最简单，详细的tarjan算法讲解

痛定思痛。 2022-05-22 01:51 290阅读 0赞

学习强连通分量缩点时不小心找到的，发现真的不错！！！  
tarjan算法，一个关于 图的联通性的神奇算法。基于DFS（迪法师）算法，深度优先搜索一张有向图。！注意！是有向图。根据树，堆栈，打标记等种种神（che）奇（dan）方法来完成剖析一个图的工作。而图的联通性，就是任督二脉通不通。。的问题。  
了解tarjan算法之前你需要知道：  
强连通，强连通图，强连通分量，解答树（解答树只是一种形式。了解即可）  
不知道怎么办！！！  
![这里写图片描述][1022747-20160916163626883-1898155526.jpg]  
神奇海螺～：嘟噜噜～！  
强连通(strongly connected)： 在一个有向图G里，设两个点 a b 发现，由a有一条路可以走到b，由b又有一条路可以走到a，我们就叫这两个顶点（a，b）强连通。

强连通图： 如果 在一个有向图G中，每两个点都强连通，我们就叫这个图，强连通图。

强连通分量strongly connected components)：在一个有向图G中，有一个子图，这个子图每2个点都满足强连通，我们就叫这个子图叫做 强连通分量 ［分量：：把一个向量分解成几个方向的向量的和，那些方向上的向量就叫做该向量（未分解前的向量）的分量］  
举个简单的栗子：![这里写图片描述][1022747-20160916163652617-1655492702.png]  
比如说这个图，在这个图中呢，点1与点2互相都有路径到达对方，所以它们强连通.

而在这个有向图中，点1 2 3组成的这个子图，是整个有向图中的强连通分量。

解答树：就是一个可以来表达出递归枚举的方式的树（图），其实也可以说是递归图。。反正都是一个作用，一个展示从“什么都没有做”开始到“所有结求出来”逐步完成的过程。“过程！”

神奇海螺结束！！！  
![1022747-20160916163705445-172838619.jpg][]  
tarjan算法，之所以用DFS就是因为它将每一个强连通分量作为搜索树上的一个子树。而这个图，就是一个完整的搜索树。  
为了使这颗搜索树在遇到强连通分量的节点的时候能顺利进行。每个点都有两个参数。  
1，DFN［］作为这个点搜索的次序编号（时间戳），简单来说就是 第几个被搜索到的。％每个点的时间戳都不一样％。  
2，LOW［］作为每个点在这颗树中的，最小的子树的根，每次保证最小，like它的父亲结点的时间戳这种感觉。如果它自己的LOW［］最小，那这个点就应该从新分配，变成这个强连通分量子树的根节点。  
ps：每次找到一个新点，这个点LOW［］＝DFN［］。

而为了存储整个强连通分量，这里挑选的容器是，堆栈。每次一个新节点出现，就进站，如果这个点有 出度 就继续往下找。直到找到底，每次返回上来都看一看子节点与这个节点的LOW值，谁小就取谁，保证最小的子树根。如果找到DFN［］＝＝LOW［］就说明这个节点是这个强连通分量的根节点（毕竟这个LOW［］值是这个强连通分量里最小的。）最后找到强连通分量的节点后，就将这个栈里，比此节点后进来的节点全部出栈，它们就组成一个全新的强连通分量。

先来一段伪代码压压惊：

tarjan(u){
    
    　　DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值
    
    　　Stack.push(u)   // 将节点u压入栈中
    
    　　for each (u, v) in E // 枚举每一条边
    
    　　　　if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过
    
    　　　　　　　　tarjan(v) // 继续向下找
    
    　　　　　　　　Low[u] = min(Low[u], Low[v])
    
    　　　　else if (v in S) // 如果节点u还在栈内
    
    　　　　　　　　Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
    
    　　if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根
    
    　　repeat v = S.pop  // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点
    
    　　print v
    
    　　until (u== v)
    
    }

首先来一张有向图。网上到处都是这个图。我们就一点一点来模拟整个算法。  
![这里写图片描述][1022747-20160916164043023-1025578320.png]

从1进入 DFN［1］＝LOW［1］＝ ＋＋index －－－－1  
入栈 1  
由1进入2 DFN［2］＝LOW［2］＝ ＋＋index －－－－2  
入栈 1 2  
之后由2进入3 DFN［3］＝LOW［3］＝ ＋＋index －－－－3  
入栈 1 2 3  
之后由3进入 6 DFN［6］＝LOW［6］＝＋＋index －－－－4  
入栈 1 2 3 6  
![这里写图片描述][1022747-20160916164057664-63146620.png]  
之后发现 嗯？ 6无出度，之后判断 DFN［6］＝＝LOW［6］  
说明6是个强连通分量的根节点：6及6以后的点 出栈。  
栈： 1 2 3  
之后退回 节点3 Low\[3\] = min(Low\[3\], Low\[6\]) LOW［3］还是 3  
节点3 也没有再能延伸的边了，判断 DFN［3］＝＝LOW［3］  
说明3是个强连通分量的根节点：3及3以后的点 出栈。  
栈： 1 2  
之后退回 节点2 嗯？！往下到节点5  
DFN［5］＝LOW［5］＝ ＋＋index －－－－－5  
入栈 1 2 5  
![1022747-20160916164123555-1614372014.png][]  
ps：你会发现在有向图旁边的那个丑的（划掉）搜索树 用红线剪掉的子树，那个就是强连通分量子树。每次找到一个。直接。一剪子下去。半个子树就没有了。。

