最大子列和(参考浙大-数据结构-MOOC)

爱被打了一巴掌 2022-05-27 12:13 203阅读 0赞

参考中国大学Mooc (浙江大学)->数据结构

我把陈越姥姥讲的最大子列和记录一下,以备不时之需.

## "最大子列和" 问题 ##

给一个数组,让求出其中所有子列数据的和的Max 值.

## 1.暴力求解 ##

拿到这个问题的第一瞬间想到的几乎都是暴力,

遍历所有的子序列,找到其中最大值

//暴力求解
    int MaxSubseqSum1(int A[], int n)
    {
        int ThisSum, MaxSum = 0;
        int i,j,k;
        //找出所有子列
        for (i = 0; i < n; i++)
        {
            for (j = i; j < n; j++)
            {
                ThisSum = 0;
                for(k = i; k <= j; k++)
                {
                    ThisSum += a[k];
                }// 求子列和
                if(ThisSum > MaxSum)
                {
                    int t = ThisSum;
                    ThisSum = MaxSum;
                    MaxSum = t;
                }
            }
        }
        return MaxSum;
    }

优点:特别容易被人理解,特别简单

缺点:时间复杂度N的立方,太慢了

## 2.暴力的改进版本 ##

仔细分析第一种方法,可以得到,最内层 的 k 循环,完全可以通过简单的变化消失掉.

即:建立在 j 循环基础,消除 k 循环

//对暴力的简单改进
    int MaxSubseqSum1(int A[], int n)
    {
        int ThisSum, MaxSum = 0;
        int i,j,k;
        //找出所有子列
        for (i = 0; i < n; i++)
        {
            ThisSum = 0;
            for (j = i; j < n; j++)
            {//此处使用累加,消除掉 k 循环
                ThisSum += a[j];
                if(ThisSum > MaxSum)
                {
                    int t = ThisSum;
                    ThisSum = MaxSum;
                    MaxSum = t;
                }
            }
        }
        return MaxSum;
    }

时间复杂:N的平方

较第一种改进较大.

## 3. 二分    ##

太过复杂,建议去[大学Mooc 二分法链接 观看,此处只给出代码][Mooc _]

int Max3( int A, int B, int C )
    { /* 返回3个整数中的最大值 */
        return A > B ? A > C ? A : C : B > C ? B : C;
    }
     
    int DivideAndConquer( int List[], int left, int right )
    { /* 分治法求List[left]到List[right]的最大子列和 */
        int MaxLeftSum, MaxRightSum; /* 存放左右子问题的解 */
        int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum; /*存放跨分界线的结果*/
     
        int LeftBorderSum, RightBorderSum;
        int center, i;
     
        if( left == right )  { /* 递归的终止条件，子列只有1个数字 */
            if( List[left] > 0 )  return List[left];
            else return 0;
        }
     
        /* 下面是"分"的过程 */
        center = ( left + right ) / 2; /* 找到中分点 */
        /* 递归求得两边子列的最大和 */
        MaxLeftSum = DivideAndConquer( List, left, center );
        MaxRightSum = DivideAndConquer( List, center+1, right );
     
        /* 下面求跨分界线的最大子列和 */
        MaxLeftBorderSum = 0; LeftBorderSum = 0;
        for( i=center; i>=left; i-- ) { /* 从中线向左扫描 */
            LeftBorderSum += List[i];
            if( LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum )
                MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;
        } /* 左边扫描结束 */
     
        MaxRightBorderSum = 0; RightBorderSum = 0;
        for( i=center+1; i<=right; i++ ) { /* 从中线向右扫描 */
            RightBorderSum += List[i];
            if( RightBorderSum > MaxRightBorderSum )
                MaxRightBorderSum = RightBorderSum;
        } /* 右边扫描结束 */
     
        /* 下面返回"治"的结果 */
        return Max3( MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum );
    }
     
    int MaxSubseqSum3( int List[], int N )
    { /* 保持与前2种算法相同的函数接口 */
        return DivideAndConquer( List, 0, N-1 );
    }

时间复杂度:N\*log(N)

但是理论较难,代码晦涩.

## 4.在线处理    ##

一个牛逼的算法

从前到后进行一次遍历,找到其中最大值,但是只要某一段子列和为0,即抛弃此时的ThisSum,重新置为0

//在线处理法
    int MaxSubseqSum4(int A[], int n)
    {
        int ThisSum = 0, MaxSum = 0;
        int i;
        for(i = 0; i<n; i++)
        {
            ThisSum += a[i];
            if(ThisSum >MaxSum)
            {
                MaxSum= ThisSum;
            }
            else if(ThisSum <0){
                ThisSum = 0;
            }
            
        }
        return MaxSum;
    }

时间: N

缺点: 总有人怀疑其正确性(讲真,我还觉得这个算法有问题...)

[Mooc _]: https://www.icourse163.org/learn/ZJU-93001?tid=1002654021#/learn/content?type=detail&id=1003620976&cid=1004311301