数学小记

桃扇骨 2022-06-03 04:57 245阅读 0赞

近来看到的一个小小的数学问题，简单一记~

## 问题 ##

**给定任一奇数a,求平方数b,使其与a的和等于另一平方数c**

初一看该问题没想到直接的构造方法,首先使用穷举法来看下小范围数值的结果:

function is_square_num(n)
        local sqrt = math.floor(math.sqrt(n))
        return sqrt * sqrt == n
    end
    
    function calc_square_sum(n)
        local begin = 1
        while true do
            local b = begin * begin
            if is_square_num(b + n) then
                return b
            else
                begin = begin + 1
            end
        end
    end
    
    function print_square_sum(n)
        local b = calc_square_sum(n)
        print(n .. " + " .. b .. " = " .. (n + b))
    end

测试一些小范围数值:

print_square_sum(3) print_square_sum(5) print_square_sum(7)

结果如下:

3 + 1 = 4 5 + 4 = 9 7 + 9 = 16

观察到程序搜索到的b和c都可以写成n和n+1的形式:

![SouthEast][]

我们简单来计算一下 (n+1)^2 - (n)^2:

![SouthEast 1][]

结果为 2n + 1, 考虑到任一奇数都可以表示成这种形式,所以使用以下构造方法即可立即得到上述的b和c:

![SouthEast 2][]

改写的代码如下:

function is_square_num(n)
        local sqrt = math.floor(math.sqrt(n))
        return sqrt * sqrt == n
    end
    
    function calc_square_sum(n)
        local b = (n - 1) / 2
        return math.floor(b * b)
    end
    
    function print_square_sum(n)
        local b = calc_square_sum(n)
        print(n .. " + " .. b .. " = " .. (n + b))
    end

## 引申问题 ##

**证明给定任一奇平方数a,都存在偶平方数b,使其与a的和等于另一平方数c**

首先奇平方数也是奇数,所以根据第一个问题的结论方法,我们可以找到符合条件的平方数b和c,其中:

![SouthEast 3][]

剩下的问题便是证明b是偶数,结合a是奇平方数的前提,我们可以得到:

![SouthEast 4][]

综上,问题得证~

[SouthEast]: /images/20220603/514d3d8c963b4908ae37c646e8e51493.png
[SouthEast 1]: /images/20220603/092c0a21154440b7a1b78fdf168b1671.png
[SouthEast 2]: /images/20220603/129f13d9422b4640be764cc88a3488a2.png
[SouthEast 3]: /images/20220603/e839190c80054e4ca5407d9a958074f2.png
[SouthEast 4]: /images/20220603/e9e11698cfe049c8b71321ffa8a6fe25.png