贾志豪组合游戏论文个人总结（Anti-SG，Every-SG，翻硬币游戏，无向图删边）

曾经终败给现在 2022-06-10 04:00 236阅读 0赞

今天看了一下午贾志豪的《组合游戏略述——浅谈SG游戏的若干拓展及变形》，真的是一篇非常优秀的论文，感觉自己又掌握了很多，给出链接https://wenku.baidu.com/view/25540742a8956bec0975e3a8.html

在这里我只总结一下我不太熟悉的四个点，Anti-SG，Every-SG，翻硬币游戏和无向图删边游戏。

1，Anti-NIM

定义：   1，桌上有N堆石子，游戏者轮流取石子。

2，每次只能从一堆中取出任意数目的石子，但不能不取。

3，取走最后一个石子者败。

结论：   先手必胜当且仅当

1，所有堆的石子数目都为1且游戏的SG值为0。

2，有些堆的石子数目大于1且游戏的SG值不为0。

Anti-SG

定义：    1，Anti-SG游戏规定，决策集合为空的游戏者赢。

2，Anti-SG其他规则与SG游戏相同。

结论：    SJ定理：

对于任意一个Anti-SG游戏，如果我们规定当局面中所有的单一游戏

的SG值为0时，游戏结束，则先手必胜当且仅当：

1，游戏的SG函数不为0且游戏中某个单一游戏的SG函数大于1。

2，游戏的SG函数为0且游戏中没有单一游戏的SG函数大于1。

\*\*\*\*\*\*\*这里的SG值和普通SG游戏的SG值含义相同\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*

2，Every-SG

定义：    1，Every-SG 游戏规定，对于还没有结束的单一游戏，游戏者必须对该游

戏进行一步决策，也就是每轮操作要对所有单一游戏进行操作。

2，Every-SG 游戏的其他规则与普通SG游戏相同。

定理：     对于Every-SG 游戏先手必胜当且仅当单一游戏中最大的step为奇数。

在通过拓扑关系计算某一个状态点的SG函数时，对于SG值为0的点，我们

需要知道最快几步能将游戏带入终止状态，对于SG值不为0的点，我们需

要知道最慢几步游戏会被带入终止状态，我们用step函数来表示这个值。

![Center][]

3，翻硬币游戏

定义：1，N枚硬币排成一排，有的正面朝上，有的反面朝上。我们从左开始对硬币按1                  到N编号。

2，游戏者根据某些约束翻硬币，但他所翻动的硬币中，最右边的必须是从正                        面翻到反面。

3，谁不能翻谁输。

结论：局面的SG值为局面中每个正面朝上的棋子单一存在时的SG值的异或和。

4，树的删边游戏

定义：1，给出一个有N个点的树，有一个点作为树的根节点。

2，游戏者轮流从树中删去边，删去一条边后不与根节点相连的部分被移走。

3，谁无边可删谁输。

结论：叶子节点的SG值为0，中间节点的SG值为它的所有子节点的SG值加1后的异                   或和。

无向图的删边游戏

定义：1，一个无向连通图，有一个点作为图的根。

2，游戏者轮流从图中删去边，删去一条边后不与根节点相连的部分被移走。

3，谁无边可删谁输。

结论：我们可以对无向图做如下改动，将图中任意一个偶环（边数是偶数的环）缩                     成一个新点，任意一个奇环缩成一个新点加一个新边，所有连到原先环上的                     边全部改为与新点相连，这样的改动不会影响到图的SG值。然后无向图就变                   成了一棵树。

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