并查集

港控/mmm° 2022-06-13 14:13 300阅读 0赞

这个文章是几年前水acm的时候转的, 当时也不知道作者是谁, 要是有人知道的话说一下吧

并查集是我暑假从高手那里学到的一招，觉得真是太精妙的设计了。以前我无法解决的一类问题竟然可以用如此简单高效的方法搞定。不分享出来真是对不起party了。（party：我靠，关我嘛事啊？我跟你很熟么？）

来看一个实例，[杭电1232畅通工程][1232]

首先在地图上给你若干个城镇，这些城镇都可以看作点，然后告诉你哪些对城镇之间是有道路直接相连的。最后要解决的是整幅图的连通性问题。比如随意给你两个点，让你判断它们是否连通，或者问你整幅图一共有几个连通分支，也就是被分成了几个互相独立的块。像畅通工程这题，问还需要修几条路，实质就是求有几个连通分支。如果是1个连通分支，说明整幅图上的点都连起来了，不用再修路了；如果是2个连通分支，则只要再修1条路，从两个分支中各选一个点，把它们连起来，那么所有的点都是连起来的了；如果是3个连通分支，则只要再修两条路……

以下面这组数据输入数据来说明

4 2

1 3

4 3

第一行告诉你，一共有4个点，2条路。下面两行告诉你，1、3之间有条路，4、3之间有条路。那么整幅图就被分成了1-3-4和2两部分。只要再加一条路，把2和其他任意一个点连起来，畅通工程就实现了，那么这个这组数据的输出结果就是1。好了，现在编程实现这个功能吧，城镇有几百个，路有不知道多少条，而且可能有回路。 这可如何是好？

我以前也不会呀，自从用了并查集之后，嗨，效果还真好！我们全家都用它！

**并查集由一个整数型的数组和两个函数构成。**

**数组pre\[\]记录了每个点的前导点是什么（或者是父节点），**

**函数find是查找**

**函数join是合并**

int pre[1000 ];
    
    int find(int x)     //查找根节点
    { 
        int r=x;
    
        while ( pre[r ] != r )  //返回根节点 r
          r=pre[r ];
     
    
        int i=x , j ;
        while( i != r )      //路径压缩
        {
    
             j = pre[ i ]; // 在改变上级之前用临时变量  j 记录下他的值 
             pre[ i ]= r ; //把上级改为根节点
             i=j;
        }
    
        return r ;
    }
    
    
    void join(int x,int y)  //判断x y是否连通,如果已经连通，就不用管了;如果不连通，就把它们所在的连通分支合并起,
    {
        int fx=find(x),fy=find(y);
        if(fx!=fy)
            pre[fx ]=fy;
    }

为了解释并查集的原理，我将举一个更有爱的例子。 话说江湖上散落着各式各样的大侠，有上千个之多。他们没有什么正当职业，整天背着剑在外面走来走去，碰到和自己不是一路人的，就免不了要打一架。但大侠们有一个优点就是讲义气，绝对不打自己的朋友。而且他们信奉“朋友的朋友就是我的朋友”，只要是能通过朋友关系串联起来的，不管拐了多少个弯，都认为是自己人。这样一来，江湖上就形成了一个一个的群落，通过两两之间的朋友关系串联起来。而不在同一个群落的人，无论如何都无法通过朋友关系连起来，于是就可以放心往死了打。但是两个原本互不相识的人，如何判断是否属于一个朋友圈呢？

我们可以在每个朋友圈内推举出一个比较有名望的人，作为该圈子的代表人物，这样，每个圈子就可以这样命名“齐达内朋友之队”“罗纳尔多朋友之队”……两人只要互相对一下自己的队长是不是同一个人，就可以确定敌友关系了。

但是还有问题啊，大侠们只知道自己直接的朋友是谁，很多人压根就不认识队长，要判断自己的队长是谁，只能漫无目的的通过朋友的朋友关系问下去：“你是不是队长？你是不是队长？”这样一来，队长面子上挂不住了，而且效率太低，还有可能陷入无限循环中。于是队长下令，重新组队。队内所有人实行分等级制度，形成树状结构，我队长就是根节点，下面分别是二级队员、三级队员。每个人只要记住自己的上级是谁就行了。遇到判断敌友的时候，只要一层层向上问，直到最高层，就可以在短时间内确定队长是谁了。由于我们关心的只是两个人之间是否连通，至于他们是如何连通的，以及每个圈子内部的结构是怎样的，甚至队长是谁，并不重要。所以我们可以放任队长随意重新组队，只要不搞错敌友关系就好了。于是，门派产生了

![Center][]

