解析解与数值解

系统管理员 2022-05-25 09:59 286阅读 0赞

在解组件特性相关的方程式时，大多数的时候都要去解偏微分或积分式，才能求得其正确的解。依照求解方法的不同，可以分成以下两类：解析解和数值解。

** 解析解**(analytical solution)就是一些严格的公式,给出任意的自变量就可以求出其因变量,也就是问题的解, 他人可以利用这些公式计算各自的问题. **解析解**，又称为闭式解，**是可以用解析表达式来表达的解**。 在数学上，如果一个方程或者方程组存在的某些解，是由有限次常见运算的组合给出的形式，则称该方程存在解析解。

所谓的**解析解是一种包含分式、三角函数、指数、对数甚至无限级数等基本函数的解的形式**。用来求得解析解的方法称为解析法(analytictechniques、analytic methods)，解析法即是常见的微积分技巧，例如分离变量法等。解析解为一封闭形式(closed-form)的函数，因此对任一独立变量，我们皆可将其带入解析函数求得正确的相依变量。因此，**解析解也被称为闭合解**(closed-form solution)。

** 数值解**(numerical solution)是采用某种计算方法,如**有限元的方法, 数值逼近,插值的方法, 得到的解**.别人只能利用数值计算的结果, 而不能随意给出自变量并求出计算值. 当无法由微积分技巧求得解析解时，这时便只能利用数值分析的方式来求得其数值解了。数值方法变成了求解过程重要的媒介。在数值分析的过程中，首先会将原方程式加以简化，以利后来的数值分析。例如，会先将微分符号改为差分符号等。然后再用传统的代数方法将原方程式改写成另一方便求解的形式。这时的求解步骤就是将一独立变量带入，求得相依变量的近似解。因此利用此方法所求得的相依变量为一个个分离的数值(discrete values)，不似解析解为一连续的分布，而且因为经过上述简化的动作，所以可以想见正确性将不如解析法来的好。

**数值解是在特定条件下通过近似计算得出来的一个数值，而解析解为该函数的解析式解析解就是给出解的具体函数形式，从解的表达式中就可以算出任何对应值；数值解就是用数值方法求出解，给出一系列对应的自变量和解**。

e.g. eq:

x^2=5 solution: x=sqrt(5) -- analytical solution（解析解）

x=2.236 -- numerical solution（数值解）