梯度下降求解逻辑回归2（代码编写以及三种梯度下降对比）

柔光的暖阳◎ 2022-05-31 09:16 203阅读 0赞

\*上一篇是理论知识、背景介绍以及大体的实现方向，这一篇是具体代码实现

## 代码编写 ##

我们的功能模块：

*  写出sigmoid函数，返回被录取的概率，即映射到概率

*g*(*z*)=11\+*e*−*z*  g ( z ) = 1 1 + e − z

*  写出model函数，返回预测结果值，即X（样本值）与theta的矩阵相乘结果

(*θ*0*θ*1*θ*2)×⎛⎝⎜1*x*1*x*2⎞⎠⎟=*θ*0\+*θ*1*x*1\+*θ*2*x*2  ( θ 0 θ 1 θ 2 ) × ( 1 x 1 x 2 ) = θ 0 + θ 1 x 1 + θ 2 x 2

*  写出cost函数，实现计算损失函数，目的是度量预测值与真实值的拟合程度

将对数似然函数去负号

*D*(*h**θ*(*x*),*y*)=−*y*log(*h**θ*(*x*))−(1−*y*)log(1−*h**θ*(*x*))  D ( h θ ( x ) , y ) = − y log ⁡ ( h θ ( x ) ) − ( 1 − y ) log ⁡ ( 1 − h θ ( x ) )

求平均损失

*J*(*θ*)=1*n*∑*i*=1*n**D*(*h**θ*(*x**i*),*y**i*)  J ( θ ) = 1 n ∑ i = 1 n D ( h θ ( x i ) , y i )

*  写出gradient函数，来计算每个样本的梯度方向，即学习方向，梯度下降的方向  
    
    
    ∂*J*∂*θ**j*=−1*m*∑*i*=1*n*(*y**i*−*h**θ*(*x**i*))*x**i**j*  ∂ J ∂ θ j = − 1 m ∑ i = 1 n ( y i − h θ ( x i ) ) x i j 
 *  设置停止策略模式
 *  descent函数，实现参数 *θ*  θ  的更新
 *  accuracy函数，计算精度

整体代码如下：

import os
    import time
    import numpy as np
    import pandas as pd
    import matplotlib.pyplot as plt
    import numpy.random
    %matplotlib inline
    
    def sigmoid(z):
        return 1 / (1 + np.exp(-z))
    
    def model(X, theta):
        # 预测函数 得到预测结果 矩阵相乘
        return sigmoid(np.dot(X, theta.T))
    
    def cost(X, y, theta):
        # 计算损失函数 按照公式
        left = np.multiply(-y, np.log(model(X, theta)))  # 左边的连乘
        right = np.multiply((1 - y), np.log(1 - model(X, theta))) # 右边的连乘
        return np.sum(left - right) / (len(X))
    
    def gradient(X, y, theta):
        # 求解梯度 grad为 theta梯度的更新值
        grad = np.zeros(theta.shape)
        error = (model(X, theta) - y).ravel()
        for j in range(len(theta.ravel())):
    
            temp = np.multiply(error, X[:,j])
            grad[0, j] = np.sum(temp) / len(X)
    
        return grad
    
    # 设定三种停止策略 分别是按迭代次数、按损失函数的变化量、按梯度的变化量
    STOP_ITER = 0
    STOP_COST = 1
    STOP_GRAD = 2
    
    # threshold为指定阈值
    def stopCriterion(stype, value, threshold):
        #设定三种不同的停止策略
        if stype == STOP_ITER:        
            return value > threshold # 按迭代次数停止
    
        elif stype == STOP_COST:
            return abs(value[-1]-value[-2]) < threshold  # 按损失函数是否改变停止
    
        elif stype == STOP_GRAD:
            return np.linalg.norm(value) < threshold # 按梯度大小停止
    
    
    
    def shuffleData(data):
        # 洗牌 防止数据有一定的排列规律
        np.random.shuffle(data)
        cols = data.shape[1]
        X = data[:, 0:cols-1]
        y = data[:, cols-1:]
        return X, y
    
    def descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
        # 最主要的函数 梯度下降求解
        # batchSize：为1代表随机梯度下降 为整体值表示批量梯度下降 为某一数值时表示小批量梯度下降
        # stopType 停止策略类型
        # thresh 阈值
        # alpha 学习率
    
        init_time = time.time() 
        i = 0 # 迭代次数
        k = 0 # batch 迭代数据的初始量
        X, y = shuffleData(data)
        grad = np.zeros(theta.shape) # 计算的梯度
        costs = [cost(X, y, theta)] # 损失值
    
        while True:
            # batchSize为指定的梯度下降策略 
            grad = gradient(X[k:k+batchSize], y[k:k+batchSize], theta)
            k += batchSize #取batch数量个数据
            if k >= n: 
                k = 0 
                X, y = shuffleData(data) #重新洗牌
            theta = theta - alpha*grad # 参数更新
            costs.append(cost(X, y, theta)) # 计算新的损失
            i += 1 
    