下面我们来看并查集的实现。

int pre\[1000\]; 这个数组，记录了每个大侠的上级是谁。大侠们从1或者0开始编号（依据题意而定），pre\[15\]=3就表示15号大侠的上级是3号大侠。如果一个人的上级就是他自己，那说明他就是掌门人了，查找到此为止。也有孤家寡人自成一派的，比如欧阳锋，那么他的上级就是他自己。每个人都只认自己的上级。比如胡青牛同学只知道自己的上级是杨左使。张无忌是谁？不认识！要想知道自己的掌门是谁，只能一级级查上去。 find这个函数就是找掌门用的，意义再清楚不过了（路径压缩算法先不论，后面再说）。

int find(int x)           //查找我（x）的掌门
    {
        int r=x;              //委托 r 去找掌门
    
        while (pre[r ]!=r)    //如果r的上级不是r自己（也就是说找到的大侠他不是掌门 = =）
          r=pre[r ] ;         // r 就接着找他的上级，直到找到掌门为止。
    
        return  r ;          //掌门驾到~~~
    }

再来看看**路径压缩算法**。

建立门派的过程是用join函数两个人两个人地连接起来的，谁当谁的手下完全随机。最后的树状结构会变成什么胎唇样，我也完全无法预计，一字长蛇阵也有可能。这样查找的效率就会比较低下。最理想的情况就是所有人的直接上级都是掌门，一共就两级结构，只要找一次就找到掌门了。哪怕不能完全做到，也最好尽量接近。这样就产生了路径压缩算法。 设想这样一个场景：两个互不相识的大侠碰面了，想知道能不能揍。 于是赶紧打电话问自己的上级：“你是不是掌门？” 上级说：“我不是呀，我的上级是谁谁谁，你问问他看看。” 一路问下去，原来两人的最终boss都是东厂曹公公。 “哎呀呀，原来是记己人，西礼西礼，在下三营六组白面葫芦娃!” “幸会幸会，在下九营十八组仙子狗尾巴花！” 两人高高兴兴地手拉手喝酒去了。 “等等等等，两位同学请留步，还有事情没完成呢！”我叫住他俩。 “哦，对了，还要做路径压缩。”两人醒悟。 白面葫芦娃打电话给他的上级六组长：“组长啊，我查过了，其习偶们的掌门是曹公公。不如偶们一起及接拜在曹公公手下吧，省得级别太低，以后查找掌门麻环。” “唔，有道理。” 白面葫芦娃接着打电话给刚才拜访过的三营长……仙子狗尾巴花也做了同样的事情。 这样，查询中所有涉及到的人物都聚集在曹公公的直接领导下。每次查询都做了优化处理，所以整个门派树的层数都会维持在比较低的水平上。路径压缩的代码，看得懂很好，看不懂也没关系，直接抄上用就行了。总之它所实现的功能就是这么个意思。

![Center 1][]

#include<iostream>  
    using namespace std;  
      
    int  pre[1050];  
    bool t[1050];               //t 用于标记独立块的根结点  
      
    int Find(int x)  
    {  
        int r=x;  
        while(r!=pre[r])  
            r=pre[r];  
          
        int i=x,j;  
        while(pre[i]!=r)  
        {  
            j=pre[i];  
            pre[i]=r;  
            i=j;  
        }  
        return r;  
    }  
      
    void mix(int x,int y)  
    {  
        int fx=Find(x),fy=Find(y);  
        if(fx!=fy)  
        {  
            pre[fy]=fx;  
        }  
    }   
      
    int main()  
    {  
        int N,M,a,b,i,j,ans;  
        while(scanf("%d%d",&N,&M)&&N)  
        {  
            for(i=1;i<=N;i++)          //初始化   
                pre[i]=i;  
              
            for(i=1;i<=M;i++)          //吸收并整理数据   
            {  
                scanf("%d%d",&a,&b);  
                mix(a,b);  
            }  
              
              
            memset(t,0,sizeof(t));  
            for(i=1;i<=N;i++)          //标记根结点  
            {  
                t[Find(i)]=1;  
            }  
            for(ans=0,i=1;i<=N;i++)  
                if(t[i])  
                    ans++;  
                      
            printf("%d\n",ans-1);  
              
        }  
        return 0;  
    }

以下为原文附的代码:

回答开头提到的问题，代码如下：

#include<stdio.h> 
    int pre[1000 ];
    
    int find(int x)
    {
      int r=x;
    
       while (pre[r]!=r)
          r=pre[r];
    
       int i=x; int j;
       while(i!=r)
       {
           j=pre[i];
           pre[i]=r;
           i=j;
       }
    
       return r;
    }
    
    int main()
    {
       int n,m,p1,p2,i,total,f1,f2;
    
       while(scanf("%d",&n) && n)         //读入n，如果n为0，结束
       {                                  //刚开始的时候，有n个城镇，一条路都没有 //那么要修n-1条路才能把它们连起来
    
           total=n-1;
    
           //每个点互相独立，自成一个集合，从1编号到n ,所以每个点的上级都是自己
           for(i=1;i<=n;i++) 
           { 
               pre[i ]=i; 
           }                
    
           scanf("%d",&m); //共有m条路
    
           //下面这段代码，其实就是join函数，只是稍作改动以适应题目要求
           while(m--)  
           { 
               //每读入一条路，看它的端点p1，p2是否已经在一个连通分支里了
               scanf("%d %d",&p1,&p2);
    
               f1=find(p1);
               f2=find(p2);
    
               //如果是不连通的，那么把这两个分支连起来
               //分支的总数就减少了1，还需建的路也就减了1
    
               if(f1!=f2)
               {
                   pre[f2 ]=f1;
                   total--;
               }
    
               //如果两点已经连通了，那么这条路只是在图上增加了一个环 //对连通性没有任何影响，无视掉
           }
          //最后输出还要修的路条数
           printf("%d\n",total);
       }
       return 0;
    }

[1232]: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1232
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