结点5 往下找，发现节点6 DFN［6］有值，被访问过。就不管它。  
继续 5往下找，找到了节点1 他爸爸的爸爸。。DFN［1］被访问过并且还在栈中，说明1还在这个强连通分量中，值得发现。 Low\[5\] = min(Low\[5\], DFN\[1\])  
确定关系，在这棵强连通分量树中，5节点要比1节点出现的晚。所以5是1的子节点。so  
LOW［5］＝ 1

由5继续回到2 Low\[2\] = min(Low\[2\], Low\[5\])  
LOW［2］＝1；  
由2继续回到1 判断 Low\[1\] = min(Low\[1\], Low\[2\])  
LOW［1］还是 1  
1还有边没有走过。发现节点4，访问节点4  
DFN［4］＝LOW［4］＝＋＋index －－－－6  
入栈 1 2 5 4  
由节点4，走到5，发现5被访问过了，5还在栈里，  
Low\[4\] = min(Low\[4\], DFN\[5\]) LOW［4］＝5  
说明4是5的一个子节点。  
![这里写图片描述][1022747-20160916164157742-1608561553.png]

由4回到1.

回到1，判断 Low\[1\] = min(Low\[1\], Low\[4\])  
LOW［1］还是 1 。

判断 LOW［1］ ＝＝ DFN［1］  
诶？！相等了 说明以1为根节点的强连通分量已经找完了。  
将栈中1以及1之后进栈的所有点，都出栈。  
栈 ：（鬼都没有了）

这个时候就完了吗？！

你以为就完了吗？！

然而并没有完，万一你只走了一遍tarjan整个图没有找完怎么办呢？！

所以。tarjan的调用最好在循环里解决。

like 如果这个点没有被访问过，那么就从这个点开始tarjan一遍。

因为这样好让每个点都被访问到。  
1

来一道裸代码。  
输入：  
一个图有向图。  
输出：  
它每个强连通分量。

这个图就是刚才讲的那个图。一模一样。

input:

6 8

1 3

1 2

2 4

3 4

3 5

4 6

4 1

5 6

output:

3 4 2 1

#include<cstdio>  
     #include<algorithm>  
     #include<string.h>  
     using namespace std;  
     struct node {  
         int v,next;  
     }edge[1001];  
      int DFN[1001],LOW[1001];  
     int stack[1001],heads[1001],visit[1001],cnt,tot,index;  
    void add(int x,int y)  
    {  
         edge[++cnt].next=heads[x];  
         edge[cnt].v = y;  
         heads[x]=cnt;  
        return ;  
     }  
     void tarjan(int x)//代表第几个点在处理。递归的是点。  
     {  
         DFN[x]=LOW[x]=++tot;// 新进点的初始化。  
         stack[++index]=x;//进站  
         visit[x]=1;//表示在栈里  
        for(int i=heads[x];i!=-1;i=edge[i].next)  
         {  
             if(!DFN[edge[i].v]) {
       //如果没访问过  
                tarjan(edge[i].v);//往下进行延伸，开始递归  
                 LOW[x]=min(LOW[x],LOW[edge[i].v]);//递归出来，比较谁是谁的儿子／父亲，就是树的对应关系，涉及到强连通分量子树最小根的事情。  
            }  
            else if(visit[edge[i].v ]){  //如果访问过，并且还在栈里。  
                 LOW[x]=min(LOW[x],DFN[edge[i].v]);//比较谁是谁的儿子／父亲。就是链接对应关系  
             }  
         }  
         if(LOW[x]==DFN[x]) //发现是整个强连通分量子树里的最小根。  
        {  
             do{  
                printf("%d ",stack[index]);  
                 visit[stack[index]]=0;  
                 index--;  
             }while(x!=stack[index+1]);//出栈，并且输出。  
             printf("\n");  
         }  
         return ;  
     }  
     int main()  
     {  
         memset(heads,-1,sizeof(heads));  
         int n,m;  
         scanf("%d%d",&n,&m);  
        int x,y;  
         for(int i=1;i<=m;i++)  
         {  
             scanf("%d%d",&x,&y);  
            add(x,y);  
         }  
        for(int i=1;i<=n;i++)  
             if(!DFN[i])  tarjan(i);//当这个点没有访问过，就从此点开始。防止图没走完  
        return 0;  
     }

这里我建议邻接表用vector实现较好！！！！

[1022747-20160916163626883-1898155526.jpg]: /images/20220522/51a46106a2234cfdb4576b221350ec95.png
[1022747-20160916163652617-1655492702.png]: /images/20220522/535012cc6065494fbead9621e2a7b423.png
[1022747-20160916163705445-172838619.jpg]: /images/20220522/ec45e34f6926465abf7e12c99f7703db.png
[1022747-20160916164043023-1025578320.png]: /images/20220522/089254a38d21429ba3d042782a5ba16f.png
[1022747-20160916164057664-63146620.png]: /images/20220522/09af212385e7492094b3414834fdebbb.png
[1022747-20160916164123555-1614372014.png]: /images/20220522/379677b52cd542f48fb0b8149f3ea213.png
[1022747-20160916164157742-1608561553.png]: /images/20220522/60d8c9bb923c48c6b644f9e9c761e368.png