深度学习FPGA实现基础知识17(图像处理卷积运算矩阵卷积)

ゞ浴缸里的玫瑰 2022-05-19 10:36 442阅读 0赞

**需求说明：深度学习FPGA实现知识储备**

**内容：第一部分：矩阵的卷积运算详细过程**

**第二部分：图像处理之卷积理解**

**第三部分：矩阵卷积转换为矩阵相乘**

**整理来自：时间的诗**

# **第一部分：矩阵的卷积运算详细过程** #

**来自：[http://blog.csdn.net/frankyzhangc/article/details/6990782][http_blog.csdn.net_frankyzhangc_article_details_6990782]**

一个矩阵与另一个矩阵的卷积运算大部分运用在图像处理上，例如用一个模板去对一幅图像进行卷积。

把模板（n\*n）放在矩阵上（中心对准要处理的元素），用模板的每个元素去乘矩阵中的的元素，累加和等于这个元素例如例子中的第二行第二个元素16= 1\*2+1\*1+1\*3+1\*1+1\*2+1\*1+1\*2+1\*1+1\*2+1\*1+1\*3的计算，依次计算每个元素的值，如果矩阵的中心在边缘就要将原矩阵进行扩展，例如补0，或者直接规定模板的中心距离边缘(n-1)/2个单位以上。

以下举一个简单的例子，并用Matlab来观察

相关MATALB代码

a=\[2 1 3 1;1 2 1 2;2 1 3 2;1 3 1 2\];  
b=\[1 1 1;1 1 1;1 1 1\];  
c=conv2(a,b,’same’);  
d=conv2(a,b,’full’);  
fprintf(‘\\na = \\n’);  
disp(a);  
fprintf(‘\\nb = \\n’);  
disp(b);  
fprintf(‘\\nc = \\n’);  
disp(c);  
fprintf(‘\\nd = \\n’);  
disp(d);

MATALB仿真结果

a =  
2 1 3 1  
1 2 1 2  
2 1 3 2  
1 3 1 2  
  
b =  
1 1 1  
1 1 1  
1 1 1  
  
c =  
6 10 10 7  
9 16 16 12  
10 15 17 11  
7 11 12 8  
  
d =  
2 3 6 5 4 1  
3 6 10 10 7 3  
5 9 16 16 12 5  
4 10 15 17 11 6  
3 7 11 12 8 4  
1 4 5 6 3 2

卷积的计算步骤：  
（1） 卷积核绕自己的核心元素顺时针旋转180度(这个千万不要忘了)  
（2） 移动卷积核的中心元素，使它位于输入图像待处理像素的正上方  
（3） 在旋转后的卷积核中，将输入图像的像素值作为权重相乘  
（4） 第三步各结果的和做为该输入像素对应的输出像素

请看用水平和垂直差分算子对矩阵处理后的结果，然后细细体会

a =  
2 1 3 1  
1 2 1 2  
2 1 3 2  
1 3 1 2  
b =  
\-1 -1 -1  
0 0 0  
1 1 1  
e =  
\-1 0 1  
\-1 0 1  
\-1 0 1  
  
c =  
\-3 -4 -5 -3  
0 0 -1 -1  
\-1 -1 -1 0  
3 6 6 5  
  
d =  
\-3 -1 0 4  
\-4 -2 -1 7  
\-6 -1 0 5  
\-4 -1 0 4

# **第二部分：图像处理之卷积理解** #

**来自：[http://blog.csdn.net/jia20003/article/details/7038938][http_blog.csdn.net_jia20003_article_details_7038938]**

**图像处理之理解卷积**

一：什么是卷积

离散卷积的数学公式可以表示为如下形式：

f(x) = - 其中C(k)代表卷积操作数，g(i)代表样本数据, f(x)代表输出结果。

举例如下：

假设g(i)是一个一维的函数，而且代表的样本数为G = \[1,2,3,4,5,6,7,8,9\]

假设C(k)是一个一维的卷积操作数, 操作数为C=\[-1,0,1\]

则输出结果f(x)可以表示为 F=\[1,2,2,2,2,2,2,2,1\] //边界数据未处理

以上只是一维的情况下，当对一幅二维数字图像加以卷积时，其数学意义可以解释如下：

源图像是作为输入源数据，处理以后要的图像是卷积输出结果，卷积操作数作为Filter

在XY两个方向上对源图像的每个像素点实施卷积操作。如图所示：

粉红色的方格每次在X/Y前进一个像素方格，就会产生一个新的输出像素，图中深蓝色的代

表要输出的像素方格，走完全部的像素方格，就得到了所有输出像素。

图中，粉红色的矩阵表示卷积操作数矩阵，黑色表示源图像– 每个方格代表一个像素点。

二：卷积在数字图像处理中应用

一副数字图像可以看作一个二维空间的离散函数可以表示为f(x, y), 假设有对于二维卷积操

作函数C(u, v) ，则会产生输出图像g(x, y) = f(x, y) \*C(u,v), 利用卷积可以实现对图像模糊处理，边缘检测，产生轧花效果的图像。

![0_13229664992ZsP.gif][]

