机器学习基础--贝叶斯分类器

绝地灬酷狼 2022-06-09 07:54 217阅读 0赞

单纯的贝叶斯分类器很简单，基本上就是一个贝叶斯公式，要理解透彻贝叶斯分类器需要搞清楚两个概念

### 似然函数 ###

基本上维基百科讲的很清楚，我这里在重复一下,可以直接去维基百科看  
在数理统计学中，似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数，表示模型参数中的似然性。似然函数在统计推断中有重大作用，如在最大似然估计和费雪信息之中的应用等等。“似然性”与“或然性”或“概率”意思相近，都是指某种事件发生的可能性，但是在统计学中，“似然性”和“或然性”或“概率”又有明确的区分。概率用于在已知一些参数的情况下，预测接下来的观测所得到的结果，而似然性则是用于在已知某些观测所得到的结果时，对有关事物的性质的参数进行估计。

在这种意义上，似然函数可以理解为条件概率的逆反。在已知某个参数B时，事件A会发生的概率写作：

P(A∣B)=P(A,B)P(B)

利用贝叶斯定理，

P(B∣A)=P(A∣B)P(B)P(A)

因此，我们可以反过来构造表示似然性的方法：已知有事件A发生，运用似然函数L(B∣A)，我们估计参数B的可能性。形式上，似然函数也是一种条件概率函数，但我们关注的变量改变了：

b↦P(A∣B=b)

注意到这里并不要求似然函数满足归一性： ∑b∈BP(A∣B=b)=1。一个似然函数乘以一个正的常数之后仍然是似然函数。对所有α>0，都可以有似然函数：

L(b∣A)=αP(A∣B=b)

#### 例子 ####

考虑投掷一枚硬币的实验。通常来说，已知投出的硬币正面朝上和反面朝上的概率各自是 pH=0.5，便可以知道投掷若干次后出现各种结果的可能性。比如说，投两次都是正面朝上的概率是0.25。用条件概率表示，就是：

P(HH∣pH=0.5)=0.52=0.25

其中H表示正面朝上。

在统计学中，我们关心的是在已知一系列投掷的结果时，关于硬币投掷时正面朝上的可能性的信息。  
我们可以建立一个统计模型：假设硬币投出时会有 pH的概率正面朝上，而有1−pH的概率反面朝上。  
这时，条件概率可以改写成似然函数：

L(pH∣HH)=P(HH∣pH=0.5)=0.25

也就是说，对于取定的似然函数，在观测到两次投掷都是正面朝上时， pH=0.5 的似然性是0.25（这并不表示当观测到两次正面朝上时pH=0.5的概率是0.25）。

如果考虑 pH=0.6，那么似然函数的值也会改变。

L(pH∣HH)=P(HH∣pH=0.6)=0.36

三次投掷中头两次正面朝上，第三次反面朝上时的似然函数

注意到似然函数的值变大了。

这说明，如果参数 pH的取值变成0.6的话，结果观测到连续两次正面朝上的概率要比假设 pH=0.5时更大。也就是说，参数 pH取成0.6要比取成0.5更有说服力，更为“合理”。总之，似然函数的重要性不是它的具体取值，而是当参数变化时函数到底变小还是变大。对同一个似然函数，如果存在一个参数值，使得它的函数值达到最大的话，那么这个值就是最为“合理”的参数值。

在这个例子中，似然函数实际上等于：

L(θ∣HH)=P(HH∣pH=θ)=θ2，其中0≤pH≤1。

如果取pH=1，那么似然函数达到最大值1。也就是说，当连续观测到两次正面朝上时，假设硬币投掷时正面朝上的概率为1是最合理的。

类似地，如果观测到的是三次投掷硬币，头两次正面朝上，第三次反面朝上，那么似然函数将会是：

L(θ∣HHT)=P(HHT∣pH=θ)=θ2(1−θ)，其中T表示反面朝上， 0≤pH≤1。

这时候，似然函数的最大值将会在pH=23的时候取到。也就是说，当观测到三次投掷中前两次正面朝上而后一次反面朝上时，估计硬币投掷时正面朝上的概率 pH=23是最合理的。

### 最大似然估计 ###

我们首先要定义似然函数:

lik(θ)=fD(x1,…,xn∣θ)

并且在θ的所有取值上通过令一阶导数等于零，使这个函数取到最大值。这个使可能性最大的 θˆ值即称为 θ 的最大似然估计

#### 例子 ####

现在假设例子1中的盒子中有无数个硬币，对于0≤p≤1中的任何一个p， 都有一个抛出正面概率为 p的硬币对应，我们来求其似然函数的最大值：

lik(θ)=fD(H=49,T=80-49∣p)=(8049)p49(1−p)31

其中 0≤p≤1. 我们可以使用微分法来求最值。方程两边同时对 p 取微分，并使其为零。

0=∝=ddp((8049)p49(1−p)31)49p48(1−p)31−31p49(1−p)30p48(1−p)30\[49(1−p)−31p\]

在不同比例参数值下一个二项式过程的可能性曲线t = 3, n = 10；其最大似然估计值发生在其众数并在曲线的最大值处。

其解为p=0, p=1，以及 p=49/80.使可能性最大的解显然是 p=49/80（因为p=0和 p=1这两个解会使可能性为零）。因此我们说最大似然估计值为 pˆ=49/80pˆ.

