数学，我拿你怎么办（1）？

男娘i 2022-05-14 10:59 242阅读 0赞

由于笔者在上学的期间，时常将数学课当成能够睡觉的课，造成很多基本的数学知识印象不深或者全部忘记了，但最近又要研究算法相关的内容。「人算，终究不如天算」笔者本着不会就学的理念，还是觉得整理一份学习的数学知识出来。

**注意**：此处只是做知识汇总，所以很多内容将直接照抄百度/维基百科

## 概率论 ##

概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象而言的。在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。随机现象则是指在基本条件不变的情况下，每一次试验或者观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。例如，掷一枚硬币，可能会出现正面或者反面。

### 定理： ###

*  定理1
    
    互补法则，与 A 互补事件的概率始终是 1-P(A)
 *  定理2
    
    不可能事件的概率为零
 *  定理3
    
    如果A1…An事件不能同时发生（为[互斥][Link 1]事件），而且若干事件A1，A2，…An∈S每两两之间是[空集][Link 2]关系，那么这些所有事件[集合][Link 3]的概率等于单个事件的概率的和。
    
    eg: 在一次掷骰子中，得到5点或者6点的概率是：P=P(A5)\+P(A6)  P = P ( A 5 ) + P ( A 6 ) 
 *  定理4
    
    如果事件 A，B 是差集关系，则有P(A−B)=P(A)−P(A⋂B)  P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A ⋂ B ) 
 *  定理5
    
    任意事件加法法则，对于事件空间 S 中的任意两个事件 A 和 B，有如下定理：概率P(A⋃B)=P(A)\+P(B)−P(A⋂B)  P ( A ⋃ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ⋂ B ) 
 *  定理6
    
    事件 A，B 同时发生的概率
    
    P(A⋂B)=P(A)∗P(B|A)=P(B)∗P(A|B)  P ( A ⋂ B ) = P ( A ) ∗ P ( B | A ) = P ( B ) ∗ P ( A | B ) 
 *  定理7
    
    两个不相关联事件 A，B 同时发生的概率是：P(A⋂B)=P(A)∗P(B)  P ( A ⋂ B ) = P ( A ) ∗ P ( B ) 
    
    **注意**： 这个定理实际上是定理 6 的特殊情况，如果事件 A、B 没有联系，则有P(A|B)=P(A)  P ( A | B ) = P ( A )  ，以及P(B|A)=P(B)  P ( B | A ) = P ( B )  。

### 完全概率 ###

完全概率适用于分析具有多层结构的随机试验情况

n 个事件H1，H2  H 1 ， H 2  …Hn  H n  互相独立，共同组成整个事件空间 S，即Hi⋂Hj=∅  H i ⋂ H j = ∅  ，而且H1⋃H2⋃H3⋂...Hn=S  H 1 ⋃ H 2 ⋃ H 3 ⋂ . . . H n = S  。这时 A 的概率可以表示为P(A)=∑njP(A|Hj)∗P(Hj)  P ( A ) = ∑ j n P ( A | H j ) ∗ P ( H j )

### 贝叶斯定理 ###

### 参考 ###

*  [维基百科][Link 4]
 *  [百度百科][Link 5]

## 数学期望 ##

在概率论和统计学中，数学期望（或均值）是每次实验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反应随机变量取平均值的大小，又称为加权平均 E(x)  E ( x )  。期望值不一定包含于变量的输出值集合里。

### 离散型 ###

随机变量只取得有限个值或无穷能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为离散型随机变量。

离散型随机变量 X 的取值为 X1,X2,X3,...,Xn，p(X1),p(X2),p(X3),...,p(Xn)  X 1 , X 2 , X 3 , . . . , X n ， p ( X 1 ) , p ( X 2 ) , p ( X 3 ) , . . . , p ( X n ) 为 X 对应取值的概率，可理解为数据X1,X2,X3,...,Xn出现的频率f(Xi)  X 1 , X 2 , X 3 , . . . , X n 出 现 的 频 率 f ( X i )  ,则：

E(x)=X1∗p(X1)\+X2∗p(X2)\+...\+Xn∗p(Xn)=X1∗f(X1)\+X2∗f(X2)\+...\+Xn∗f(Xn)  E ( x ) = X 1 ∗ p ( X 1 ) + X 2 ∗ p ( X 2 ) + . . . + X n ∗ p ( X n ) = X 1 ∗ f ( X 1 ) + X 2 ∗ f ( X 2 ) + . . . + X n ∗ f ( X n )