一个简单的数字图像卷积处理流程可以如下：

1. 读取源图像像素

2. 应用卷积操作数矩阵产生目标图像

3. 对目标图像进行归一化处理

4. 处理边界像素

三：一个纯[Java][]的卷积模糊图像效果

![0_1322966691v2mM.gif][]

四：关键代码解释

完成对像素点RGB颜色的卷积计算代码如下：

// red color

out3DData\[row\]\[col\]\[1\] =in3DData\[row\]\[col\]\[1\] +

in3DData\[row-1\]\[col\]\[1\] +

in3DData\[row+1\]\[col\]\[1\] +

in3DData\[row\]\[col-1\]\[1\] +

in3DData\[row-1\]\[col-1\]\[1\] +

in3DData\[row+1\]\[col-1\]\[1\] +

in3DData\[row\]\[col+1\]\[1\] +

in3DData\[row-1\]\[col+1\]\[1\] +

in3DData\[row+1\]\[col+1\]\[1\];

// green color

out3DData\[row\]\[col\]\[2\] =in3DData\[row\]\[col\]\[2\] +

in3DData\[row-1\]\[col\]\[2\] +

in3DData\[row+1\]\[col\]\[2\] +

in3DData\[row\]\[col-1\]\[2\] +

in3DData\[row-1\]\[col-1\]\[2\] +

in3DData\[row+1\]\[col-1\]\[2\] +

in3DData\[row\]\[col+1\]\[2\] +

in3DData\[row-1\]\[col+1\]\[2\] +

in3DData\[row+1\]\[col+1\]\[2\];

// blue color

out3DData\[row\]\[col\]\[3\] =in3DData\[row\]\[col\]\[3\] +

in3DData\[row-1\]\[col\]\[3\] +

in3DData\[row+1\]\[col\]\[3\] +

in3DData\[row\]\[col-1\]\[3\] +

in3DData\[row-1\]\[col-1\]\[3\] +

in3DData\[row+1\]\[col-1\]\[3\] +

in3DData\[row\]\[col+1\]\[3\] +

in3DData\[row-1\]\[col+1\]\[3\] +

in3DData\[row+1\]\[col+1\]\[3\];

计算归一化因子以及对卷积结果归一化处理的代码如下：

// find the peak data frominput and output pixel data.

int inpeak = 0;

int outPeak = 0;

for(int row=0; row<srcH; row++) \{

for(int col=0; col<srcW; col++) \{

if(inpeak < in3DData\[row\]\[col\]\[1\]) \{

inpeak = in3DData\[row\]\[col\]\[1\];

if(inpeak < in3DData\[row\]\[col\]\[2\]) \{

inpeak = in3DData\[row\]\[col\]\[2\];

if(inpeak < in3DData\[row\]\[col\]\[3\]) \{

inpeak = in3DData\[row\]\[col\]\[3\];

if(outPeak < out3DData\[row\]\[col\]\[1\]) \{

outPeak = out3DData\[row\]\[col\]\[1\];

if(outPeak < out3DData\[row\]\[col\]\[2\]) \{

outPeak = out3DData\[row\]\[col\]\[2\];

if(outPeak < out3DData\[row\]\[col\]\[3\]) \{

outPeak = out3DData\[row\]\[col\]\[3\];

// normalization

double outputScale = ((double) inpeak) / ((double)outPeak);

for(int row=0; row<srcH; row++) \{

for(int col=0; col<srcW; col++) \{

out3DData\[row\]\[col\]\[1\] = (int)(outputScale \* out3DData\[row\]\[col\]\[1\]);

out3DData\[row\]\[col\]\[2\] = (int)(outputScale \* out3DData\[row\]\[col\]\[2\]);

out3DData\[row\]\[col\]\[3\] = (int)(outputScale \* out3DData\[row\]\[col\]\[3\]);

