的求解？

2 傅立叶级数傅立叶变换就告诉我们如何将一个信号分解为基本信号

所以对一个信号的响应求解的过程为：

首先将其分解为基本信号

然后对每个基本信号求响应

而卷积则正是这一过程的一个综合表示

所以卷积是如此的重要！！！！！

还有一个很重要的原因是实际物理系统通常都可以近似为线性非时变系统或几个线性非时变系统的互联

所以所以卷积更更更重要了！！！！！

**dragonkiss 发表于 2006-12-29 15:22**

\[quote\]原帖由 \[i\]jumpyists\[/i\] 于 2006-12-29 13:44 发表

2。两个时域上的函数做卷积还可以这样理解：输出表征做卷积的两个函数

在特定时刻看来的相关程度，当然此时其中一个函数已经被看作是y(tao)=x(t-tao)

了，特定时刻的输出越大，这两个函数在这一时刻看来相似程度 ... \[/quote\]

这个问题可能是各人理解的不同，可以和原来的朋友PM沟通一下。:)

**longdi 发表于 2007-1-1 23:41**

我说的相关不完全是严格定义上的相关，不过我觉得可以近似

那样理解卷积。

\[quote\]原帖由 \[i\]jumpyists\[/i\] 于 2006-12-29 13:44 发表

2。两个时域上的函数做卷积还可以这样理解：输出表征做卷积的两个函数

在特定时刻看来的相关程度，当然此时其中一个函数已经被看作是y(tao)=x(t-tao)

了，特定时刻的输出越大，这两个函数在这一时刻看来相似程度 ... \[/quote\]

**ycx198 发表于 2007-1-2 21:01**

我比较赞同卷积的相关性的作用  在通信系统中的接收机部分MF匹配滤波器等就是本质上的相关

匹配滤波器最简单的形式就是原信号反转移位相乘积分得到的近似＝相关

相关性越好得到的信号越强   这个我们有一次大作业做的  做地做到呕吐  呵呵

还有解调中一些东西本质就是相关  有机会再说哈  偶正在研究这个聂  呵呵

**longdi 发表于 2007-1-19 21:44**

2。两个时域上的函数做卷积还可以这样理解：输出表征做卷积的两个函数

在特定时刻看来的相关程度，当然此时其中一个函数已经被看作是y(tao)=x(t-tao)

了，特定时刻的输出越大，这两个函数在这一时刻看来相似程度 ...

这话好像有问题？相关函数和卷积是不一样的\[/quote\]

程乾生老师的《信号数字处理的数学原理》（这本书本网站有的）

Page240有这样的一段话：

“这说明，尽管褶积与相关是从研究不同的问题提出来的，但是二者的实质是相同的，

相关是一种褶积，褶积也是一种相关。”

**xiaomifeng134 发表于 2007-1-25 22:52**

对于一f(t)，把要考虑的从0到t的时间间隔等分成宽度为t1的n个小间隔，各脉冲的宽度都等于着间隔的宽度t1，各脉冲的高度分别等于他左边所在时间\[(k-1)\*t1\]的函数值。当t1甚小时这些脉冲分别用一些冲激函数来近似地表示，各冲激函数的位置就是它所代表的脉冲左侧边所在的时间，各冲激函数的强度就是它所代表的脉冲的面积。此时f(t)=f(0)\*t1\*delta(t) +...+f(k\*t1)\*t1\*delta(t-k\*t1)+...1=<k<=n,而对于一冲激响应为h(t)的线性系统，当输入f(t)时，输出为y(t)=f(0)\*t1\*h(t)+...+f(k\*t1)\*t1\*h(t-k\*t1)+...当t1趋于零时，y(t)就可表示为f(t)与h(t)的卷积。

**longdi 发表于 2007-2-21 21:49**

另外，关于相关和卷积的关系，我前面也说了自己的观点，

后来也在程乾生老师的《信号数字处理的数学原理》看到了他的观点：

程乾生老师的《信号数字处理的数学原理》（这本书本网站有的）

Page240有这样的一段话：

“这说明，尽管褶积与相关是从研究不同的问题提出来的，但是二者的实质是相同的，

相关是一种褶积，褶积也是一种相关。”

网络上每个人都有发表自己观点的权利，也有捍卫自己观点的权利，

当网络上缺乏一个大家公认的权威时，说服别人就成了件比较困难的事。

**temp\_110 发表于 2008-1-7 21:43**

如果看成运算规则，卷积就是乘法的另一种表示。

相关在形式上和卷积一样，但是相关显然有统计学上的含义。

\[\[i\] 本帖最后由 temp\_110 于 2008-1-7 21:48 编辑 \[/i\]\]

**quit2468 发表于 2008-1-17 10:49**

根据定义而言卷积和相关根本就不是一个东西，硬要说联系，也就一个信号——比如说x\[k\]的自相关可以写成x\[k\]与x\[-k\]的卷积。

我对卷积的理解没有楼上各位那么深，我觉得单吧卷积隔离开来看什么都不是，卷积无非两个作用，一是将时域与频域的运算联系上，二是信号通过一个系统还有系统的级联就是用卷积来表示的——就像1+1+1可以用1\*3表示一样，这里面乘法没有什么意义可言

**bluebolt 发表于 2008-1-19 20:06**

根据定义而言卷积和相关根本就不是一个东西，硬要说联系，也就一个信号——比如说x\[k\]的自相关可以写成x\[k\]与x\[-k\]的卷积。

我对卷积的理解没有楼上各位那么深，我觉得单吧卷积隔离开来看什么都不是，卷积无非两个作 ...

