hdu--6047--Maximum Sequence

谁借莪１个温暖的怀抱￠ 2022-06-11 02:24 105阅读 0赞

# Maximum Sequence #

**Time Limit: 4000/2000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)  
Total Submission(s): 1887    Accepted Submission(s): 671**

Problem Description

Steph is extremely obsessed with “sequence problems” that are usually seen on magazines: Given the sequence 11, 23, 30, 35, what is the next number? Steph always finds them too easy for such a genius like himself until one day Klay comes up with a problem and ask him about it. 
 
Given two integer sequences \{ai\} and \{bi\} with the same length n, you are to find the next n numbers of \{ai\}:  an\+1…a2n. Just like always, there are some restrictions on  an\+1…a2n: for each number  ai, you must choose a number  bk from \{bi\}, and it must satisfy  ai≤max\{ aj\-j│ bk≤j<i\}, and any  bk can’t be chosen more than once. Apparently, there are a great many possibilities, so you are required to find max\{ ∑2nn\+1ai\} modulo  109\+7 . 
 
Now Steph finds it too hard to solve the problem, please help him.

Input

The input contains no more than 20 test cases.  
For each test case, the first line consists of one integer n. The next line consists of n integers representing \{ai\}. And the third line consists of n integers representing \{bi\}.  
1≤n≤250000, n≤a\_i≤1500000, 1≤b\_i≤n.

Output

For each test case, print the answer on one line: max\{  ∑2nn\+1ai\} modulo   109\+7。

Sample Input

4
    8 11 8 5
    3 1 4 2

Sample Output

27
    
       
        Hint For the first sample: 1. Choose 2 from {bi}, then a_2…a_4 are available for a_5, and you can let a_5=a_2-2=9; 2. Choose 1 from {bi}, then a_1…a_5 are available for a_6, and you can let a_6=a_2-2=9;

官方题解：

预处理：a\_i -= i ，易证明从最小的b开始选每次选最大的一定可以使结果最大。 证明思路：如果条件改为a\_i<=max\{a\_j-j|b\_k<=j<=n\}，那么b的顺序与最后的结果无关。条件改回来后，由于每次要计算一个数的最大值时都有a\_(n+1)...a\_(i-1)在范围中，所以每次只需让a\_i - i尽可能大，那么就把大的数尽早用上，每次一定考虑尽量多的数字，这样取得的数字就尽可能的大。 所以说每次就是求区间最值，加在答案上。由于贪心的思路，每次要求的区间的下界是单调不降的，故可以用单调队列优化到O(n)的复杂度。 由于1 ≤ b\_i ≤ n，对b排序可以用哈希排序（桶排序）完成。 进一步观察，可以发现这样贪心时 a\_(n+1)...a\_i 其实是单调不增的，所以并不需要每次求区间最值了，选第一个数时就选最大的，后面的选择顺序与最终结果无关了。

我的思路：

在输入的时候进行a\[i\]=a\[i\]-i;的预处理，输入b数组后，用sort对b数组进行排序，取的时候，从最小的开始取，每生成一个新的a数组元素，就加入到数组a中，下次再用的时候就用更新后的a数组，每次都取最大的。

代码：

C++ Code

<table style="width:100%; font-family:'Consolas','Courier New'; font-size:12px; vertical-align:text-top; line-height:15px"> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td style="color:#008284; background-color:#e3e3e3; vertical-align:text-top"> 
 <div style="margin:7px; text-align:right; white-space:nowrap">
 1 
 2 
 3 
 4 
 5 
 6 
 7 
 8 
 9 
 10 
 11 
 12 
 13 
 14 
 15 
 16 
 17 
 18 
 19 
 20 
 21 
 22 
 23 
 24 
 25 
 26 
 27 
 28 
 29 
 30 
 31 
 32 
 33 
 34 
 35 
 36 
 37 
 38 
 39 
 40 
 41 
 42 
 43 
 44 
 45 
 46 
 47 
 48 
 49 
 50 
 51 
 52 
 53 
 54 
 55 
 56 
 
 </div> </td> 
 <td style="background-color:#008284; padding:1px"> 
 <div style="border:1px #008284 solid"></div> </td> 
 <td style="background-color:rgb(239,239,239); width:100%; vertical-align:text-top"> 
 <div style="margin:7px"> 
 #include&nbsp;&lt;bits/stdc++.h&gt; 
 
 #define&nbsp;MAXN&nbsp; 
 500050 
 
 #define&nbsp;ll&nbsp; 
 long&nbsp; 
 long 
 
 using&nbsp; 
 namespace&nbsp;std; 
 
 
 int&nbsp;MOD=1e9+ 
 7; 
 ll&nbsp;dp[MAXN]; 
 ll&nbsp;a[MAXN]; 
 
 int&nbsp;c,b[MAXN]; 
 
 int&nbsp;main() 
 { 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
 int&nbsp;n; 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
 while(~scanf( 
 "%d",&amp;n)) 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;{ 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;memset(dp, 
 0, 
 sizeof(dp)); 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;a[ 
 0]= 
 0; 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;b[ 
 0]= 
 0; 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
 for( 
 int&nbsp;i= 
 1;&nbsp;i&lt;=n;&nbsp;i++) 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;{ 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
 ///输入a的同时进行预处理 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;scanf( 
 "%d",&amp;c); 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;a[i]=c-i; 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;} 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
 for( 
 int&nbsp;i= 
 1;&nbsp;i&lt;=n;&nbsp;i++) 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;scanf( 
 "%d",&amp;b[i]); 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;sort(b+ 
 1,b+n+ 
 1); 
 ///把b从小到大进行排序 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
 int&nbsp;y=n,k= 
 1,i= 
 0,pos; 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;ll&nbsp;sum= 
 0; 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
 int&nbsp;flag= 
 0; 
 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
 while(y&lt; 
 2*n) 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;{ 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
 if(flag== 
 1&amp;&amp;b[k]&lt;=pos) 
 ///pos表示上一次去得最大值的位置，如果这次的取的范围仍包括这 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;dp[b[k]]=dp[b[k- 
 1]]; 
 ///点，仍取这个值，因为这个值仍为最大的 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
 else 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;{ 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
 for(i=b[k];&nbsp;i&lt;=y;&nbsp;i++) 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;{ 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;flag= 
 1; 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;dp[b[k]]=max(dp[b[k]],a[i]); 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
 if(dp[b[k]]==a[i]) 
 ///记录取得最大值的位置 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;pos=i; 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;} 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;} 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;i=y+ 
 1; 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;a[i]=dp[b[k]]-i;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
 ///把新生成的数加入到数组a中. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;sum=(sum+dp[b[k]])%MOD; 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;k++; 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;y++; 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;} 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;printf( 
 "%lld\n",sum); 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;} 
 } 
 
 </div> </td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>