LeetCode第四题之两个排序数组的中位数

阳光穿透心脏的1/2处 2022-05-25 23:20 174阅读 0赞

给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2 。

请找出这两个有序数组的中位数。要求算法的时间复杂度为 O(log (m+n)) 。

示例 1:

nums1 = [1, 3]
    nums2 = [2]
    
    中位数是 2.0

示例 2:

nums1 = [1, 2]
    nums2 = [3, 4]
    
    中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5

思路一：采用归并排序，然后查找中位数。时间复杂度O(M+N)

public static double findMedianSortedArrays1(int[] nums1, int[] nums2) {
    		double result = 0.0;
    		int index1 = 0;
    		int index2 = 0;
    		int index = 0;
    		int[] nums = new int[nums1.length + nums2.length];
    		if (nums1.length == 0 && nums2.length == 0) {
    			return result;
    		}
    		if (nums1.length == 0) {
    			return getResult(nums2);
    		}
    		if (nums2.length == 0) {
    			return getResult(nums1);
    		}
    		while (index1 < nums1.length && index2 < nums2.length) {
    			if (nums1[index1] < nums2[index2]) {
    				nums[index] = nums1[index1];
    				index1++;
    			} else {
    				nums[index] = nums2[index2];
    				index2++;
    			}
    			index++;
    		}
    		while (index1 < nums1.length) {
    			nums[index++] = nums1[index1++];
    		}
    		while (index2 < nums2.length) {
    			nums[index++] = nums2[index2++];
    		}
    		if (nums.length % 2 == 0) {
    			result = (nums[nums.length / 2] + nums[nums.length / 2 - 1]) / 2.0;
    		} else {
    			result = nums[(nums.length) / 2];
    		}
    		return result;
    	}
    
    	public static double getResult(int[] nums2) {
    		double result = 0.0;
    		if (nums2.length % 2 == 0) {
    			result = (nums2[nums2.length / 2] + nums2[nums2.length / 2 - 1]) / 2.0;
    		} else {
    			result = nums2[(nums2.length) / 2];
    		}
    		return result;
    	}

思路二：分治法时间O(log(m+n))

题目要求O(log(m+n))的时间复杂度，一般来说都是分治法或者二分搜索。首先我们先分析下题目，假设两个有序序列共有n个元素（根据中位数的定义我们要分两种情况考虑），当n为奇数时，搜寻第(n/2+1)个元素，当n为偶数时，搜寻第(n/2+1)和第(n/2)个元素，然后取他们的均值。进一步的，我们可以把这题抽象为“搜索两个有序序列的第k个元素”。如果我们解决了这个k元素问题，那中位数不过是k的取值不同罢了。

那如何搜索两个有序序列中第k个元素呢，这里又有个技巧。假设序列都是从小到大排列，对于第一个序列中前p个元素和第二个序列中前q个元素，我们想要的最终结果是：p+q等于k-1,且一序列第p个元素和二序列第q个元素都小于总序列第k个元素。因为总序列中，必然有k-1个元素小于等于第k个元素。这样第p+1个元素或者第q+1个元素就是我们要找的第k个元素。

所以，我们可以通过二分法将问题规模缩小，假设p=k/2-1，则q=k-p-1，且p+q=k-1。如果第一个序列第p个元素小于第二个序列第q个元素，我们不确定二序列第q个元素是大了还是小了，但一序列的前p个元素肯定都小于目标，所以我们将第一个序列前p个元素全部抛弃，形成一个较短的新序列。然后，用新序列替代原先的第一个序列，再找其中的第k-p个元素（因为我们已经排除了p个元素，k需要更新为k-p），依次递归。同理，如果第一个序列第p个元素大于第二个序列第q个元素，我们则抛弃第二个序列的前q个元素。递归的终止条件有如下几种：

*  较短序列所有元素都被抛弃，则返回较长序列的第k个元素（在数组中下标是k-1）
 *  一序列第p个元素等于二序列第q个元素，此时总序列第p+q=k-1个元素的后一个元素，也就是总序列的第k个元素

### 注意 ###

*  每次递归不仅要更新数组起始位置（起始位置之前的元素被抛弃），也要更新k的大小（扣除被抛弃的元素）

public static double findMedianSortedArrays2(int[] nums1, int[] nums2) {
    		int m = nums1.length, n = nums2.length;
    		int k = (m + n) / 2;
    		if ((m + n) % 2 == 0) {
    			return (findKth(nums1, nums2, 0, 0, m, n, k) + findKth(nums1, nums2, 0, 0, m, n, k + 1)) / 2;
    		} else {
    			return findKth(nums1, nums2, 0, 0, m, n, k + 1);
    		}
    
    	}
    
    	private static double findKth(int[] arr1, int[] arr2, int start1, int start2, int len1, int len2, int k) {
    		// 保证arr1是较短的数组
    		if (len1 > len2) {
    			return findKth(arr2, arr1, start2, start1, len2, len1, k);
    		}
    		if (len1 == 0) {
    			return arr2[start2 + k - 1];
    		}
    		if (k == 1) {
    			return Math.min(arr1[start1], arr2[start2]);
    		}
    		int p1 = Math.min(k / 2, len1);
    		int p2 = k - p1;
    		if (arr1[start1 + p1 - 1] < arr2[start2 + p2 - 1]) {
    			return findKth(arr1, arr2, start1 + p1, start2, len1 - p1, len2, k - p1);
    		} else if (arr1[start1 + p1 - 1] > arr2[start2 + p2 - 1]) {
    			return findKth(arr1, arr2, start1, start2 + p2, len1, len2 - p2, k - p2);
    		} else {
    			return arr1[start1 + p1 - 1];
    		}
    	}

GitHub地址： [https://github.com/xckNull/Algorithms-introduction][https_github.com_xckNull_Algorithms-introduction]

[https_github.com_xckNull_Algorithms-introduction]: https://github.com/xckNull/Algorithms-introduction