算法导论 9.3-8 求两个数组的中位数

逃离我推掉我的手 2022-05-13 12:50 207阅读 0赞

# 一、题目 #

设X\[1..n\]和Y\[1..n\]为两个数组，每个都包含n个已排好序的数，给出一个求数组X和数组Y中所有2n个元素的中位数的O(lgn)时间的算法

# 二、思路 #

递归求解该问题，解题规模不断减半，最后剩下4个元素时，得到问题的解，

本文求的是下中位数，下中位数的特点是：

（1）当n为奇数，令n = 2 \* m + 1，下中位数是第m+1小的数，数组中有m个数小于下中位数，有m个数大于下中位数。当数组中的一个数满足以下特点中的任意一个时，认为该数不是下中位数：a.至少有m+1个数比x大b.到少有m+1个数比x小

（2）当n为偶数，令n = 2 \* m，下中位数是第m+1小的数，数组中有个m个数小于下中位数，有m-1个数大于下中位数。当数组中的一个数满足以下特点中的任意一个时，认为该数不是下中位数：a.至少有m个数比x大b.到少有m+1个数比x小

令Na为数组A中元素的个数，Nb为数组B中元素的个数，Ma是数组A中的下中位数，数组Mb是B中的下中位数，a=Na/2，b=Nb/2 。它们满足以下关系

（1）Na和Nb初始时相等，经过对数组的处理后，依然相等，奇偶性相同，同理a和b也始终相等

（2）Ma和Mb的大小不确定，本文例举了Ma>Mb的处理方法

可以把问题分为以下两种情况：

（1）Na和Nb都是偶数，令Na=2\*a，Nb=2\*b，a=b，Ma>Mb（初始情况）

分析：

在数组A中有a个数字小于Ma，有a-1个数字大于Ma

在数组B中有b个数字小于Mb，有b-1个数字大于Mb

Ma>Mb =====> 大于Ma的数字都大于Mb，小于Mb的数字都小于Ma

=====> A和B中至少有a+b+1个数字小于Ma，至少有a+b-1个数字大于Mb

=====>所有大于Ma（不包括Ma）的数字都不是中位数，所有小于Mb（不包括Mb）的数字都不是中位数

=====>A\[1..Na\] -> A\[1..a+1\]，B\[1..Nb\] -> B\[b+1..Nb\]

（2）Na和Nb都是偶数，令Na=2\*a+1，Nb=2\*b+1，a=b，Ma>Mb（初始情况）

分析：

在数组A中有a个数字小于Ma，有a个数字大于Ma

在数组B中有b个数字小于Mb，有b个数字大于Mb

Ma>Mb =====> 大于Ma的数字都大于Mb，小于Mb的数字都小于Ma

=====> A和B中至少有a+b+1个数字小于Ma，至少有a+b+1个数字大于Mb

=====>所有大于Ma（不包括Ma）的数字都不是中位数，所有小于Mb（包括Mb）的数字都不是中位数

=====>A\[1..Na\] -> A\[1..a+1\]，B\[1..Nb\] -> B\[b+1..Nb\]

经过上文中的分析，最终算法过程如下：

Step1：分别求出两个数组的中值midA和midB，比较midA和midB的大小

Step2：如果midA=midB，那么这个值就是这（nA+nB）个数中的中位数

Step3：如果midA < midB，A\[1..Na\] -> A\[1..a\]，B\[1..Nb\] -> B\[b+1..Nb\]，递归地对两个新的数组求中位数。

Step4：如果midA > midB，A\[1..Na\] -> A\[a+1..Na\]，B\[1..Nb\] -> B\[1..b\]，递归地对两个新的数组求中位数。

Step5：反复Step1-Step4中的递归操作，直到两个数组剩下的元素一共不超过4个，直接对这4个元素求中位数。

# 三、代码 #

//9.3-8
    #include <iostream>
    using namespace std;
    
