如何直观地解释 backpropagation 算法

谁践踏了优雅 2022-05-13 07:42 197阅读 0赞

作者：Anonymous  
链接：https://www.zhihu.com/question/27239198/answer/89853077  
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BackPropagation算法是多层神经网络的训练中举足轻重的算法。  
简单的理解，它的确就是复合函数的链式法则，但其在实际运算中的意义比链式法则要大的多。  
要回答题主这个问题“如何直观的解释back propagation算法？” 需要先直观理解多层神经网络的训练。  
  
机器学习可以看做是数理统计的一个应用，在数理统计中一个常见的任务就是拟合，也就是给定一些样本点，用合适的曲线揭示这些样本点随着自变量的变化关系。  
  
深度学习同样也是为了这个目的，只不过此时，样本点不再限定为(x, y)点对，而可以是由向量、矩阵等等组成的广义点对(X,Y)。而此时，(X,Y)之间的关系也变得十分复杂，不太可能用一个简单函数表示。然而，人们发现可以用多层神经网络来表示这样的关系，而多层神经网络的本质就是一个多层复合的函数。借用网上找到的一幅图\[1\]，来直观描绘一下这种复合关系。

![808254232cd4983cac374c5cc2a1fc87_hd.png][]

其对应的表达式如下：

![e62889afe359c859e9a6a1ad2a432ebb_hd.png][]

上面式中的Wij就是相邻两层神经元之间的权值，它们就是深度学习需要学习的参数，也就相当于直线拟合y=k\*x+b中的待求参数k和b。  
  
和直线拟合一样，深度学习的训练也有一个目标函数，这个目标函数定义了什么样的参数才算一组“好参数”，不过在机器学习中，一般是采用成本函数（cost function），然后，训练目标就是通过调整每一个权值Wij来使得cost达到最小。cost函数也可以看成是由所有待求权值Wij为自变量的复合函数，而且基本上是非凸的，即含有许多局部最小值。但实际中发现，采用我们常用的梯度下降法就可以有效的求解最小化cost函数的问题。  
  
梯度下降法需要给定一个初始点，并求出该点的梯度向量，然后以负梯度方向为搜索方向，以一定的步长进行搜索，从而确定下一个迭代点，再计算该新的梯度方向，如此重复直到cost收敛。那么如何计算梯度呢？  
  
假设我们把cost函数表示为![H(W\_\{11\}, W\_\{12\}, \\cdots , W\_\{ij\}, \\cdots, W\_\{mn\})][H_W_11_ W_12_ _cdots _ W_ij_ _cdots_ W_mn], 那么它的梯度向量\[2\]就等于![\\nabla H  = \\frac\{\\partial H\}\{\\partial W\_\{11\} \}\\mathbf\{e\}\_\{11\} + \\cdots + \\frac\{\\partial H\}\{\\partial W\_\{mn\} \}\\mathbf\{e\}\_\{mn\}][nabla H _ _frac_partial H_partial W_11_ _mathbf_e_11_ _ _cdots _ _frac_partial H_partial W_mn_ _mathbf_e_mn], 其中![\\mathbf\{e\}\_\{ij\}][mathbf_e_ij]表示正交单位向量。为此，我们需求出cost函数H对每一个权值Wij的偏导数。而**BP算法正是用来求解这种多层复合函数的所有变量的偏导数的利器**。  
  
我们以求e=(a+b)\*(b+1)的偏导\[3\]为例。  
它的复合关系画出图可以表示如下：

![ee59254c9432b47cfcc3b11eab3e5984_hd.png][]

在图中，引入了中间变量c,d。  
  
为了求出a=2, b=1时，e的梯度，我们可以先利用偏导数的定义求出不同层之间相邻节点的偏导关系，如下图所示。

![986aacfebb87f4e9573fa2fe87f439d1_hd.png][]

利用链式法则我们知道：  
![\\frac\{\\partial e\}\{\\partial a\}=\\frac\{\\partial e\}\{\\partial c\}\\cdot \\frac\{\\partial c\}\{\\partial a\}][frac_partial e_partial a_frac_partial e_partial c_cdot _frac_partial c_partial a]以及![\\frac\{\\partial e\}\{\\partial b\}=\\frac\{\\partial e\}\{\\partial c\}\\cdot \\frac\{\\partial c\}\{\\partial b\}+\\frac\{\\partial e\}\{\\partial d\}\\cdot \\frac\{\\partial d\}\{\\partial b\}][frac_partial e_partial b_frac_partial e_partial c_cdot _frac_partial c_partial b_frac_partial e_partial d_cdot _frac_partial d_partial b]。  
  
链式法则在上图中的意义是什么呢？其实不难发现，![\\frac\{\\partial e\}\{\\partial a\}][frac_partial e_partial a]的值等于从a到e的路径上的偏导值的乘积，而![\\frac\{\\partial e\}\{\\partial b\}][frac_partial e_partial b]的值等于从b到e的路径1(b-c-e)上的偏导值的乘积加上路径2(b-d-e)上的偏导值的乘积。也就是说，对于上层节点p和下层节点q，要求得![\\frac\{\\partial p\}\{\\partial q\}][frac_partial p_partial q]，需要找到从q节点到p节点的所有路径，并且对每条路径，求得该路径上的所有偏导数之乘积，然后将所有路径的 “乘积” 累加起来才能得到![\\frac\{\\partial p\}\{\\partial q\}][frac_partial p_partial q]的值。  
  
大家也许已经注意到，这样做是十分冗余的，因为很多**路径被重复访问了**。比如上图中，a-c-e和b-c-e就都走了路径c-e。对于权值动则数万的深度模型中的神经网络，这样的冗余所导致的计算量是相当大的。  
  
