codeforces #8D Two Friends (二分答案+计算几何)

╰半夏微凉° 2022-06-17 08:51 179阅读 0赞

#### 题目链接; ####

#### [点击打开题目链接][Link 1] ####

#### 题意： ####

#### 有两个人Alan和Bob，他们现在都在A点，现在Bob想去B点，Alan想先到C点再去B点。 ####

#### 要求Alan走过的长度不能超过最短路长度\+t1，Bob走过的长度不能超过最短路长度\+t2，求两人在一起最多走多久(分开后再汇合不算一起走)? ####

#### 题解： ####

#### 设Alan最多走L1，Bob最多走L2，注意还要加上t1和t2这两个差值。 ####

#### 首先如果Bob能陪伴Alan全程(即L2≥Distance(A,C)\+Distance(C,B))，那么答案显然为min(L1,L2) 。此时他们一定是在Alan到达C之前分开的 ####

#### 否则两人分离时Bob一定还没有经过C点 ,这时显然不比一起回家更优。 ####

#### 容易发现答案是单调的，我们不妨二分答案x，即Alan 和Bob走距离为x的相同路线后分开。 ####

#### 不妨设分离点为P，当前二分到mid，那么： ####

#### Distance(P,A)≤mid ####

Distance(P,B)≤L2−mid

#### Distance(P,C)≤L1−Distance(B,C)−mid ####

#### 即： ####

#### 设分离点为P，那么点P必须满足一下三个条件： ####

#### P必须在以A为圆心半径为x的圆内，因为他们走的公共距离为x ####

#### P必须在以B为圆心半径为L2−x的圆内，为了让Bob在分开之后能及时返回B点 ####

#### P必选在以C为圆心半径为L1−x−BC的圆内，因为Alan在到达C之后还要径直走回B点。 ####

#### 所以如果三个圆相交，那么一定存在这样的点P。 ####

#### 所以容易发现每个不等式中P的范围都是一个圆 。 ####

#### 因此我们只需要判断三个圆是否有公共部分即可 。 ####

#### 判断三个圆是否相交： ####

#### 三个圆两两相交是必要条件但不是充分条件。 ####

#### 因为可能会有这种情况： ####

![这里写图片描述][SouthEast]

#### 在两两相交的前提下，如果有一个小圆内含在一个大圆内的话，那么这三个圆也是相交的。 ####

#### 否则，如果三个圆有公共部分，两两圆必然有1∼2个交点。 ####

#### 如图： ####

![这里写图片描述][SouthEast 1]

#### 考虑这三个圆的相交区域，它必然是由若干个圆弧组成的。 ####

#### 所以这块区域的关键点也一定是某两个圆的交点，枚举两两圆的共三组交点，**如果有一个交点满足都在三个圆的圆内或圆上**，**那么这三个圆就是相交的**。 ####

我的是二分了200次。  
AC代码：

//#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
    //#include <bits/stdc++.h>
    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <algorithm>
    #include <iostream>
    #include <cstring>
    #include <vector>
    #include <map>
    #include <cmath>
    #include <queue>
    #include <set>
    #include <bitset>
    #include <iomanip>
    #include <list>
    #include <complex>
    #include <stack>
    #include <utility> 
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    typedef unsigned long long ull;
    typedef pair<int,int> pii;
    typedef vector<int> vi;
    const double eps = 1e-8;  
    const int INF = 1e9+7; 
    const ll inf =(1LL<<62) ;
    const int MOD = 1e9 + 7;  
    const ll mod = (1LL<<32);
    const int N =1e6+6; 
    const int M=100010;
    const int maxn=1001;
    #define mst(a) memset(a, 0, sizeof(a))
    #define M_P(x,y) make_pair(x,y)
    #define pi acos(-1.0)
    #define in freopen("in.txt","r",stdin) 
    #define rep(i,j,k) for (int i = j; i <= k; i++)  
    #define per(i,j,k) for (int i = j; i >= k; i--)  
    #define lson x << 1, l, mid  
    #define rson x << 1 | 1, mid + 1, r  
    const int lowbit(int x) { return x&-x; }
    int read(){ int v = 0, f = 1;char c =getchar();
    while( c < 48 || 57 < c ){
       if(c=='-') f = -1;c = getchar();}
    while(48 <= c && c <= 57) v = v*10+c-48, c = getchar();
    return v*f;}
    #define point complex<double>
    double t1, t2;
    point cinema, shop, house;
    
    void readpoint(point &p)
    {
      double x, y;
      scanf("%lf %lf", &x, &y);
      p = point(x, y);
    }
    
    bool inter(point a, double r_a, point b, double r_b, point c, double r_c) //以c为主圆求a b焦点判相交
    { 
      if (abs(c - a) <= r_a && abs(c - b) <= r_b) return true;
      b -= a; 
      c -= a; //以a为原点 
      point r = point(b.real() / abs(b), b.imag() / abs(b)); //将x轴正方向置为b
      b /= r; 
      c /= r;
      double d = (r_a * r_a - r_b * r_b + abs(b) * abs(b)) / (2 * abs(b));
      double h = sqrt(max(r_a * r_a - d * d, 0.0));
      if (abs(h * h + (d - abs(b)) * (d - abs(b))) - r_b * r_b > eps) return false;
      if (abs(point(d, h) - c) <= r_c || abs(point(d, -h) - c) <= r_c) return true;
      return false;
    }
    
    bool check(point a, double r_a, point b, double r_b, point c, double r_c) //判断三圆是否相交 
    { 
      if (r_a <= eps || r_b <= eps || r_c <= eps) return false; //有空集 
      r_a = max(r_a, 0.0); 
      r_b = max(r_b, 0.0); 
      r_c = max(r_c, 0.0);
      if (inter(a, r_a, c, r_c, b, r_b)) return true;
      if (inter(b, r_b, a, r_a, c, r_c)) return true;
      if (inter(c, r_c, b, r_b, a, r_a)) return true;
      return false;
    }
    
    int main()
    {
      scanf("%lf %lf", &t1, &t2);
      readpoint(cinema); //cinema
      readpoint(house); //house
      readpoint(shop); //shop
    
      if (abs(shop - cinema) + abs(house - shop) <= abs(cinema - house) + t2)//Alan <= Bob + t2
      {
        printf("%lf\n", min( abs(cinema - house) + t2, abs(shop - cinema) + abs(house - shop) + t1));   
      } 
      else
      {
        double l, r, mid;
        l = 0; 
        r = min( abs(cinema - house) + t2, abs(shop - cinema) + abs(house - shop) + t1);
    
        for(int i=1;i<=200;i++)
        { 
          mid = (r + l) / 2;
          if (check(cinema, mid, shop, abs(shop - cinema) + t1 - mid, house, abs(house - cinema) + t2 - mid)){
            l = mid;
          } 
          else {
            r = mid;
          }
        }
        printf("%.4lf\n", l);
      }
      return 0;
    }

[Link 1]: http://codeforces.com/contest/8/problem/D
[SouthEast]: /images/20220617/f223d025a7bd4a46a73a162680bd55a2.png
[SouthEast 1]: /images/20220617/8a0389536ab8444c92d6495ee1f9f94c.png