定点数的加减法

向右看齐 2022-05-17 11:14 253阅读 0赞

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数值运算的核心是指加、减、乘、除四则算术。由于计算机中的数有定点和浮点两种表示形式，因此相应有定点数的运算和浮点数的运算。本文将介绍计算机中定点数的加减法运算过程。

注意，理解本文的前提是要清楚知道顶点数的源码、反码和补码的含义，以及定点数在计算机中的表示形式。

# 1.补码加法 #

由于计算机中定点数均以补码的方式表示和存储（个人观点，有待证明），采用补码表示法进行加减运算比源码方便多了，因为不论是正还是负，机器总是做加法，减法运算可变成加法运算。

这里再次说明定点定点数（定点整数和定点小数）的源码、反码和补码的表示规则：  
**正数**的符号位为0，反码和补码等同于源码。  
**负数**符号位都固定为1，源码，反码和补码的表示都不相同，由原码表示法变成反码和补码有如下规则：  
（1）源码符号位为1不变，整数的每一位二进制数位求反得反码；  
（2）反码符号位为1不变，反码数值位最低位加1得补码。

## 1.1补码加法公式 ##

补码加法公式是：

\[x\]补+\[y\]补=\[x+y\]补(mod2n)\[x\]补+\[y\]补=\[x+y\]补(mod2n)

这里说一下上面公式的意思。mod2nmod2n表示的是模运算，2n2n为模，这个模表示被丢掉的值。上面的式子在数学上成为为同余式，即等式两边的值取2n2n的余数是相等的。

以钟表为例，说明模运算。一个钟表有12个小时刻度，时间确实0-24小时。假设现在的标准时间是4点整，而有一个表已经7点了，为了校准时间，可以采用两种方法：一是将时针退7-4=3格；二是将时针向前拨12-3=9格。这两种方法都能对准到4点。由此可见，7-3和7+9是等价的。等价的条件就是以模为12的模运算的情况下等价，即除以12取余。以数学公式表示如下：

7−3=7+9(mod12)7−3=7+9(mod12)

## 1.2补码加法公式证明 ##

可分五种情况来证明。假设采用定点整数表示。不包括溢出情况，该情况会另行讨论。

**（1）x>0, y>0, 则x+y>0**  
由补码定义，\[x\]补=x,\[y\]补=y\[x\]补=x,\[y\]补=y, 所以\[x\]补+\[y\]补=x+y=\[x+y\]补\[x\]补+\[y\]补=x+y=\[x+y\]补

**（2）x<0, y<0, 则(x+y)<0**

\[x\]补+\[y\]补=2n+x+2n+y=2n+(2n+x+y)=\[x+y\]补\[x\]补+\[y\]补=2n+x+2n+y=2n+(2n+x+y)=\[x+y\]补

**（3）x>0, y<0, 则(x+y)<0或(x+y)>0**  
相加的两数一个为正，一个为负，因此相加结果有正、负两种可能。根据补码定义：\[x\]补=x,\[y\]补=2n+y\[x\]补=x,\[y\]补=2n+y，那么

\[x\]补+\[y\]补=x+2n+y=2n+(x+y)=\[x+y\]补\[x\]补+\[y\]补=x+2n+y=2n+(x+y)=\[x+y\]补

**（4）x<0, y>0, 则(x+y)<0或(x+y)>0**  
这种情况和第三种情况一样，将x和y对调即可，不再赘述。

**（5）当x=0或者y=0，或者x=y=0时**  
满足\[x\]补+\[y\]补=\[x+y\]补(mod2n)\[x\]补+\[y\]补=\[x+y\]补(mod2n)。

因此在模2n2n的意义下，任意两数的补码之和等于该两数之和的补码。这是补码加法的理论基础。

# 2.补码减法 #

负数的加法要利用补码化为加法来做，减法运算当然也要设法化为加法来做。其所以使用这种方法而不适用直接减法，是因为它可以和常规的加法运算使用同一加法器电路，从而简化了计算机的设计。

定点数用补码表示时，减法运算的公式为：

\[x\]补−\[y\]补=\[x\]补+\[−y\]补\[x\]补−\[y\]补=\[x\]补+\[−y\]补

为了证明这个公式，只要证明\[−y\]补=−\[y\]补\[−y\]补=−\[y\]补，上式即得证。

证明如下：  
因为\[x\]补+\[y\]补=\[x+y\]补\[x\]补+\[y\]补=\[x+y\]补，所以  
①\[y\]补=\[x+y\]补–\[x\]补\[y\]补=\[x+y\]补–\[x\]补

又\[x–y\]补=\[x+(–y）\]补=\[x\]补+\[–y\]补\[x–y\]补=\[x+(–y）\]补=\[x\]补+\[–y\]补，所以  
②\[–y\]补=\[x–y\]补–\[x\]补\[–y\]补=\[x–y\]补–\[x\]补

