python羊车门问题

ゝ一纸荒年。 2022-05-25 09:07 171阅读 0赞

读史随笔（二十八）
    晋武帝司马炎统一全国后大封诸侯，他认为天下已经太平了，可以享受皇位了。说到享受，每个人的人生哲学不同，价值观也不同。有人以为平安、有个幸福的家就是享受，有人以为不断的奋斗、生活充实就是享受，有的人则以为美酒、咖啡加美人的节外生枝才是享受。司马炎就是这后一种人，当时他的“羊车门”可谓是轰动全国的。。
     
    取得“统一”胜利后，晋武帝司马炎觉得应该分封诸王，让其各据一方。他认为你们在四面八方给我看管着我夺来的地盘，它就如一道围墙，坚不可摧，我呢，在中心地带便高枕无忧了。于是，他开始寻找人生的另一转折点——享受美女。其实，早在泰始九年（273年）他就下诏遴选市级以上官员们的千金入宫了。并于第二年他又在市级以下的普通官员家中诏选女孩入宫。
     
    武帝很霸道，在他挑选美女期间，全国的人都不许结婚，必须等他选完以后方能谈婚论嫁。同时，他还派太监坐公车去全国各地进行海选。生活条件优越的大户人家的女儿唯恐被选了去，她们往往故意将自己打扮的衣衫褴褛、蓬头垢面的。而那些被选中的女子就惨了，她们在与父母分离时都是嚎啕大哭、伤心欲绝。那种场面真不亚于鬼子进村时的掠抢啊！
     
    由于拉网式的海选，晋武帝的后宫姬妾可就不止三千佳丽了，那个数目是相当惊人的，足有一万多人呢。这倒让他每天为此大伤脑筋，不知道究竟在哪个妾的宫室就寝了。后来，他冥思苦想之后，有了一个损招，索性坐上羊车，随羊的意，羊在哪停住了，他就在哪里留宿。
     
    这件事听起来，既荒唐，又滑稽。晋武帝完全是跟着羊的感觉走，羊拉着人当然有走累的时候，所以羊的决定对女子们很重要。你还别说，由于海选来的美女，来自不同的家庭背景，她们当中就有聪明机灵的，有的还深谙羊的习性。为了抓住皇上睡，她们懂得应该先抓住羊的胃。
     
    也许这就是深宫的生存法则吧，毕竟猫有猫法，狗有狗道，鸡不撒尿。有些女子将竹子叶插在门口，地上泼洒好多盐水，因为羊喜欢吃竹叶，而且还好食咸的东西。因此这等于先抓住了羊的胃，羊留下来了，皇帝也便不走了。这样得到的宠幸当然也就多一些。那么那些忠厚老实、没有城府的美女可能一生都看不见皇上一眼，孤老死去呢。看来宫内多怨鬼一点不假，其中猫腻儿非一般人能玩的转的。
     
    不久，有心计的女子长时间得不到皇帝的临幸，就开始放出自己的眼线，想弄清其中端倪，结果发现“原来如此”。于是，后宫就像展开军备竞赛一样，纷纷效仿这种既科学又有效的办法，来进行争夺皇上大战。
     
    时间长了，不知是羊把美女们变得更聪明了，还是美女们将羊锻炼的更刁钻了。美女们的争风吃醋、大肆“贿赂”羊，使得羊逐渐地变得“洋气”起来了，竹叶已经远远不能满足它的胃口了，或说竹叶已不再是什么“新鲜”之物了。
     
    羊在交际场上混久了，见的市面也大了，而且它也看开了。心想：“小样儿，你们以为插几片破竹叶子，就可以收买本尊了吗？也不瞧瞧我是谁，本羊可是皇上的天下第一秘，皇大哥的就寝，我说了算，不来点儿新鲜的，就想傍大款？嘿嘿~没门儿！”。羊便开始了它的游击战，它狡猾地随意走、随意停，反正不差钱儿，吃喝不愁。
     
    这下美女们可惨了，她们又回到了生活的原点，她们的命运彻底由老“天”安排、由羊主宰了，这便是臭名昭著的“羊车门”。
     
    司马炎荒淫的“羊车门”，大臣们看在眼里，找机会就劝谏，可是却丝毫没有撼动武帝痴迷的心，“太康繁荣”的隐患也便埋在了以皇帝为首的种种腐败之中了。

分析来了：设门后为车、甲羊、乙羊，第1次选定门，其后为车、甲羊、乙羊的概率均为1/3，因此可分为等概的3种情况：

情况1： 车 （1/3概率）

情况2： 甲羊（1/3概率）

情况3： 乙羊（1/3概率）

若坚持“换”的策略，情况1时得羊，情况2时得车，情况3时得车；若坚持“不换”的策略，情况1时得车，情况2时得羊，情况3时得羊。答案非常简单，应选择“换”的策略，这样会有2/3的机会得到车，绝不能选择“不换”的策略，这样只有1/3的机会得到车。

