BFPRT

忘是亡心i 2022-05-09 13:20 147阅读 0赞

在一大堆数中求其前k大或前k小的问题，简称TOP-K问题。而目前解决TOP-K问题最有效的算法即是BFPRT算法，其又称为中位数的中位数算法，该算法由Blum、Floyd、Pratt、Rivest、Tarjan提出，最坏时间复杂度为O(n)O(n)。

读者要会快速排序相关知识，如果不会请看这里：

[https://blog.csdn.net/hebtu666/article/details/81434236][https_blog.csdn.net_hebtu666_article_details_81434236]排序，大家在里面找快速排序阅读即可。

我们以前写过快排的改进求前k大或前k小，但是快排不可避免地存在退化问题，即使我们用了随机数等优化，最差情况不可避免的退化到了O(N^2），而BFPRT就解决了这个问题，主要的思想精华就是怎么选取划分值。

我们知道，经典快排是选第一个数进行划分。而改进快排是随机选取一个数进行划分，从概率上避免了基本有序情况的退化。而BFPRT算法选划分值的规则比较特殊，保证了递归最小的缩减规模也会比较大，而不是每次缩小一个数。

这个划分值如何划分就是重点。

如何让选取的点无论如何都不会太差。

1、将n个元素划分为n/5个组，每组5个元素  
2、对每组排序，找到n/5个组中每一组的中位数；  
3、对于找到的所有中位数，调用BFPRT算法求出它们的中位数，作为划分值。

下面说明为什么这样找划分值。

![70][]

我们先把数每五个分为一组。

同一列为一组。

排序之后，第三行就是各组的中位数。

我们把第三行的数构成一个数列，递归找，找到中位数。

这个黑色框为什么找的很好。

因为他一定比A3、B3大，而A3、B3、C3又在自己的组内比两个数要大。

我们看最差情况：求算其它的数都比c3大，我们也能在25个数中缩小九个数的规模。大约3/10.

我们就做到了最差情况固定递减规模，而不是可能缩小的很少。

下面代码实现：

public class BFPRT {
    //前k小
    	public static int[] getMinKNumsByBFPRT(int[] arr, int k) {
    		if (k < 1 || k > arr.length) {
    			return arr;
    		}
    		int minKth = getMinKthByBFPRT(arr, k);
    		int[] res = new int[k];
    		int index = 0;
    		for (int i = 0; i != arr.length; i++) {
    			if (arr[i] < minKth) {
    				res[index++] = arr[i];
    			}
    		}
    		for (; index != res.length; index++) {
    			res[index] = minKth;
    		}
    		return res;
    	}
    //第k小
    	public static int getMinKthByBFPRT(int[] arr, int K) {
    		int[] copyArr = copyArray(arr);
    		return select(copyArr, 0, copyArr.length - 1, K - 1);
    	}
    
    	public static int[] copyArray(int[] arr) {
    		int[] res = new int[arr.length];
    		for (int i = 0; i != res.length; i++) {
    			res[i] = arr[i];
    		}
    		return res;
    	}
    //给定一个数组和范围，求第i小的数
    	public static int select(int[] arr, int begin, int end, int i) {
    		if (begin == end) {
    			return arr[begin];
    		}
    		int pivot = medianOfMedians(arr, begin, end);//划分值
    		int[] pivotRange = partition(arr, begin, end, pivot);
    		if (i >= pivotRange[0] && i <= pivotRange[1]) {
    			return arr[i];
    		} else if (i < pivotRange[0]) {
    			return select(arr, begin, pivotRange[0] - 1, i);
    		} else {
    			return select(arr, pivotRange[1] + 1, end, i);
    		}
    	}
    //在begin end范围内进行操作
    	public static int medianOfMedians(int[] arr, int begin, int end) {
    		int num = end - begin + 1;
    		int offset = num % 5 == 0 ? 0 : 1;//最后一组的情况
    		int[] mArr = new int[num / 5 + offset];//中位数组成的数组
    		for (int i = 0; i < mArr.length; i++) {
    			int beginI = begin + i * 5;
    			int endI = beginI + 4;
    			mArr[i] = getMedian(arr, beginI, Math.min(end, endI));
    		}
    		return select(mArr, 0, mArr.length - 1, mArr.length / 2);
            //只不过i等于长度一半，用来求中位数
    	}
    //经典partition过程
    	public static int[] partition(int[] arr, int begin, int end, int pivotValue) {
    		int small = begin - 1;
    		int cur = begin;
    		int big = end + 1;
    		while (cur != big) {
    			if (arr[cur] < pivotValue) {
    				swap(arr, ++small, cur++);
    			} else if (arr[cur] > pivotValue) {
    				swap(arr, cur, --big);
    			} else {
    				cur++;
    			}
    		}
    		int[] range = new int[2];
    		range[0] = small + 1;
    		range[1] = big - 1;
    		return range;
    	}
    //五个数排序，返回中位数
    	public static int getMedian(int[] arr, int begin, int end) {
    		insertionSort(arr, begin, end);
    		int sum = end + begin;
    		int mid = (sum / 2) + (sum % 2);
    		return arr[mid];
    	}
    //手写排序
    	public static void insertionSort(int[] arr, int begin, int end) {
    		for (int i = begin + 1; i != end + 1; i++) {
    			for (int j = i; j != begin; j--) {
    				if (arr[j - 1] > arr[j]) {
    					swap(arr, j - 1, j);
    				} else {
    					break;
    				}
    			}
    		}
    	}
    //交换值
    	public static void swap(int[] arr, int index1, int index2) {
    		int tmp = arr[index1];
    		arr[index1] = arr[index2];
    		arr[index2] = tmp;
    	}
    //打印
    	public static void printArray(int[] arr) {
    		for (int i = 0; i != arr.length; i++) {
    			System.out.print(arr[i] + " ");
    		}
    		System.out.println();
    	}
    
    	public static void main(String[] args) {
    		int[] arr = { 6, 9, 1, 3, 1, 2, 2, 5, 6, 1, 3, 5, 9, 7, 2, 5, 6, 1, 9 };
    		// sorted : { 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 9, 9, 9 }
    		printArray(getMinKNumsByBFPRT(arr, 10));
    
    	}
    }

[https_blog.csdn.net_hebtu666_article_details_81434236]: https://blog.csdn.net/hebtu666/article/details/81434236
[70]: /images/20220506/144c650ee8f4416ab056b5de83367b40.png