①+②得\[–y\]补+\[y\]补=\[x–y\]补–\[x\]补+\[x+y\]补–\[x\]补=\[x–y\]补+\[x+y\]补–\[x\]补–\[x\]补=\[x–y+x+y\]补–\[x\]补–\[x\]补=\[2x\]补–2\[x\]补=0\[–y\]补+\[y\]补=\[x–y\]补–\[x\]补+\[x+y\]补–\[x\]补=\[x–y\]补+\[x+y\]补–\[x\]补–\[x\]补=\[x–y+x+y\]补–\[x\]补–\[x\]补=\[2x\]补–2\[x\]补=0

从而有 \[–y\]补=–\[y\]补(mod2n)\[–y\]补=–\[y\]补(mod2n)

因此，只要求得\[–y\]补\[–y\]补，就可以变减法为加法，已知\[y\]补\[y\]补，求\[–y\]补\[–y\]补的法则是：

对\[y\]补\[y\]补各位（包括符号位）取反，然后在末位加上1，就可以得到\[–y\]补\[–y\]补。

**示例：**  
\[X\]补=00110110，\[Y\]补=11001101\[X\]补=00110110，\[Y\]补=11001101，求\[X\]补+\[Y\]补，\[X\]补−\[Y\]补\[X\]补+\[Y\]补，\[X\]补−\[Y\]补 ，其中x=54，y=-51。  
![这里写图片描述][20160117232112018]

# 3.溢出概念与检测方法 #

## 3.1溢出的概念 ##

在定点整数机器中，数的表示范围|x|<(2n−1)|x|<(2n−1)。在运算过程中如出现大于字长绝对值的现象，称为“溢出”。在定点机器中，正常情况下溢出是不允许的。

例：设定点整数字长8位，补码表示（最高位为符号位），表示范围为-128~127，运算结果超出此范围就发生溢出。

两个负数相加的结果小于机器所能表示的最小负数，结果变为负数，成为**负溢**。

两个正数相加，结果大于机器字长所能表示的最大正数，结果成为变为负数，称为**正溢**。

下面以具体的例子来演示正常的运算和溢出时的运算。  
![这里写图片描述][20160117234731544]

![这里写图片描述][20160117234743260]

![这里写图片描述][20160117234455401]

![这里写图片描述][20160117234709196]

## 3.2溢出的检测方法 ##

为了判断溢出是否发生可采用以下两种检测方法。

（1）单符号法  
当两个操作数同号时，而其和的符号与操作数的符号不一致则就发出溢出，公式表示如下：

溢出=A¯¯¯¯nB¯¯¯¯nSn+AnBnS¯¯¯n溢出=A¯nB¯nSn+AnBnS¯n

注意：  
a、若是同号相减或异号相加，则运算结果不可能溢出；  
b、若是同号相加或异号相减，则运算结果可能溢出。

（2）采用最高有效位的进位判断

溢出=C¯¯¯¯nCn−1+CnC¯¯¯¯n−1=C¯¯¯¯n⨁C¯¯¯¯n−1溢出=C¯nCn−1+CnC¯n−1=C¯n⨁C¯n−1

符号位产生的进位与最高有效位产生的进位情况不同，则溢出。

（3）采用变形补码判断(双符号位)  
用Sn+1、SnSn+1、Sn分别表示结果最高符号位和第2个符号位。

溢出=Sn+1⨁Sn溢出=Sn+1⨁Sn

01：结果正溢;  
10：结果负溢;

定点整数的加减运算完成之后，会由硬件逻辑电路进行溢出检测，如果发现存在溢出，则产生硬件中断 。

# 4.定点小数的加减运算法则 #

定点小数是定点数的一种，其运算法则和步骤与定点整数一致，不再赘述。下面举个仅以双符号位补码来表示定点小数的补码加减运算示例。

![这里写图片描述][20160118110021226]

![这里写图片描述][20160118110035108]

![这里写图片描述][20160118110045516]

![这里写图片描述][20160118110055797]

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# 参考文献 #

\[1\]计算机组成原理第四版\[M\].白中英.科学出版社  
\[2\][http://wenku.baidu.com/link?url=BL5mztNkNIvtPKAF96-iHRPIUQLimljQ9bci9Vy5yGyjhfMe8F\_wjxTYHgGG3MbgdMsEU-18oG27u5Tw4Q\_ffmRqSg9imaPzif-0Vs3f8g3][http_wenku.baidu.com_link_url_BL5mztNkNIvtPKAF96-iHRPIUQLimljQ9bci9Vy5yGyjhfMe8F_wjxTYHgGG3MbgdMsEU-18oG27u5Tw4Q_ffmRqSg9imaPzif-0Vs3f8g3]

[https_blog.csdn.net_K346K346_article_details_50530004]: https://blog.csdn.net/K346K346/article/details/50530004
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