要是我上台去选择，心里会祈祷第1次选择让我选上羊吧，因为只要第1次我选中了羊，甲羊乙羊都行，然后主持人把另一只羊门打开，我只要一换，就一定能得车啊。

有些人认定变得车的概率是1/2，这是错误的，原因在于：如果在你第1次选择之前，主持人就将某个羊门打开，则变得车的概率的确是1/2，但很遗憾，题目不是这样的。由于第1次你指定了一个门，这个门后有1/3的可能是车，有2/3的可能是羊。所以主持人只能被动地以1/3的可能从2个羊门任选1个打开，以2/3的可能没有选择地将剩下的那个羊门打开。

其实，这是个典型的条件概率问题，如果你跟着我上面的分析思考，会觉得非常简单，但问题在于，如果你的概率论素养不够，在你独立思考时，很容易把甲羊乙羊混淆在一起。

为了更透彻地说明这个问题，我推广分析了n羊1车的情况，并分情况加以考虑：

换而得车情况：即第1次从n羊1车中选到羊，此情况概率为n/(n 1)，在此条件下，换而得车的概率为(n/(n 1))\*(1/(n-1))……..(公式1)

换而得羊的情况，又分为以下两种情况：

情况一：第1次选到车，第2次换必然得羊，此概率为1/(n 1)

情况二：第1次选到羊，此情况概率为n/(n 1)，在此条件下，换而得羊的概率为(n/(n 1))\*((n-2)/(n-1))

将上述两种情况合并，即换而得羊的概率为1/(n 1) (n/(n 1))\*((n-2)/(n-1))……(公式2)

将换而得车与换而得羊的概率相加(n/(n 1))\*(1/(n-1)) 1/(n 1) (n/(n 1))\*((n-2)/(n-1))，其结果为1。这个“1”表明了上述分析并没有遗漏情况，是对上式是否正确的一个检验。

可能有的网友对上面n羊1车的情况发懵，那我就再罗嗦两句：

第1次选到羊（第1次选到车的话，换必得羊），此时因为有n羊1车，所有有n 1个门，选到羊的概率为n/(n 1)；

第2次换时要从剩下的n-2只羊和1个车中恰好选到车（因你第1次选择的是羊，且主持人亮出1只羊，所以你可换的门后有n-2只羊），所以此时概率为1/(n-2 1)，即1/n-1；两个概率相乘为(n/(n 1))\*(1/(n-1))。

再回到原题2羊1车的情况，把n=2代入到公式1中，得换而得车的概率为2/3，这与前面的分析完全一致。

那位博士起初的程序结果错误，原因在于他的算法本身就是错的，后来他在程序中清空中他的思想，用随机数做了最原始的仿真，结果是：换得车概率0.66657，不换得车概率0.33343。

**问题：**

有3扇关闭的门，一扇门后面停着汽车，其余门后是山羊，只有主持人知道每扇门后面是什么。参赛者可以选择一扇门，在开启它之前，主持人会开启另外一扇门，露出门后的山羊，然后允许参赛者更换自己的选择。

请问：

1、按照你的第一感觉回答，你觉得不换选择能有更高的几率获得汽车，还是换选择能有更高的几率获得汽车？或几率没有发生变化？

**答：第一感觉换与不换获奖几率没有发生变化。**

2、请自己认真分析一下“不换选择能有更高的几率获得汽车，还是换选择能有更高的几率获得汽车？或几率没有发生变化？” 写出你分析的思路和结果。

**答：**

**分析一：**

**假设：**

玩家选一号门，换（得到车），不换（羊）  
玩家选二号门，换（羊），不换（车）  
玩家选三号门，换（车），不换（羊）

**综上所述：玩家换得到车的概率为2/3，玩家不换得到车的概率为1/3。**

**分析二：**

玩家选中车的概率为1/3，换得到车的概率为1/3\*0=0。  
玩家选中羊的概率为2/3，换得到车的概率为2/3\*1=2/3。

3、请设法编写程序验证自己的想法，验证的结果支持了你的分析结果，还是没有支持你的分析结果，请写出程序运行结果，以及其是否支持你的分析。（提示：可以借助随机数函数完成此程序）

**答：**

import random
    x=random.randint(5000,10000)
    change=0
    nochange=0
    for i in range(1,x+1):
      a=random.randrange(1,4)
      b=random.randrange(1,4)
      if a==b:
        nochange=nochange+1
      else:
        change=change+1
    print("不更改选择得到汽车的概率为{}".format(nochange/x))
    print("更改选择得到汽车的概率为{}".format(change/x))
    运行结果：
    
    ?
    1
    2
    不更改选择得到汽车的概率为0.33340982101881594
    更改选择得到汽车的概率为0.666590178981184

注：这篇文章来自于三个地方：http://www.111cn.net/phper/149713.htm

http://blog.sina.com.cn/s/blog\_6c7e111d0101nruv.html

https://wenwen.sogou.com/z/q430308760.htm