I have a date with Algorthim - 分治之二分搜索

小灰灰 2022-06-17 08:46 126阅读 0赞

![BinarySearch][]

# I have a date with Algorthim #

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*  **定义:**  
    
    
     *  在计算机科学中, 二分搜索(binary search), 也称折半搜索(half-interval search)、对数搜索(logarithmic search), 是一种在**有序数组**中查找某一特定元素的搜索算法.
     *  搜索过程从数组的**中间元素**开始, 如果中间元素正好是要查找的元素, 则搜索过程结束;
     *  如果某一特定元素大于或者小于中间元素, 则在数组大于或小于中间元素的那一半中查找,而且跟开始一样从中间元素开始比较.
     *  如果在某一步骤**数组为空**, 则代表找不到.(也就代表遍历完整个数组也没有找到这个元素).
     *  这种搜索算法**每一次**比较都使**搜索范围缩小一半**.

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![BinarySearch][BinarySearch 1]

*  **解析步骤:**  
    
    
     *  给予一个包含n个带值元素的数组A或是记录`A0 ... An−1`, 使得`A0 ≤ ... ≤ An−1`(有序数组), 以及目标值`T`，还有下列用来搜索T在A中位置的子程序.  
        
        
         *  a. 令`L`为0, `R`为n− 1.
         *  b. 如果`L > R`, 则搜索以失败告终.
         *  c. 令`m`(中间值元素)为`(L + R) / 2`加上下**高斯符号**.
         *  d. 如果`Am < T`, 令L为m + 1并回到步骤二.
         *  e. 如果`Am > T`, 令R为m - 1并回到步骤二.
         *  f. 当`Am = T`, 搜索结束: 回传值m.
     *  这个迭代步骤会持续通过两个变量追踪搜索的边界.
     *  有些实际应用会在算法的最后放入相等比较, 让比较循环更快, 但平均而言会多一层迭代.
     *  这时候需要联想分治的思想, 分解的`子问题`之间`相互独立`且与`原问题的形式相同`.
     *  最重要的就是`子问题的合并`可以得到原问题的解.

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*  **大致匹配:**  
    
    
     *  以上程序只适用于完全匹配, 也就是查找一个目标值的位置.
     *  不过,因为有序数组的顺序性,将二分搜索算法扩展到能适用大致匹配并不是很重要.
     *  举例来说, 二分搜索算法可以用来计算一个赋值的排名(或称秩, 比它更小的元素的数量)、前趋(下一个最小元素)、后继(下一个最大元素)以及最近邻.
     *  搜索两个值之间的元素数目的范围查询可以借由两个排名查询(又称秩查询)来运行.
     *  排名查询可以使用调整版的二分搜索来运行.
     *  借由在成功的搜索回传`m`, 以及在失败的搜索回传`L`, 就会取而代之地回传了比起目标值小的元素数目.
     *  `前趋`和`后继`查询可以借由排名查询来运行.
     *  一旦知道目标值的排名, 其前趋就会是那个位于其排名位置的元素(因为它是小于目标值的最大元素).
     *  其后继是(数组中的)下一个元素, 或是（非数组中的）前趋的下一个元素.
     *  目标值的最近邻可能是前趋或后继, 取决于何者较为接近.
     *  范围查询也是直接了当的.
     *  一旦知道两个值的排名, `不小于第一个值且小于第二个值的元素`数量就会是两者排名的差.
     *  这个值可以根据范围的端点是否算在范围内, 或是数组是否包含其端点的对应键来增加或减少1.

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*  **复杂度分析:**  
    
    
     *  时间复杂度  
        
        
         *  折半搜索每次把搜索区域减少一半, 时间复杂度为 O(log n).(n代表集合中元素的个数)
     *  空间复杂度  
        
        
         *  O(1).
         *  虽以递归形式定义, 但是尾递归, 可改写为循环.

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*  **示例代码:**

// 递归版本
        int binary_search(const int arr[], int start, int end, int khey) {
            if (start > end) // 上面的L > R
                return -1;
            int mid = start + (end - start) / 2; //直接平均可能會溢位，所以用此算法
            if (arr[mid] > khey)
                return binary_search(arr, start, mid - 1, khey);
            if (arr[mid] < khey)
                return binary_search(arr, mid + 1, end, khey);
            return mid; //最後檢測相等是因為多數搜尋狀況不是大於要不就小於
        }

// while循环
        int binary_search(const int arr[], int start, int end, int khey) {
            int mid;
            while (start <= end) {
                mid = start + (end - start) / 2; //直接平均可能會溢位，所以用此算法
                if (arr[mid] < khey)
                    start = mid + 1;
                else if (arr[mid] > khey)
                    end = mid - 1;
                else
                    return mid; //最後檢測相等是因為多數搜尋狀況不是大於要不就小於
            }
            return -1;
        }

//javascript版本
        Array.prototype.binary_search = function(low, high, khey) { 
            if (low > high)
                return -1;
            var mid = parseInt((high + low) / 2);
            if (this[mid] > khey)
                return this.binary_search(low, mid - 1, khey);
            if (this[mid] < khey)
                return this.binary_search(mid + 1, high, khey);
            return mid;
        };

# python版本
        def binary_search(arr,start,end,hkey):
            if start > end:
                return -1
            mid = start + (end - start) / 2
            if arr[mid] > hkey:
                return binary_search(arr, start, mid - 1, hkey)
            if arr[mid] < hkey:
                return binary_search(arr, mid + 1, end, hkey)
            return mid

//c#版本
            static int binary_search(int[] arr, int start, int end, int khey)
            {
                int mid;
                while (start <= end)
                {
                    mid = (start + end) / 2;
                    if (arr[mid] < khey)
                        start = mid + 1;
                    else if (arr[mid] > khey)
                        end = mid - 1;
                    else
                        return mid; 
                }
                return -1;
            }

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