海塞矩阵的定义

﹏ヽ暗。殇╰゛Y 2022-06-15 06:13 665阅读 0赞

在[数学][Link 1]中，**海塞矩阵**（Hessian matrix 或 Hessian）是一个自变量为向量的实值函数的二阶[偏导数][Link 2]组成的[方块矩阵][Link 3]，此函数如下：

![f(x\_1, x\_2, \\dots, x\_n),][f_x_1_ x_2_ _dots_ x_n]

如果 *f* 所有的二阶导数都存在，那么 *f* 的海塞矩阵即：

海赛矩阵就是指这样的一个矩阵，它的第i行第j列的那个元素，是f对第i个参数和第j个参数的交叉偏导

*H*(*f*)*ij*(*x*) = *D**i**D**j**f*(*x*)

其中 ![x = (x\_1, x\_2, \\dots, x\_n)][x _ _x_1_ x_2_ _dots_ x_n] ，即

![H(f) = \\begin\{bmatrix\} \\frac\{\\partial^2 f\}\{\\partial x\_1^2\} & \\frac\{\\partial^2 f\}\{\\partial x\_1\\,\\partial x\_2\} & \\cdots & \\frac\{\\partial^2 f\}\{\\partial x\_1\\,\\partial x\_n\} \\\\ \\ \\frac\{\\partial^2 f\}\{\\partial x\_2\\,\\partial x\_1\} & \\frac\{\\partial^2 f\}\{\\partial x\_2^2\} & \\cdots & \\frac\{\\partial^2 f\}\{\\partial x\_2\\,\\partial x\_n\} \\\\ \\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ \\ \\frac\{\\partial^2 f\}\{\\partial x\_n\\,\\partial x\_1\} & \\frac\{\\partial^2 f\}\{\\partial x\_n\\,\\partial x\_2\} & \\cdots & \\frac\{\\partial^2 f\}\{\\partial x\_n^2\} \\end\{bmatrix\}][H_f_ _ _begin_bmatrix_ _frac_partial_2 f_partial x_1_2_ _ _frac_partial_2 f_partial x_1_partial x_2_ _ _cdots _ _frac_partial_2 f_partial x_1_partial x_n_ _ _ _frac_partial_2 f_partial x_2_partial x_1_ _ _frac_partial_2 f_partial x_2_2_ _ _cdots _ _frac_partial_2 f_partial x_2_partial x_n_ _ _ _vdots _ _vdots _ _ddots _ _vdots _ _ _frac_partial_2 f_partial x_n_partial x_1_ _ _frac_partial_2 f_partial x_n_partial x_2_ _ _cdots _ _frac_partial_2 f_partial x_n_2_ _end_bmatrix]

二阶偏导数矩阵也就所谓的海赛矩阵(Hessian matrix)  
一元函数就是二阶导，多元函数就是二阶偏导组成的矩阵  
求向量函数最小值时用的，矩阵正定是最小值存在的充分条件。  
经济学中常常遇到求最优的问题，目标函数是多元非线性函数的极值问题尚无一般的求解方法，但判定局部极小值的方法是有的，就是用海赛矩阵，是变量向量二阶偏导数构成的矩阵，矩阵正定是局部极小点的充分条件。

[Link 1]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6
[Link 2]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%81%8F%E5%AF%BC%E6%95%B0
[Link 3]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%96%B9%E5%9D%97%E7%9F%A9%E9%98%B5
[f_x_1_ x_2_ _dots_ x_n]: /images/20220615/80915422cc4a493d95fd5f9ef9ebd2fd.png
[x _ _x_1_ x_2_ _dots_ x_n]: /images/20220615/3c5612c331eb48ca878bd250c25badca.png
[H_f_ _ _begin_bmatrix_ _frac_partial_2 f_partial x_1_2_ _ _frac_partial_2 f_partial x_1_partial x_2_ _ _cdots _ _frac_partial_2 f_partial x_1_partial x_n_ _ _ _frac_partial_2 f_partial x_2_partial x_1_ _ _frac_partial_2 f_partial x_2_2_ _ _cdots _ _frac_partial_2 f_partial x_2_partial x_n_ _ _ _vdots _ _vdots _ _ddots _ _vdots _ _ _frac_partial_2 f_partial x_n_partial x_1_ _ _frac_partial_2 f_partial x_n_partial x_2_ _ _cdots _ _frac_partial_2 f_partial x_n_2_ _end_bmatrix]: /images/20220615/4082ea3a52bb4ff2975a20889347dd0a.png