【PHP】求最大奇约数的和

冷不防 2022-06-08 00:39 163阅读 0赞

小易是一个数论爱好者，并且对于一个数的奇数约数十分感兴趣。一天小易遇到这样一个问题： 定义函数f(x)为x最大的奇数约数，x为正整数。 例如:f(44) = 11.

现在给出一个N，需要求出 f(1) + f(2) + f(3)…….f(N)

例如： N = 7

f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) + f(7) = 1 + 1 + 3 + 1 + 5 + 3 + 7 = 21

小易计算这个问题遇到了困难，需要你来设计一个算法帮助他。

<?php
    $num = trim(fgets(STDIN));
    
    function jNum($num){
         
            $m = $num/2;
            $res = 1;
            if($num&0x1 == 1){
        //如果他本身就是个奇数，那么他的最大奇约数就是他本身
                    $res = $num;
                    goto HELL;
            }
            for($i = 1; $i<=$m; $i=$i+2){
        //如果不是，那么就从1开始一直往上除，每次+2（奇数）
                    if($num%$i==0){
                            $res = $i;
                    }
            }
            HELL:
            return $res;
    }
    
    function jNum2($num)
    {
         
            $res = 0;
    
            for($i=1;$i<=$num;$i++){
                    if(($i&0x1) == 1){
        //如果他本身就是个奇数，那么他的最大奇约数就是他本身
                            $res+=$i;
                    }else{
                            $n = $i;
                            while(true){
        //优化，从最大的数开始往下除
                                    $n = $n>>1;
                                    if(($n&0x1) == 1){
                                            $res+=$n;
                                            break;
                                    }
                            }
                    }
            }
    
            HELL:
            return $res;
    }
    
    function jNum3($num){
         //公式法
            if($num == 1){
                    return 1;
            }
            if(($num&0x1) == 0){
                    return jNum3($num>>1)+$num*$num/4;
            }else{
                    return jNum3($num-1)+$num;
            }
    
    }
    //$sum = 0;
    //for($i = 1; $i<=$num; $i++){
         
    //      $sum+=jNum($i);
    //}
    //echo $sum;
    
    //echo jNum2($num);
    
    echo jNum3($num);

开始常规思路，一直调试的方法1，一直超时，改为方法2，还是超时，没有什么本质区别。

换思路。。

求sum(i)的过程中，如果i 为奇数可以直接求，就是 i 本身，即f(i) = i。

问题就是求所有f(i), i为偶数的和。

因为是最大奇约数，所以f(2k) = f(k)，所以f(2) + f(4) + … + f(2k) = f(1) + f(2) + … + f(k);

所以，数学归纳法，可以求出通用公式

![图片][SouthEast]

这个做法还是不容易想到的。。。这么BT的题。。

[SouthEast]: /images/20220608/23ada7fd942b45a5ac4582081ea22454.png