二分查找及一般拓展总结

谁借莪１个温暖的怀抱￠ 2022-05-17 01:21 116阅读 0赞

**二分-不止是查找哦**

二分过程：首先，假设表中元素是按升序排列，将表中间位置记录的[关键字][Link 1]与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功；否则利用中间位置[记录][Link 2]将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，否则进一步查找后一子表。重复以上过程，直到找到满足条件的[记录][Link 2]，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。（摘自百度百科）

很显然，使用二分查找需要满足两个要求

1.必须采用[顺序存储结构][Link 3]。

2.必须按关键字大小有序排列。

不断缩小一半的范围，所以时间复杂度O(logn).

贴出有序数组中二分查找的代码

int bsearchWithoutRecursion(int array[],int low,int high,int target)
    {
        while(low<=high)
            {
                int mid=low+(high-low)/2;
     /*使用(low+high)/2会有整数溢出的问题
                （问题会出现在当low+high的结果大于表达式结果类型所能表示的最大值时，
                    这样，产生溢出后再/2是不会产生正确结果的，而low+((high-low)/2)
                    不存在这个问题*/
                if(array[mid]>target)high=mid-1;
                else if(array[mid]<target)low=mid+1;
                else return mid;
            }
        return-1;
    }

# 一、淘汰一半即可 #

进一步：二分搜索算法不一定只能在有序数组中进行，只要你在查找的时候发现可以很确定的淘汰数组的一半，留下另一半，那么都是可以用二分搜索的。

来一道水题来说明。

## **题目描述** ##

把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转。 输入一个非减排序的数组的一个旋转，输出旋转数组的最小元素。 例如数组\{3,4,5,1,2\}为\{1,2,3,4,5\}的一个旋转，该数组的最小值为1。 NOTE：给出的所有元素都大于0，若数组大小为0，请返回0。

链接https://www.nowcoder.com/practice/9f3231a991af4f55b95579b44b7a01ba?tpId=13&tqId=11159&tPage=2&rp=2&ru=/ta/coding-interviews&qru=/ta/coding-interviews/question-ranking

思路：因为旋转过去的都大于右边的。

设左右端点，中间位置大于右边说明中间位置为旋转过去的，最小值在右边，向右继续查找；

否则说明中间位置为未旋转区域，最小值在左边，向左查找。

继续

## 来看题： ##

![70][]

本题一般思路：依次查找找到比前后都小的数；或者选出最小数，他肯定是局部最小的；等等

但这些都是O(n)的方法，而用二分可以做到O(logn).

二分思路：

考虑最左和最右的元素：如果arr\[0\]<arr\[1\] return0; arr\[N-1\]<arr\[N-2\] returnN-1;

考虑最中间元素，如果中间元素大于它左边的元素，那么局部最小值就应该在数组的左半部分

如果中间元素小于大于它右边的元素，那么局部最小值就应该在数组的右半部分

中间元素既小于它左边的值又小于它右边的值，那么它就是局部最小

# **最大化或最小化问题** #

如果在求解最大最小问题中，能比较简单的判断某个解是否满足条件（这里的简单一般指的是o(n)及以下，视具体数据范围而定），使用二分搜索答案就能很好的解决问题。

## 举个例子，POJ1064 ##

题目链接：[http://poj.org/problem?id=1064][http_poj.org_problem_id_1064]

题目大意：有n条绳子，长度分别为L\[i\]。如果从他们中切割出k条长度相同的绳子的话，这k条绳子每条最长能有多长？（答案保留小数点后两位，规定1单位长度的绳子最多可以切割成100份）。

思路：二分搜索答案，每条最短0，最大设置一个较大的数，然后开始二分答案并依次判断，判断也很简单，判断每个绳子的长度整除答案的累加和是不是大于k就好了。

#include <cstdio>
    #include <cmath>
    using namespace std;
    const int M=10005;
    const double inf=200005.0;
    double L[M];
    int n,k;
    bool judge(double x)//判断解是否可行
    {
        int num=0;
        for(int i=0;i<n;i++)num+=(int)(L[i]/x);
        return num>=k;
    }
    void solve()//二分答案
    {
        double left=0,right=inf;
        for(int i=0;i<100;i++) //代替while(r>l) 避免了精度问题
        { //1次循环可以把区间缩小一半，100次可以达到10^(-30)的精度
            double mid=(left+right)/2;
            if(judge(mid)) left=mid;
            else right=mid;
        }
        printf("%.2f\n",floor(right*100)/100);
    }
    int main()
    {
        while(scanf("%d%d",&n,&k)!=-1)
        {
            for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lf",&L[i]);
            solve();
        }
    }

## POJ2456 ##

题意：

有n个牛栏，选m个放进牛，相当于一条线段上有 n 个点，选取 m 个点，

使得相邻点之间的最小距离值最大

思路：和上一道题类似，二分答案，判断答案也很简单，贪心即可，遍历，遇到大于枚举的距离就放一只牛，看最后能不能放得下。

代码不贴了

# **最大化平均值** #

刚开始做这种题的时候，只知道没有按单位价值贪心那么简单，因为物体质量越大它占的比重越大，对总体的影响就越大。单位价值=总价值/总质量，

[Link 1]: https://baike.baidu.com/item/%E5%85%B3%E9%94%AE%E5%AD%97
[Link 2]: https://baike.baidu.com/item/%E8%AE%B0%E5%BD%95/1837758
[Link 3]: https://baike.baidu.com/item/%E9%A1%BA%E5%BA%8F%E5%AD%98%E5%82%A8%E7%BB%93%E6%9E%84
[70]: /images/20220517/73c3a56fb75642f9acd1906de6d606bd.png
[http_poj.org_problem_id_1064]: http://poj.org/problem?id=1064