五：本文没有提及的内容 –边界像素处理

没有处理边缘像素，对边缘像素的处理，有两个可以参考的方法

其一是直接填充法– 超出边界部分的以边界像素填充。

其二是线性插值法– 超出边界部分的以 i/row的像素填充。

# **第三部分：矩阵卷积转换为矩阵相乘** #

**来自：[http://blog.csdn.net/anan1205/article/details/12313593][http_blog.csdn.net_anan1205_article_details_12313593]**

两个矩阵卷积转化为矩阵相乘形式——Matlab应用(这里考虑二维矩阵，在图像中对应)两个图像模糊（边缘）操作，假设矩阵A、B，A代表源图像，B代表卷积模板，那么B的取值决定最后运算的结果。

Matlab中的应用函数——conv2（二维卷积，一维对应conv）

函数给出的公式定义为：

![SouthEast][]

同一维数据卷积一样，它的实质在于将卷积模板图像翻转（旋转180），这里等同于一维信号的翻转，然后将卷积模板依次从上到下、从左到右滑动，计算在模板与原始图像交集元素的乘积和，该和就作为卷积以后的数值。

为了验证后续矩阵卷积转化为矩阵相乘，这里给出的conv2的实例描述：

假设矩阵A（4\*3）、B（2\*3）如下：

![SouthEast 1][]

首先，B需要旋转180，

命令旋转2次90即可：

B = rot90(rot90(B));或者B = rot90(h,2); 结果为：

![SouthEast 2][]

其次：命令conv2函数：

C = conv2(A,B，‘shape’),该函数的具体操作图示：

![SouthEast 3][]

依次计算直至结束，结果数据为：

![SouthEast 4][]

shape的取值有三种，full代表返回卷积以后的全部数据，size为(mA+mB-1,nA+nB-1)的数据；same代表返回卷积以后的原图size (mA,nA)的部分数据；valid返回size为(mA-mB+1,nA-nB+1)的数据，指的是模板元素全部参加运算的结果数据，即源图像和模板的交集为模板。

矩阵卷积转化为矩阵相乘，网上也有很多方法，通俗化表示为：

A×B = B1\*A1;

需要针对原始数据与模板数据做变换，变换过程如下：

![SouthEast 5][]

**首先进行周期延拓，补零：**

M = mA+mB-1 = 5; N = nA+nB-1 = 5，对应卷积以后full数据大小。

那么初次换换的A和B为：

![SouthEast 6][]

**其次对A1和B1分别进行变换**

转化B1——针对B1以及转换矩阵方法为：

![SouthEast 7][]

![SouthEast 8][]

将B1中的每一行向量依次按照B转化为一个方形矩阵Ba~Be，然后针对于每一个方形矩阵按照B矩阵组合成一个新的矩阵B1。B1矩阵的大小为（（mA+mB-1）\*（nA+nB-1），（mA+mB-1）\*（nA+nB-1））。

**转化A1——堆叠向量式**

将上个步骤转换的A1按照行向量顺寻依次转化为一个列向量，那么列向量的大小为（（mA+mB-1）\*（nA+nB-1），1）大小。

![SouthEast 9][]

针对实例：具体代码为：

**周期延拓：**

**转化A——>A1**

**\[plain\]** [view plain][] [copy][view plain]

[![在CODE上查看代码片][CODE]][CODE_CODE][![派生到我的代码片][ico_fork.svg]][ico_fork.svg 1]

1.    
    \[m1,n1\] = size(A); \[m2,n2\] = size(B);
2.    
    m=m1+m2-1;n=n1+n2-1;
3.    
    AA = padarray(A,\[m2-1,n2-1\],’post’);%%%补零
4.    
    BB = padarray(B,\[m1-1,n1-1\],’post’);%%%补零
5.    
    AA =AA’;
6.    
    A1 = AA(:);%%%%

**转化B——>B1**

**\[plain\]** [view plain][] [copy][view plain]

[![在CODE上查看代码片][CODE]][CODE_CODE] [![派生到我的代码片][ico_fork.svg]][ico_fork.svg 1]

1.  B2(1,:) = BB(1,:);
2.  for i =2:m
3.  B2(i,:) = BB(m-i+2,:);
4.  end %%%矩阵a ~ e的重新赋值
5.  
6.  B4 = zeros(n,n);%%%%%%%每一行转化的方阵
7.  B1 = zeros(m\*n,m\*n);%%%%%最后的矩阵
8.  for i =1:m%%%%%%%%几维向量
9.  B = B2(i,:);
10. if sum(sum(abs(B))==0)
11. B4 = zeros(n,n);
12. else
13. for j = 1:n%%%%%%%元素
14. for k =0:n-1%%%%%%%%位置(搞定一行向量转化为方阵的形式)
15. t = mod(j+k,n);
16. if t==0
17. t = n;
18. end %%%end if
19. B4(t,k+1) = B(j);
20. end %%%end for
21. end %%%end for
22. for k =0:m-1%%%%%%%%每一个转换矩阵在大矩阵中的位置编号（搞定小方阵在大阵中的位置转化为大方阵的形式）
23. t = mod(i+k,m);
24. if t==0
25. t = m;
26. end %%%end if
27. B1(k\*n+1:(k+1)\*n,(t-1)\*n+1:t\*n) = B4;
28. end %%%end for
29. end %%%end if else
30. end %%%end for