同意楼上的观点 卷积与相关不一样

若要说相同那只是在数学表达形式上类似

从物理意义上说

卷积主要用于求输入信号经过系统后的响应 得出的结果仍然是时域上的函数

相关则是求两个信号的相似程度 得出的结果可用一个归一化的参数表示

**obnewux 发表于 2008-1-27 11:29**

个人也认为卷积和相关是不同的。刚做了一个项目涉及到相关。假设将信号x(n)和y(n)相关，那么为了利用FFT变换，可以这样实现。

将x(n)倒序，即将x(1),x(2),……,x(n)变为X=\[x(n),x(n-1),……,x(1)\]，将其作FFT为XF。对信号y(n)直接作FFT变为YF。那么相关值就等于z=ifft(XF\*YF)。

因此，只有将其中一个信号反序，再与另一个信号卷积，才可以等效于相关。

**obnewux 发表于 2008-1-27 11:36**

另外，我还想问个问题：

在我们作项目的时候对于卷积处理都是如下进行的，不知道对不对。

假设输入x(i)，滤波器系数为h(i)，长度分别为m和n。x(i)通过滤波器相当于卷积，那么输出y(i)的长度应该为m+n-1。而我们在仿真中为了保证输入输出长度一致，我们取了y(i)的中间部分作为输出，即i=\[1:n/2\]以及i=\[m+n-1-n/2:m+n-1\]这部分的数据就不要了。中间部分长度刚刚是m。

不知道这样处理对不对

请大家指教。

**hjihxb 发表于 2008-2-10 17:09**

卷积与相关类似在数学上表现为乘积和，但卷积需要反摺，而相关不需要，

因此相同的两个数列卷积与相关是不同的。

**asdf229955 发表于 2008-3-25 17:47**

卷积是分析数学中一种重要的运算。设: <math> f(x)</math>,<math>g(x)</math>是R1上的两个可积函数，作积分：

可以证明，关于几乎所有的x∈(－∞，∞) ，上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为f与g的卷积，记为h（x）＝（f \*g）（x）。容易验证，（f \*g）（x）＝（g \*f）（x），并且（f \*g）（x）仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）1空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。

卷积与傅里叶变换有着密切的关系。利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。

由卷积得到的函数（f \*g）（x），一般要比f，g都光滑。特别当g为具有紧支集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积（f \*g）（x）也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数 ， 都可以简单地构造出一列逼近于f 的光滑函数列fs（x），这种方法称为函数的光滑化或正则化。

卷积的概念还可以推广到数列 、测度以及广义函数上去。

定义

函数f 与g 的卷积记作<math>f \\star g</math>，它是其中一个函数翻转并平移后与另一个函数的乘积对于平移量的积分。

积分区间取决于f 与g 的定义域。

对于定义在离散域的函数，卷积定义为

\[编辑\]多元函数卷积

按照翻转、平移、积分的定义，还可以类似的定义多元函数上的积分：

<math>(f \\star g )(t\_1,t\_2,\\cdots,t\_n) = \\int\\int\\cdots\\int f(\\tau\_1,\\tau\_2,\\cdots,\\tau\_n) g(t\_1 - \\tau\_1,t\_2 - \\tau\_2,\\cdots,t\_n - \\tau\_n,)\\, d\\tau\_1 d\\tau\_2 \\cdots d\\tau\_n</math>

性质

各种卷积算子都满足下列性质

交换律

结合律

分配律

数乘结合律

其中<math>a</math>为任意实数（或复数）。

微分定理

<math>\\mathcal\{D\}(f \\star g) = \\mathcal\{D\}f \\star g = f \\star \\mathcal\{D\}g \\,</math>

其中Df 表示f的微分，如果在离散域中则是指差分算子，包括前向差分与后向差分两种：

前向差分：<math>\\mathcal\{D\}^+f(n) = f(n+1) - f(n)</math>

后向差分：<math>\\mathcal\{D\}^-f(n) = f(n) - f(n-1)</math>

卷积定理

卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。

<math> \\mathcal\{F\}(f \\star g) = \\mathcal\{F\} (f) \\cdot \\mathcal\{F\} (g) </math>

其中<math>\\mathcal\{F\}(f)</math>表示f 的傅里叶变换。

这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换（参见Mellin inversion theorem）等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。

利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为<math>n</math>的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做<math>2n-1</math>组对位乘法，其计算复杂度为<math>\\mathcal\{O\}(n^2)</math>；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为<math>\\mathcal\{O\}(n\\log n)</math>。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。

