复变函数基本概念总结

墨蓝 2022-05-26 09:43 605阅读 0赞

**复变函数与解析函数**

主辐角argz(-pi,pi), 辐角Argz=argz+2kpi;

零向量没有确定的方向角；

|z1z2|=|z1||z2|, Arg(z1z2)=Arg(z1)+Arg(z2);

De Moivre(**棣莫弗公式**)

![20180428183906446][]

邻域、内点、外点、边界点、开集（全是内点）、连通（任两个点可以多个折线段连接起来的点集称为连通的）区域（=开集+连通）；

简单曲线（只有一个重点【起点与终点重和的点】）、Jordan(若尔当)曲线（连续的简单闭曲线）、

连续（可用极限、或![20180428185405296][]来描述）、一致连续；

**解析函数：**

解析点（邻域内处处可导的点）、解析函数（在区域的每一点都解析的函数）、奇点（不解析的点）、孤立奇点（在邻域内只有该点是奇点）；

柯西黎曼方程

![20180428191104341][]；

全纯函数（holomorphic function）是[复分析][Link 1]研究的中心对象；它们是定义在[复平面][Link 2]C的[开子集][Link 3]上的，在复平面C中取值的，在每点上皆复可微的[函数][Link 4]。这是比实可微强得多的条件，暗示著此函数[无穷可微][Link 5]并可以用[泰勒级数][Link 6]来描述；

在复平面上，全纯函数与解析函数是等价的；

关于区分正则与全纯，正则是几何里的概念，也是指没有奇点，全纯是复分析里的概念；

**初等解析函数**：

指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和双曲函数；

当z是复数时，|sinz|,|cosz|不是有界函数；

Cauchy（柯西）积分定理：是一个关于[复平面][Link 7]上[全纯函数][Link 8]的[路径积分][Link 9]的重要定理。柯西积分定理说明，如果从一点到另一点有两个不同的路径，而函数在两个路径之间处处是全纯的，则函数的两个路径积分是相等的。另一个等价的说法是，**单连通**闭合区域上的全纯函数沿着任何[可求长][Link 10]闭合曲线的积分是0；

复合闭路的Cauchy定理（复合闭路定理）（针对**多连通**区域）；

Cauchy积分公式；Cauchy导数公式（其实也是用来求积分的）；

牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula）：

![20180428192906827][]

**级数：**

幂级数、Taylor级数、Laurent（洛朗）级数、（过段时间总结一下）；

调和函数；

函数在某点的某个邻域内可以展开成级数；

**留数及其应用：**

孤立奇点可分为三种情况：可去奇点（负幂次项全为零）、极点（含有限个负幂次项，至少一个）、本性奇点（含无穷多个）；（根据函数在z0点的去心邻域内的Laurent级数的展开式的系数来分的）；

单极点、m级极点、单零点、m级零点；

留数(其是函数在该点的邻域内的Laurent级数展开式中-1次项的系数)

![20180428200055897][]；

留数基本定理：

假设\{\\displaystyle U\}![U][]是[复平面][Link 7]上的一个[单连通][Link 11][开子集][Link 12]，\{\\displaystyle a\_\{1\},\\cdots ,a\_\{n\}\}![a\_1, \\cdots, a\_n][a_1_ _cdots_ a_n]是复平面上有限个点，\{\\displaystyle f\}![f][]是定义在\{\\displaystyle U\\setminus \{a\_\{1\},\\cdots ,a\_\{n\}\}\}![U\\setminus\{a\_1, \\cdots, a\_n\}][U_setminus_a_1_ _cdots_ a_n]的[全纯函数][Link 8]。如果\{\\displaystyle \\gamma \}![\\gamma][gamma]是一条把\{\\displaystyle a\_\{1\},\\cdots ,a\_\{n\}\}![a\_1, \\cdots, a\_n][a_1_ _cdots_ a_n]包围起来的[可求长曲线][Link 13]，但不经过任何一个\{\\displaystyle a\_\{k\}\}![a\_\{k\}][a_k]，并且其起点与终点重合，那么：

\{\\displaystyle \\oint \_\{\\gamma \}f(z)\\,dz=2\\pi i\\sum \_\{k=1\}^\{n\}\\operatorname \{I\} (\\gamma ,a\_\{k\})\\operatorname \{Res\} (f,a\_\{k\}).\}![\\oint\_\\gamma f(z)\\, dz =2\\pi i \\sum\_\{k=1\}^n \\operatorname\{I\}(\\gamma, a\_k) \\operatorname\{Res\}( f, a\_k ).][oint_gamma f_z_ dz _2_pi i _sum_k_1_n _operatorname_I_gamma_ a_k_ _operatorname_Res_ f_ a_k _.]