    void Print(int *A, int s, int e)
    {
    	int i;
    	for(i = s; i <= e; i++)
    		cout<<A[i]<<' ';
    	cout<<endl;
    }
    //最坏情况线性时间的选择
    //已经出现很多次了，不解释
    int Partition(int *A, int p, int r)
    {
    	int x = A[r], i = p-1, j;
    	for(j = p; j < r; j++)
    	{
    		if(A[j] <= x)
    		{
    			i++;
    			swap(A[i], A[j]);
    		}
    	}
    	swap(A[i+1], A[r]);
    	return i+1;
    }
    int Select(int *A, int p, int r, int i);
    //对每一组从start到end进行插入排序，并返回中值
    //插入排序很简单，不解释
    int Insert(int *A, int start, int end, int k)
    {
    	int i, j;
    	for(i = 2; i <= end; i++)
    	{
    		int t = A[i];
    		for(j = i; j >= start; j--)
    		{
    			if(j == start)
    				A[j] = t;
    			else if(A[j-1] > t)
    				A[j] = A[j-1];
    			else
    			{
    				A[j] = t;
    				break;
    			}
    		}
    	}
    	return A[start+k-1];
    }
    //根据文中的算法，找到中值的中值
    int Find(int *A, int p, int r)
    {
    	int i, j = 0;
    	int start, end, len = r - p + 1;
    	int *B = new int[len/5+1];
    	//每5个元素一组，长度为start到end，对每一组进行插入排序，并返回中值
    	for(i = 1; i <= len; i++)
    	{
    		if(i % 5 == 1)
    			start = i+p-1;
    		if(i % 5 == 0 || i == len)
    		{
    			j++;
    			end = i+p-1;
    			//对每一组从start到end进行插入排序，并返回中值,如果是最后一组，组中元素个数可能少于5
    			int ret = Insert(A, start, end, (end-start)/2+1);
    			//把每一组的中值挑出来形成一个新的数组
    			B[j] = ret;	
    		}
    	}
    	//对这个数组以递归调用Select()的方式寻找中值
    	int ret = Select(B, 1, j, (j+1)/2);
    	//delete []B;
    	return ret;
    }
    //以f为主元的划分
    int Partition2(int *A, int p, int r, int f)
    {
    	int i;
    	//找到f的位置并让它与A[r]交换
    	for(i = p; i < r; i++)
    	{
    		if(A[i] == f)
    		{
    			swap(A[i], A[r]);
    			break;
    		}
    	}
    	return Partition(A, p, r);
    }
    //寻找数组A[p..r]中的第i大的元素，i是从1开始计数，不是从p开始
    int Select(int *A, int p, int r, int i)
    {
    	//如果数组中只有一个元素，则直接返回
    	if(p == r)
    		return A[p];
    	//根据文中的算法，找到中值的中值
    	int f = Find(A, p, r);
    	//以这个中值为主元的划分，返回中值在整个数组A[1..len]的位置
    	//因为主元是数组中的某个元素，划分好是这样的，A[p..q-1] <= f < A[q+1..r]
    	int q = Partition2(A, p, r, f);
    	//转换为中值在在数组A[p..r]中的位置
    	int k = q - p + 1;
    	//与所寻找的元素相比较
    	if(i == k)
    		return A[q];
    	else if(i < k)
    		return Select(A, p, q-1, i);
    	else
    		//如果主元是数组中的某个元素，后面一半要这样写
    		return Select(A, q+1, r, i-k);
    		//但是如果主元不是数组中的个某个元素，后面一半要改成Select(A, q, r, i-k+1)
    }
    int SelectMid(int *A, int start, int end)
    {
    	return Select(A, start, end, (end-start+1)/2+1);
    }
    //返回abcd中第二小的数，已经a<b,c<d
    int GetRet(int a, int b, int c, int d)
    {
    	if(a < c)
    	{
    		if(c < b)
    			return min(b, d);
    		return c;
    	}
    	else
    	{
    		if(a < d)
    			return min(b, d);
    		return a;
    	}
    }
    //算法过程
    int solve(int *A, int *B, int n)
    {
    	int ret;
    	int startA = 1, startB = 1, endA = n, endB = n;
    	while(1)
    	{
    		if(endA == startA)
    			return max(A[startA], B[startB]);
    		//如果只剩下4个元素，返回4个元素中第2小的元素
    		if(endA - startA == 1)
    		{
    			ret = GetRet(A[startA], A[endA], B[startB], B[endB]);
    			break;
    		}
    		//分别求得A和B中的中值，这里处理的情况是A和B不是排序的
    		//如果A和B是已经排序的，只需mid=A[(start+end)/2]就可以求得中值
    		int midA = SelectMid(A, startA, endA);
    		int midB = SelectMid(B, startB, endB);
    //		cout<<midA<<' '<<midB<<endl;
    //		Print(A, startA, endA);
    //		Print(B, startB, endB);
    		//SELECT算法包含划分的过程，所以可以直接截去不需要一半
    		//去掉数组A的前一半和数组B的后一半，注意保证去掉后AB的数组元素个数相等
    		if(midA == midB)
    		{
    			ret = midA;
    			break;
    		}
    		//去掉A的前半和数组B的后半，注意截后两个数组的元素相等
    		else if(midA < midB)
    		{
    			startA = startA + (endA - startA + 1) / 2;
    			endB = endB - (endB - startB + 1) / 2;
    		}
    		//去掉B的前半和数组A的后半，注意截后两个数组的元素相等
    		else
    		{
    			endA = endA - (endA-startA + 1) / 2;
    			startB = startB + (endB - startB + 1) / 2;
    		}
    //		Print(A, startA, endA);
    //		Print(B, startB, endB);
    	}
    	return ret;
    }
    //测试算法过程
    int main()
    {
    	int n, i;
    	while(cin>>n)
    	{
    		int *A = new int[n+1];
    		int *B = new int[n+1];
    		//生成随机数据
    		for(i = 1; i <= n; i++)
    		{
    			A[i] = rand() % 100;
    			B[i] = rand() % 100;
    		}
    		//打印生成的数据
    		Print(A, 1, n);
    		Print(B, 1, n);
    		//算法过程
    		int ret = solve(A, B, n);
    		//输出结果
    		cout<<ret<<endl;
    		delete A;
    		delete B;
    	}
    	return 0;
    }

# 四、测试 #

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转载自： [http://blog.csdn.net/mishifangxiangdefeng/article/details/7690461][http_blog.csdn.net_mishifangxiangdefeng_article_details_7690461]

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