在群上的卷积

若G 是有某m测度的群（例如Hausdorff空间上Harr测度下局部紧致的拓扑群），对于G 上m-Lebesgue可积的实数或复数函数f 和g，可定义它们的卷积：

对于这些群上定义的卷积同样可以给出诸如卷积定理等性质，但是这需要对这些群的表示理论（group representation）以及调和分析的Peter-Weyl定理。

应用

卷积在工程和数学上都有很多应用：

统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。

概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度是X和Y的概率密度的卷积。

声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。

电子工程与信号处理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲击响应）做卷积获得。

物理学中，任何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。

buzhiyao 发表于 2008-3-27 10:41

卷积可以看作是加权的过程，从这个意义讲就是信号处理中的滤波器，

也可以视为求两个相卷的函数的相似程度的过程，比如数学中的求内积

zbbzyp 发表于 2008-3-27 21:02

另外，我还想问个问题：

在我们作项目的时候对于卷积处理都是如下进行的，不知道对不对。

不知道这样处理对不对

请大家指教。

这样作可能会出问题的。

在数字信号处理中，一个有限长度为m的信号，通过一个长度为n的系统（单位冲激响应）；

那么输出也应该取m点。

虽然用卷积运算会得到m＋n－1点输出数据，但是需要根据滤波器的延时进行输出信号的截取。

比如滤波器的延时为l，那么应该从第l点开始截取输出信号。

zbbzyp 发表于 2008-3-27 21:09

从连续信号处理来考虑；

卷积是通过简单的脉冲信号的系统响应，来得到复杂信号的系统响应；

连续信号可以看作是无穷多脉冲信号的叠加；

每个脉冲信号的系统响应是已知的，其幅度为脉冲的强度；

这样根据线型系统的可加性，就得到了卷积公式。

卷积运算是线型系统分析的基础；

另外，时域卷积对应于频域相乘，这简化了运算。

没用的阿吉 发表于 2008-5-30 11:01

首先，注意卷积运算的前提，它必须针对线性系统。只有在满足这个前提的条件下，才能将输入信号进行分解，将输出进行叠加。

其次，同意xiaomifeng134 的说法，这个也是采用卷积运算的目的所在，是为了求解在任意激励下通过线性系统的零状态相应。至于积分的意义就不用多说了，无非就是面积而已。

最后，想说说卷积和相关。个人认为两者并无联系，纯粹形似而已。就算勉强可以理解为相关性，那也是一个函数与另一个函数的翻转函数之间的相关性。

一家之言，望大家批评指正。

farmingyard 发表于 2008-5-30 13:59

卷积运算只适用于LTI（线性时不变）系统，这是总的前提！

在LTI系统中，任何信号都能进行分解，这是最关键的！信号分解是LTI系统分析中最基本的手段，有广泛地应用！

但是从系统响应的求解角度来看，将任意信号分解为冲击函数或冲击序列的线性组合是最为有利的！

将信号分解为冲击函数（冲击序列）的线性组合之后，由于LTI系统满足比例性和叠加性，所以，信号经过该系统之后的响应也可以用函数的线性组合，只不过此时不再是冲击了，而是冲击响应！对于连续信号，该组合为积分形式，即卷积积分；对于离散系统，该组合为求和形式，即卷积和！

由于刚刚学过该课程，所以说说，和大家交流一下！请指正！

**SevenGirl 发表于 2008-6-4 22:27**

感觉卷积，在信号中就主要是时域、频域转换。利用卷积提取前后序列中蕴含的关系。卷积在其他领域也有很多运用，例如在编码中，有卷积码，就是运用原码中前后序列的码字确定当前编码输出，Turbo码就可以认为是一种卷积码。

**farui 发表于 2008-6-15 00:33**

卷积与相关类似在数学上表现为乘积和，但卷积需要反摺，而相关不需要，

因此相同的两个数列卷积与相关是不同的。 \[/quote\]

没错，卷积与相关在数学上的不同，也决定了他们的物理意义是不同的

卷积可以表示一个信号通过一个线性时不变系统，而相关是用来反映两个信号的相似程度。

这是我的理解。

**handchief581 发表于 2008-6-15 18:05**

说到卷积，其意义的前提建立这两个条件之下：一是任意的数字信号都可以表示成单位脉冲之线性组合，二是该系统也是线性的。

如果说的比较通俗一点的意思就是说，如果我给一个系统一个脉冲激励，系统会给你一个相对应的响应；如果是一个由脉冲的线性组合给系统激励，那么该激励的响应就是线性组合的因子与脉冲响应的卷积。

不知道我得认识有没有错误，可能说的不是非常的严谨，可以这样去理解。

**frdcmimo 发表于 2008-6-24 20:06**

楼上说的不错。实际上当一组信号通过一个器件，或者说传递函数时，它的输出是什么呢。无疑用冲击响应可以很好的描述这一过程。而当这些响应应该是线性可加的，这一过程就被描述为卷积。它绝不仅在信号处理中出现，在自动控制也是最常见的问题。当然也有很多非线性器件，比如限幅器，比如回滞器等。

卷积就不够描述了。

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