结果数据转化：

**\[plain\]** [view plain][] [copy][view plain]

[![在CODE上查看代码片][CODE]][CODE_CODE][![派生到我的代码片][ico_fork.svg]][ico_fork.svg 1]

1.    
    Result = B1\*A1;
2.    
    Result = reshape(Result,n,m);
3.    
    Result = Result’;

得到的结果等同于conv2的数据结果：

![SouthEast 10][]

利用matlab接口更快的实现方法：

还是以5 \* 5的原始数据与3\*3的卷积核为例子：

代码如下：

**\[html\]** [view plain][] [copy][view plain]

[![在CODE上查看代码片][CODE]][CODE_CODE][![派生到我的代码片][ico_fork.svg]][ico_fork.svg 1]

1.    
    dd\_data = \[1,2,4,5,6;6,8,9,1,3;6,8,9,2,4;7,3,5,7,5;1,5,8,9,3\]; % 5 \* 5
2.    
    f\_k = \[3,4,5;6,7,8;3,2,1\]; % 3 \* 3
3.    
    dd\_data\_f\_k = conv2(dd\_data,f\_k,’full’); % matlab 函数接口
4.    
    dd\_data1 = padarray(dd\_data,\[2 2\],’both’); % 扩充原始数据
5.    
    v\_dd\_data = im2col(dd\_data1,\[3 3\]);% 块数据向量化
6.    
    f\_k1 = f\_k(:);
7.    
    f\_k1 = f\_k1(end : -1 :1);
8.    
    f\_k1 = f\_k1‘; % 卷积核的表示
9.    
    dd\_data\_f\_k1 = f\_k1 \* v\_dd\_data; % 卷积转化为相乘
10.   
    dd\_data\_f\_k1 = reshape(dd\_data\_f\_k1,\[7 7\]); % 转化为结果数据

[http_blog.csdn.net_frankyzhangc_article_details_6990782]: http://blog.csdn.net/frankyzhangc/article/details/6990782
[http_blog.csdn.net_jia20003_article_details_7038938]: http://blog.csdn.net/jia20003/article/details/7038938
[0_13229664992ZsP.gif]: /images/20220519/de723af84a384a49932a8504f8cd8fb8.png
[Java]: http://lib.csdn.net/base/17
[0_1322966691v2mM.gif]: /images/20220519/3f2929ec5b9246dca58792f0f7a7cdea.png
[http_blog.csdn.net_anan1205_article_details_12313593]: http://blog.csdn.net/anan1205/article/details/12313593
[SouthEast]: /images/20220519/46828999bd454c058d1059b682be1fc2.png
[SouthEast 1]: /images/20220519/edd82339493f4710ad19f3c42e4cbeb4.png
[SouthEast 2]: /images/20220519/1854d47cafef4e7690ac7cdbea256cc1.png
[SouthEast 3]: /images/20220519/c15b656a8be949e39feeb455f66967f0.png
[SouthEast 4]: /images/20220519/a02a8ae72c764d1ebcacc9409cb59549.png
[SouthEast 5]: /images/20220519/b19d6a876ee14438be0ae33b37c626d7.png
[SouthEast 6]: /images/20220519/af6bf509d53d4a52a046da986b862292.png
[SouthEast 7]: /images/20220519/77ab4bdb813844f19f598210b0bb2233.png
[SouthEast 8]: /images/20220519/e3a564ddb846486788e4c61a4533d8ea.png
[SouthEast 9]: /images/20220519/6e27387c87ac4813a076e1ee201c0839.png
[view plain]: http://blog.csdn.net/anan1205/article/details/12313593#
[CODE]: https://code.csdn.net/assets/CODE_ico.png
[CODE_CODE]: https://code.csdn.net/snippets/1674276
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[ico_fork.svg 1]: https://code.csdn.net/snippets/1674276/fork
[SouthEast 10]: /images/20220519/779eb43dd9114418baccdb2ad56840c6.png