这个结果很容易一般化。只需要用一个字母t 代替49用以表达伯努利试验中的被观察数据（即样本）的“成功”次数，用另一个字母 n 代表伯努利试验的次数即可。使用完全同样的方法即可以得到最大似然估计值:

pˆ=tn

对于任何成功次数为 t，试验总数为 n的伯努利试验。

基本上就是似然函数就是一件事发生的概率公式，而最大似然估计是在当前似然函数下函数能取到的最大值，就是一件事最可能发生的概率，这在计算中很重要。

在一个垃圾邮件检测代码中贝叶斯公式的解释

P(B∣A)=P(A∣B)P(B)P(A)

P(B) 表示邮件是垃圾邮件的概率 垃圾邮件数/总邮件数  
P(A) 表示某个词在所有邮件中的出现概率 当前次出现次数/总次数  
P(A∣B) 是垃圾邮件的情况下某个词出现的概率 是垃圾邮件某词出现次数/是垃圾邮件所有词数目  
P(B∣A) 在一个词出现概率为A的情况下是垃圾邮件的概率 所有出现词的概率求和 对比垃圾邮件和非垃圾邮件那个值更大 判断是否是垃圾邮件

> 这里有个优化就是对词的初始出现次数默认置1，防止分子为0导致整个值为0，还有所有词数如果为0的话默认置2，防止除0错误  
> 另一个是为了优化多个0.1左右的值乘积会变得很小，所以用ln(a∗b)=ln(a)\+ln(b)这个公式可以把乘积变成先ln然后求和

看一个机器学习实战中贝叶斯检测垃圾词的代码

from numpy import *
    
    def loadDataSet():
        postingList=[['my', 'dog', 'has', 'flea', 'problems', 'help', 'please'],
                     ['maybe', 'not', 'take', 'him', 'to', 'dog', 'park', 'stupid'],
                     ['my', 'dalmation', 'is', 'so', 'cute', 'I', 'love', 'him'],
                     ['stop', 'posting', 'stupid', 'worthless', 'garbage'],
                     ['mr', 'licks', 'ate', 'my', 'steak', 'how', 'to', 'stop', 'him'],
                     ['quit', 'buying', 'worthless', 'dog', 'food', 'stupid']]
        classVec = [0,1,0,1,0,1]    #1 is abusive, 0 not
        return postingList,classVec
    
    def createVocabList(dataSet):
        vocabSet = set([])  #create empty set
        for document in dataSet:
            vocabSet = vocabSet | set(document) #union of the two sets
        return list(vocabSet)
    
    def setOfWords2Vec(vocabList, inputSet):
        returnVec = [0]*len(vocabList)
        for word in inputSet:
            if word in vocabList:
                returnVec[vocabList.index(word)] = 1
            else: print "the word: %s is not in my Vocabulary!" % word
        return returnVec
    
    def trainNB0(trainMatrix,trainCategory):
        numTrainDocs = len(trainMatrix)
        numWords = len(trainMatrix[0])
        pAbusive = sum(trainCategory)/float(numTrainDocs)
        p0Num = ones(numWords); p1Num = ones(numWords)      #change to ones() 
        p0Denom = 2.0; p1Denom = 2.0                        #change to 2.0
        for i in range(numTrainDocs):
            if trainCategory[i] == 1:
                p1Num += trainMatrix[i]
                p1Denom += sum(trainMatrix[i])
            else:
                p0Num += trainMatrix[i]
                p0Denom += sum(trainMatrix[i])
        p1Vect = log(p1Num/p1Denom)          #change to log()
        p0Vect = log(p0Num/p0Denom)          #change to log()
        return p0Vect,p1Vect,pAbusive
    
    def classifyNB(vec2Classify, p0Vec, p1Vec, pClass1):
        p1 = sum(vec2Classify * p1Vec) + log(pClass1)    #element-wise mult
        p0 = sum(vec2Classify * p0Vec) + log(1.0 - pClass1)
        if p1 > p0:
            return 1
        else: 
            return 0
    def testingNB():
        listOPosts,listClasses = loadDataSet()
        myVocabList = createVocabList(listOPosts)
        trainMat=[]
        for postinDoc in listOPosts:
            trainMat.append(setOfWords2Vec(myVocabList, postinDoc))
        p0V,p1V,pAb = trainNB0(array(trainMat),array(listClasses))
        testEntry = ['love', 'my', 'dalmation']
        thisDoc = array(setOfWords2Vec(myVocabList, testEntry))
        print "p0v: ", p0V, " p1V : ", p1V, " pAb: ", pAb
        print testEntry,'classified as: ',classifyNB(thisDoc,p0V,p1V,pAb)
        testEntry = ['stupid', 'garbage']
        thisDoc = array(setOfWords2Vec(myVocabList, testEntry))
        print testEntry,'classified as: ',classifyNB(thisDoc,p0V,p1V,pAb)
    if __name__ == '__main__':
        listOposts, listClasses = loadDataSet()
        myVocabList = createVocabList(listOposts)
        print setOfWords2Vec(myVocabList, listOposts[0])
        print testingNB()