**同样是利用链式法则，BP算法则机智地避开了这种冗余，它对于每一个路径只访问一次就能求顶点对所有下层节点的偏导值。**  
正如反向传播(BP)算法的名字说的那样，BP算法是反向(自上往下)来寻找路径的。  
  
从最上层的节点e开始，初始值为1，以层为单位进行处理。对于e的下一层的所有子节点，将1乘以e到某个节点路径上的偏导值，并将结果“堆放”在该子节点中。等e所在的层按照这样传播完毕后，第二层的每一个节点都“堆放"些值，然后我们针对每个节点，把它里面所有“堆放”的值求和，就得到了顶点e对该节点的偏导。然后将这些第二层的节点各自作为起始顶点，初始值设为顶点e对它们的偏导值，以"层"为单位重复上述传播过程，即可求出顶点e对每一层节点的偏导数。  
  
以上图为例，节点c接受e发送的1\*2并堆放起来，节点d接受e发送的1\*3并堆放起来，至此第二层完毕，求出各节点总堆放量并继续向下一层发送。节点c向a发送2\*1并对堆放起来，节点c向b发送2\*1并堆放起来，节点d向b发送3\*1并堆放起来，至此第三层完毕，节点a堆放起来的量为2，节点b堆放起来的量为2\*1+3\*1=5, 即顶点e对b的偏导数为5.  
  
举个不太恰当的例子，如果把上图中的箭头表示欠钱的关系，即c→e表示e欠c的钱。以a, b为例，直接计算e对它们俩的偏导相当于a, b各自去讨薪。a向c讨薪，c说e欠我钱，你向他要。于是a又跨过c去找e。b先向c讨薪，同样又转向e，b又向d讨薪，再次转向e。可以看到，追款之路，充满艰辛，而且还有重复，即a, b 都从c转向e。  
  
而BP算法就是主动还款。e把所欠之钱还给c，d。c，d收到钱，乐呵地把钱转发给了a，b，皆大欢喜。  
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【参考文献】  
\[1\] [技术向：一文读懂卷积神经网络CNN][CNN]  
\[2\] [Gradient][]  
\[3\] [http://colah.github.io/posts/2015-08-Backprop/][http_colah.github.io_posts_2015-08-Backprop]  
其他推荐网页：  
1. [tensorflow.org 的页面 ][tensorflow.org _]  
2. [Neural networks and deep learning][]

[808254232cd4983cac374c5cc2a1fc87_hd.png]: /images/20220513/41e027c8799b460291f0d1217a85ccaa.png
[e62889afe359c859e9a6a1ad2a432ebb_hd.png]: /images/20220513/4426b163400d413d8923ff2ea3777218.png
[H_W_11_ W_12_ _cdots _ W_ij_ _cdots_ W_mn]: https://www.zhihu.com/equation?tex=H%28W_%7B11%7D%2C+W_%7B12%7D%2C+%5Ccdots+%2C+W_%7Bij%7D%2C+%5Ccdots%2C+W_%7Bmn%7D%29
[nabla H _ _frac_partial H_partial W_11_ _mathbf_e_11_ _ _cdots _ _frac_partial H_partial W_mn_ _mathbf_e_mn]: https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla+H++%3D+%5Cfrac%7B%5Cpartial+H%7D%7B%5Cpartial+W_%7B11%7D+%7D%5Cmathbf%7Be%7D_%7B11%7D+%2B+%5Ccdots+%2B+%5Cfrac%7B%5Cpartial+H%7D%7B%5Cpartial+W_%7Bmn%7D+%7D%5Cmathbf%7Be%7D_%7Bmn%7D
[mathbf_e_ij]: /images/20220513/003e62eb6802420e96e455744c12725c.png
[ee59254c9432b47cfcc3b11eab3e5984_hd.png]: /images/20220513/56be3e462a34458da4835aa224b52b75.png
[986aacfebb87f4e9573fa2fe87f439d1_hd.png]: /images/20220513/13d06381a2834a2d8bc1b63b35b91d5a.png
[frac_partial e_partial a_frac_partial e_partial c_cdot _frac_partial c_partial a]: https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+e%7D%7B%5Cpartial+a%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+e%7D%7B%5Cpartial+c%7D%5Ccdot+%5Cfrac%7B%5Cpartial+c%7D%7B%5Cpartial+a%7D
[frac_partial e_partial b_frac_partial e_partial c_cdot _frac_partial c_partial b_frac_partial e_partial d_cdot _frac_partial d_partial b]: https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+e%7D%7B%5Cpartial+b%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+e%7D%7B%5Cpartial+c%7D%5Ccdot+%5Cfrac%7B%5Cpartial+c%7D%7B%5Cpartial+b%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial+e%7D%7B%5Cpartial+d%7D%5Ccdot+%5Cfrac%7B%5Cpartial+d%7D%7B%5Cpartial+b%7D
[frac_partial e_partial a]: https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+e%7D%7B%5Cpartial+a%7D
[frac_partial e_partial b]: https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+e%7D%7B%5Cpartial+b%7D
[frac_partial p_partial q]: https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+p%7D%7B%5Cpartial+q%7D
[CNN]: https://link.zhihu.com/?target=http%3A//www.cnblogs.com/nsnow/p/4562308.html
[Gradient]: https://link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Gradient
[http_colah.github.io_posts_2015-08-Backprop]: https://link.zhihu.com/?target=http%3A//colah.github.io/posts/2015-08-Backprop/
[tensorflow.org _]: https://link.zhihu.com/?target=https%3A//www.tensorflow.org/versions/r0.7/tutorials/mnist/beginners/index.html
[Neural networks and deep learning]: https://link.zhihu.com/?target=http%3A//neuralnetworksanddeeplearning.com/chap2.html