E(x)=∑∞1xkPk  E ( x ) = ∑ 1 ∞ x k P k

### 连续型 ###

设连续性随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)  f ( x )  ，若积分绝对收敛，则积分的值∫∞−∞xf(x)dx  ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x  为随机变量的数学期望，记为 E(x)  E ( x )

E(x)=∫∞−∞xf(x)dx  E ( x ) = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x

若随机变量 X 的分布函数 F(x) 可表示成一个非负可积函数 f(x) 的积分，则称为 X 为连续性随机变量，f(x) 称为 X 的概率密度函数。

数学期望 E(x)  E ( x )  完全由随机变量 X 的概率分布所确定。若 X 服从某一分布，也称 E(x)  E ( x )  是这一分布的数学期望。

**注** ：笔者渣渣的数学水平，第一次知道数学期望还需要区分连续型的，更可怕的是这个好像还跟一个叫**蒙特卡罗** 的积分有关，这个公式跟机器学习的**采样**有关（ps 都是眼泪）

### 参考 ###

*  [百度百科][Link 6]
 *  [维基百科][Link 7]

## 积分 ##

积分是微积分和数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为坐标平面，由曲线、直线以及轴围城的曲边梯形的**面积值** 。

### 概念 ###

如果一个函数的积分存在，并且有限，就说这个函数是**可积的**。一般来说，被积函数不一定只有一个[变量][Link 8]，积分域也可以是不同[维度][Link 9]的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。如同上面介绍的，对于只有一个变量x的实值函数f，f在闭区间\[a,b\]上的积分记作

∫abf(x)dx  ∫ b a f ( x ) d x

其中在黎曼积分中，d(x)  d ( x )  表示分割区间的标记。

**看了上面的描述，结合知乎上有个回答会更容易理解：**

提起微积分，脑子里要出现这样一幅图：

![积分][70]

概念的话，求积分就是求上面阴影部分的面积，dx就是把定义域的x范围无限分（微分）其中的一份如x1 到x2 这一小段就是dx。同理，dy就是值域的无限分为f(x2)−f(x1)  f ( x 2 ) − f ( x 1 ) 。

dy/dx 是f(x)一个微分成dx dy围成的小三角形的tan值。称之为**导数**。但这只是宏观上的。如果微观的话，dy/dx与f（x）的导数并不相等。中间差一个极小的值

### 参考 ###

*  [百度百科][Link 10]
 *  [维基百科][Link 11]
 *  [微积分导数中 dx 的含义是什么][dx]

## 蒙特卡罗积分 ##

蒙特卡罗方法是一种计算方法。原理是通过大量随机样本，去了解一个系统，进而得到所要计算的值。

公式：FN=1N∑Nif(Xi)pdf(Xi)  F N = 1 N ∑ i N f ( X i ) p d f ( X i )

*  上述公式没有积分符号，但被认为是理想积分的近似，所以被称为积分
 *  采样样本越多，就越逼近真实的积分结果

推导过程和详细的描述看[蒙特·卡罗(Monte Carlo)积分详解][Monte Carlo]这个吧，笔者实在是写不下去了，markdown 写数学公式符号真的是一言难尽呀！

### 参考资料 ###

*  [蒙特·卡罗(Monte Carlo)积分详解][Monte Carlo]
 *  [受限波尔兹曼机（RBM）学习笔记（一）预备知识][RBM]

未完待续，余生这么长，多得是与数学斗智斗勇的日子！！！

[Link 1]: https://baike.baidu.com/item/%E4%BA%92%E6%96%A5
[Link 2]: https://baike.baidu.com/item/%E7%A9%BA%E9%9B%86
[Link 3]: https://baike.baidu.com/item/%E9%9B%86%E5%90%88
[Link 4]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA
[Link 5]: https://baike.baidu.com/item/%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/829122
[Link 6]: https://baike.baidu.com/item/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%9C%9F%E6%9C%9B
[Link 7]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%9F%E6%9C%9B%E5%80%BC
[Link 8]: https://baike.baidu.com/item/%E5%8F%98%E9%87%8F
[Link 9]: https://baike.baidu.com/item/%E7%BB%B4%E5%BA%A6
[70]: /images/20220514/c171223325b2469190a821ba88875128.png
[Link 10]: https://baike.baidu.com/item/%E7%A7%AF%E5%88%86/5749068
[Link 11]: https://zh.wikipedia.org/zh-hans/%E7%A7%AF%E5%88%86
[dx]: https://www.zhihu.com/question/24223482
[Monte Carlo]: https://www.qiujiawei.com/monte-carlo/
[RBM]: https://blog.csdn.net/itplus/article/details/19168937