如果γ是[若尔当曲线][Link 14]，那么I(γ, *a**k*) = 1，因此：

\{\\displaystyle \\oint \_\{\\gamma \}f(z)\\,dz=2\\pi i\\sum \_\{k=1\}^\{n\}\\operatorname \{Res\} (f,a\_\{k\}).\}![\\oint\_\\gamma f(z)\\, dz =2\\pi i \\sum\_\{k=1\}^n \\operatorname\{Res\}( f, a\_k ).][oint_gamma f_z_ dz _2_pi i _sum_k_1_n _operatorname_Res_ f_ a_k _.]

在这里，Res(*f*, *a**k*)表示*f*在点*a**k*的[留数][Link 15]，I(γ, *a**k*)表示γ关于点*a**k*的[卷绕数][Link 16]。卷绕数是一个整数，它描述了曲线γ绕过点*a**k*的次数。如果γ依逆时针方向绕着*a**k*移动，卷绕数就是一个正数，如果γ根本不绕过*a**k*，卷绕数就是零。（copy于维基百科）

**留数主要是用于积分；**

**保角映射（**感觉很有意思，也很有用，但了解太少**）：**

保角性、保圆性、保对称性、

分式线性映射、

幂级数构成的映射可把角形域变成角形域；

指数函数构成的映射可把上平面域变成带形域；

**引入Laplace变换的原因是为了弱化函数在负无穷到正无穷 上绝对可积的条件；**

[20180428183906446]: /images/20220526/57bd67bf0fb24f5f8c655cd923746397.png
[20180428185405296]: /images/20220526/2ab84b8e637e4c3f843fc1a1c2f8737b.png
[20180428191104341]: /images/20220526/03606e24ebc0414f832a4ff5a0ba4ac4.png
[Link 1]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E5%88%86%E6%9E%90
[Link 2]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E5%B9%B3%E9%9D%A2
[Link 3]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%80%E9%9B%86
[Link 4]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B0
[Link 5]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%85%89%E6%BB%91%E5%87%BD%E6%95%B0
[Link 6]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B3%B0%E5%8B%92%E7%BA%A7%E6%95%B0
[Link 7]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%8D%E5%B9%B3%E9%9D%A2
[Link 8]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E7%BA%AF%E5%87%BD%E6%95%B0
[Link 9]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9B%B2%E7%BA%BF%E7%A7%AF%E5%88%86
[Link 10]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%A7%E9%95%BF
[20180428192906827]: /images/20220526/04de9629fdb14952a74d62958af49e9f.png
[20180428200055897]: /images/20220526/d0700f541e5b497681782ed2482f7c3b.png
[U]: https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025
[Link 11]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%96%AE%E9%80%A3%E9%80%9A
[Link 12]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%80%E5%AD%90%E9%9B%86
[a_1_ _cdots_ a_n]: https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c28b1cd802d561192128b323b66e46a1fb5e3b67
[f]: https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61
[U_setminus_a_1_ _cdots_ a_n]: https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aa00f826d0fa624bc482c581aa21cfcdae53bf1
[gamma]: https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a
[Link 13]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E6%B1%82%E9%95%BF%E6%9B%B2%E7%BA%BF
[a_k]: https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e256a120c3ab9f8958de71acdf81cd75065e3b
[oint_gamma f_z_ dz _2_pi i _sum_k_1_n _operatorname_I_gamma_ a_k_ _operatorname_Res_ f_ a_k _.]: https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6308b3568edef0ca286eea192c8a0c7600db8a4
[Link 14]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%8B%A5%E5%B0%94%E5%BD%93%E6%9B%B2%E7%BA%BF%E5%AE%9A%E7%90%86
[oint_gamma f_z_ dz _2_pi i _sum_k_1_n _operatorname_Res_ f_ a_k _.]: https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90d8bfc2f78a80584e4ae6e0ef025713acab653d
[Link 15]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%95%99%E6%95%B0
[Link 16]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%B7%E7%BB%95%E6%95%B0