随机数范围扩展

深藏阁楼爱情的钟 2022-05-12 07:44 187阅读 0赞

## 题目:已知有个rand7()的函数，返回1到7随机自然数，利用rand7()构造rand10() 产生随机数1~10。 ##

分析：要保证rand10()在整数1-10的均匀分布，可以构造一个1-10\*n的均匀分布的随机整数区间（n为任何正整数）。假设x是这个1-10\*n区间上的一个随机整数，那么x%10+1就是均匀分布在1-10区间上的整数。由于(rand7()-1)\*7+rand7()可以构造出均匀分布在1-49的随机数（原因见下面的说明），可以将41～49这样的随机数剔除掉，得到的数1-40仍然是均匀分布在1-40的，这是因为每个数都可以看成一个独立事件。

下面说明为什么(rand7()-1)\*7+rand7()可以构造出均匀分布在1-49的随机数:  
首先rand7()-1得到一个离散整数集合\{0，1，2，3，4，5，6\}，其中每个整数的出现概率都是1/7。那么(rand7()-1)\*7得到一个离散整数集合A=\{0，7，14，21，28，35，42\}，其中每个整数的出现概率也都是1/7。而rand7()得到的集合B=\{1，2，3，4，5，6，7\}中每个整数出现的概率也是1/7。显然集合A和B中任何两个元素组合可以与1-49之间的一个整数一一对应，也就是说1-49之间的任何一个数，可以唯一确定A和B中两个元素的一种组合方式，反过来也成立。由于A和B中元素可以看成是独立事件，根据独立事件的概率公式P(AB)=P(A)P(B)，得到每个组合的概率是1/7\*1/7=1/49。因此(rand7()-1)\*7+rand7()生成的整数均匀分布在1-49之间，每个数的概率都是1/49。

int rand_10()
    {
        int x = 0;
        do
        {
            x = 7 * (rand7() - 1) + rand7();
        }while(x > 40);
        return x % 10 + 1;
    }

为什么用while(x>40)而不用while(x>10）呢？原因是如果用while(x>10）则有40/49的概率需要循环while，很有可能死循环了。

## [归纳总结][Link 1] ##

将这个问题进一步抽象，已知random\_m()随机数生成器的范围是\[1, m\] 求random\_n()生成\[1, n\]范围的函数，m < n && n <= m \*m  
一般解法：

int random_n()
    {
        int val = 0;
        int t;   //t为n的最大倍数，且满足t<m*m
        do
        {
            val = m * (random_m() - 1) + random_m();
        }while(val > t);
        return val;
    }

[Link 1]: https://blog.csdn.net/hackbuteer1/article/details/7486704