            if stopType == STOP_ITER:       
                value = i
    
            elif stopType == STOP_COST:     
                value = costs
    
            elif stopType == STOP_GRAD:     
                value = grad
    
            if stopCriterion(stopType, value, thresh): 
                break
    
        return theta, i-1, costs, grad, time.time() - init_time
    
    def runExpe(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
        # 损失率与迭代次数的展示函数
        theta, iter, costs, grad, dur = descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha)
        name = "Original" if (data[:,1]>2).sum() > 1 else "Scaled"
        name += " data - learning rate: {} - ".format(alpha)
    
        if batchSize == n: 
            strDescType = "Gradient"
    
        elif batchSize == 1:  
            strDescType = "Stochastic"
    
        else: 
            strDescType = "Mini-batch ({})".format(batchSize)
    
        name += strDescType + " descent - Stop: "
    
        if stopType == STOP_ITER: 
            strStop = "{} iterations".format(thresh)
    
        elif stopType == STOP_COST: 
            strStop = "costs change < {}".format(thresh)
    
        else: 
            strStop = "gradient norm < {}".format(thresh)
    
        name += strStop
        print("***{}\nTheta: {} - Iter: {} - Last cost: {:03.2f} - Duration: {:03.2f}s".format(
            name, theta, iter, costs[-1], dur))
        fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,4))
        ax.plot(np.arange(len(costs)), costs, 'r')
        ax.set_xlabel('Iterations')
        ax.set_ylabel('Cost')
        ax.set_title(name.upper() + ' - Error vs. Iteration')
    
        return theta
    
    path = 'data' + os.sep + 'LogiReg_data.txt'
    # 载入数据（训练集）
    pdData = pd.read_csv(path, header=None, names=['Exam1', 'Exam2', 'Admitted'])
    
    pdData.insert(0, 'Ones', 1) # in a try / except structure so as not to return an error if the block si executed several times
    orig_data = pdData.as_matrix() 
    cols = orig_data.shape[1]
    X = orig_data[:,0:cols-1]
    y = orig_data[:,cols-1:cols]
    
    theta = np.zeros([1, 3])

## 成果展示 ##

首先我们执行**批量梯度下降策略**，并设置迭代次数为停止策略：

# 设定迭代次数为50000次 n = 100 runExpe(orig_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=50000, alpha=0.000001)

结果如下：

> \*\*\*Original data - learning rate: 1e-06 - Gradient descent - Stop: 50000 iterations  
> Theta: \[\[-0.00341509 0.01035718 0.00056757\]\] - Iter: 50000 - Last cost: 0.63 - Duration: 9.24s  
> array(\[\[-0.00341509, 0.01035718, 0.00056757\]\])  
> ![这里写图片描述][70]

之后再设置为**随机梯度下降策略**，并设置迭代次数为停止策略：

# 为了快速 设置迭代次数为 5000 runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.001)

结果如下：

> \*\*\*Original data - learning rate: 0.001 - Stochastic descent - Stop: 5000 iterations  
> Theta: \[\[-0.38444806 -0.00892323 -0.02050201\]\] - Iter: 5000 - Last cost: 1.64 - Duration: 0.33s  
> array(\[\[-0.38444806, -0.00892323, -0.02050201\]\])  
> ![这里写图片描述][70 1]

可以看出我们的损失函数非常不稳定，那么我们把学习率调低一些再看看结果：

runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.000002)

> \*\*\*Original data - learning rate: 2e-06 - Stochastic descent - Stop: 15000 iterations  
> Theta: \[\[-0.00202099 0.01001901 0.000949 \]\] - Iter: 15000 - Last cost: 0.63 - Duration: 0.91s  
> array(\[\[-0.00202099, 0.01001901, 0.000949 \]\])  
> ![这里写图片描述][70 2]

可以看出来损失函数基本收敛，速度是挺快的，但是整体不是很稳定。  
我们再试试**小批量梯度下降策略**：

# 设置迭代次数为 15000次结束 runExpe(orig_data, theta, 16, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.001)

结果如下：

> \*\*\*Original data - learning rate: 0.001 - Mini-batch (16) descent - Stop: 15000 iterations  
> Theta: \[\[-1.03877323 0.02183561 0.01401876\]\] - Iter: 15000 - Last cost: 0.60 - Duration: 1.17s  
> array(\[\[-1.03877323, 0.02183561, 0.01401876\]\])  
> ![这里写图片描述][70 3]

结果很是糟糕，浮动仍然比较大，我们来尝试下对**数据进行标准化** 将数据按其属性(按列进行)减去其均值，然后除以其方差。最后得到的结果是，对每个属性/每列来说所有数据都聚集在0附近，方差值为1（**数据标准化**）。  
至于为什么要进行数据标准化，我会再以后的文章里进行讨论。

from sklearn import preprocessing as pp
    # 引入sklearn 进行数据处理
    scaled_data = orig_data.copy()
    scaled_data[:, 1:3] = pp.scale(orig_data[:, 1:3])

之后，我们再进行**批量梯度下降策略**的执行：

# 设置迭代5000次 runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.001)

结果如下：

> \*\*\*Scaled data - learning rate: 0.001 - Gradient descent - Stop: 5000 iterations  
> Theta: \[\[ 0.3080807 0.86494967 0.77367651\]\] - Iter: 5000 - Last cost: 0.38 - Duration: 1.03s  
> array(\[\[ 0.3080807 , 0.86494967, 0.77367651\]\])  
> ![这里写图片描述][70 4]

它好多了！原始数据，只能达到达到0.61，而我们得到了0.38个在这里！ 所以对数据做预处理是非常重要的  
但是我们对最终结果不是很满意，迭代次数似乎有些少了。这时，我们再改变停止策略试一下：

# 使用批量梯度下降策略并设置以梯度变化量为停止策略 runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_GRAD, thresh=0.02, alpha=0.001)

结果如下：

> \*\*\*Scaled data - learning rate: 0.001 - Gradient descent - Stop: gradient norm < 0.02  
> Theta: \[\[ 1.0707921 2.63030842 2.41079787\]\] - Iter: 59422 - Last cost: **0.22** \- Duration: 12.02s  
> array(\[\[ 1.0707921 , 2.63030842, 2.41079787\]\])  
> ![这里写图片描述][70 5]

可以看出来**更多的迭代使得损失下降的更多！**，我们最终的损失达到了**0.22**！

再试试**随机梯度下降策略**：

# 设置为随机梯度下降并使得停止策略为梯度的变化 theta = runExpe(scaled_data, theta, 1, STOP_GRAD, thresh=0.002/5, alpha=0.001)

结果如图：

> \*\*\*Scaled data - learning rate: 0.001 - Stochastic descent - Stop: gradient norm < 0.0004  
> Theta: \[\[ 1.1491578 2.7927126 2.56466683\]\] - Iter: 72562 - Last cost: 0.22 - Duration: 5.36s  
> ![这里写图片描述][70 6]

最终损失也是0.22，同时耗费时间也比批量梯度下降少了一半还多！但是迭代次数却增加了。  
**可以发现使用随机梯度下降使得下降更快了，但是迭代次数却增加了，所以我们使用小批量梯度下降：**

# 使用小批量梯度下降（每次取16个数据） 并设置梯度改变的阈值为 0.002*2 theta = runExpe(scaled_data, theta, 16, STOP_GRAD, thresh=0.002*2, alpha=0.001)

> \*\*\*Scaled data - learning rate: 0.001 - Mini-batch (16) descent - Stop: gradient norm < 0.004  
> Theta: \[\[ 1.15563838 2.8082394 2.57601557\]\] - Iter: 1252 - Last cost: 0.22 - Duration: 0.14s  
> ![这里写图片描述][70 7]

可以很神奇的发现：我们的曲线并不光滑，却最终收敛在了0.22，并且**迭代次数、运行时间都优于上面两种策略！**  
因此我们可以得出结论：在**本案例**中使用小批量梯度下降策略时相对较优的。

## 精确度的测量 ##

最后我们再用小批量梯度下降所预测的数据来和真实数据做对比，测量一下精度：

#设定阈值
    def predict(X, theta):
        return [1 if x >= 0.5 else 0 for x in model(X, theta)]
    
    scaled_X = scaled_data[:, :3]
    y = scaled_data[:, 3]
    predictions = predict(scaled_X, theta)
    correct = [1 if ((a == 1 and b == 1) or (a == 0 and b == 0)) else 0 for (a, b) in zip(predictions, y)]
    accuracy = (sum(map(int, correct)) % len(correct))
    print ('accuracy = {0}%'.format(accuracy))

结果为：

accuracy = 89%

## 结语 ##

本博客是对唐宇迪教学视频的大体总结，包含了本人对算法的理解。  
学完这个小案例之后，对梯度下降求解逻辑回归有了一个大体而感性的认识，希望能作为入门的一个小小教程。

[70]: /images/20220531/9314c00c57a74be8ac7897ab54edd2c2.png
[70 1]: /images/20220531/3b8e93367b634a21ad9619228fae0909.png
[70 2]: /images/20220531/29e5de0973b24f6986eeb3dfd2d23381.png
[70 3]: /images/20220531/2f9aa8a8c8f94ecfaf13244b4598c638.png
[70 4]: /images/20220531/87d54e519877463aa965b4cae314a55b.png
[70 5]: /images/20220531/bebcaec1db444505a364e526b7e6313a.png
[70 6]: /images/20220531/2eaaa8ccec2242409831210bb6335db6.png
[70 7]: /images/20220531/392ca73f65c146ac840bbe8f06eb8c0d.png